2023年第四讲基本不等式两节.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 基本不等式 一、基本不等式：定理 1：222abRabab若、，则，当且仅当ab时，222abab等号成立。0001232abRababab注：定理成立的条件，；“”成立的条件是；几何意义是分别以、边长的正方形的面积不小于以，为边长的矩形的面积的 倍。000022212312412ababRabababRab定理：若、，则，当且仅当时，取“”注：定理成立的条件是，；等号成立的条件是；几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高；圆的半弦长不小于半径长主要应用：证明不等式；求最值或取值范围。05,2,aba bRa baba b若，则为的算术平均，为的几何平均。学习必备

2、欢迎下载 二、题组 2：利用基本不等式证明不等式 272P1 2直通车例、所用基本知识：不等式的有关性质、两个基本定理、还有柯西不等式、排序不等式；证明不等式的基本方法：比较法（最基本、最重要的方法）、综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等。证题的基本思路：认真分析已知条件，理解好关键条件条件，分析好条件与所求证式之间的关系，分析好条件、结论与有关定理的关系，从而找出适当的证明方法。常用已证过的不等式：2a 0（a R）;a 0（a R）;222abab及其变形；2222;ababab 222();22abab22221(),()4;2abababab 2abab（a0，b 0）及其变形 2

3、(0),2(0).babaabababab 222112ababab 成立的条件是几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系分析好条件结论与有关定理的关系从而找出适当的证学习必备 欢迎下载 022221.131()();242111112,(1)(1)112(2)1aakk kkk kkkkkkNkkk 注：应用基本不等式进行放缩以上且 02应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”等命题；（4）结论为“唯一”类命题；222222221.2.

4、111;28212521254.4abcabbcacbabbbbb 2求证：已知a,b(0,+)，且a+b=1，求证：（1）a（）；1（3）a+；a1（）a+a 成立的条件是几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系分析好条件结论与有关定理的关系从而找出适当的证学习必备 欢迎下载 3.0111114a b ca bb cc a已知,求证：,中至少有一个不大于 330,0,2,2pqpqpq 若且求证：5.0,2111221xxx xxxx 已知求证：1146.,abcabbcac 已知求证：2227.R2Nn

5、nna b cabcabcnn已知,且，求证：,其中，,在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，(03)，的距离之和等于 4，设点P的轨迹为C，直线1ykx与C交于A，B两点（）写出C的方程；（）若OAOB，求k的值；（）若点A在第一象限，证明：当k0 时，恒有|OA|OB|数列na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列nb为等比数列，且113,1ab，数列nab是公比为 64 的等比数列，2264b S.成立的条件是几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系分析好条件结论与有关定理的关系从而找出

6、适当的证学习必备 欢迎下载（1）求,nna b；（2）求证1211134nSSS.设数列na满足3*110,1,nnaacac nNc 其中为实数。（）证明：0,1na 对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c；（）设103c，证明：1*1(3),nnacnN;（）设103c，证明：222*1221,13naaannNc 三、题组 2 利用基本不等式求最值：1.定理：和为定值积最大；积为定值和最小。2222333312.2223223baabaabaababababcabcabcabcab cR 重要结论：；,其中，,求最值的基本方法：函数单调性、配方法、判别式法、成立的条件是几何意义是直角三

7、角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系分析好条件结论与有关定理的关系从而找出适当的证学习必备 欢迎下载 有界性、导数法等。注；01运用定理时在注意“一定、二正、三相等”；176P 1 2直通车-02解题技巧：等分某一个式子；两边平方后再处理或运用换元法进行转化；179P4直通车加(减)同一个数或乘(除)同一个数；176270P 1 3 P2直通车-,例，“1”的逆用；176271P2 P4直通车例,真题,03解题步骤：先把所求式化为熟悉的基本不等式，然后判断其是否为正数，再判断是否为定值，最后判断等号是否成立；04灵活运

8、用各种方法求最值。176179P3 1P3直通车-、272275PP直通车、名校联考 已知302x,求函数(32)yxx的最大值.2.R3a bababab 若,，且满足，则的取值范围是 求函数22(3)3xyxx的最小值.21xyx 求函数2232xyx的最小值.成立的条件是几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系分析好条件结论与有关定理的关系从而找出适当的证学习必备 欢迎下载 已知0,0ab,2310ab,求32ba的最大值；已知0 x，0y，且21xy，则11uxy 的最小值；222197.,1,8.

9、,1,12x yRxyxyba bRaab 已知:且求的最小值；已知:且求的最大值.已知函 f xkxb数的图象与xy、轴分别相交于点 A、B,22ABij(i、j分别是与xy、轴正半轴同方向的单位向量),函数 226g xxx (1)求 k、b 的值;(2)当 x 满足 f(x)g(x)时,求函数)(1)(xfxg的最小值.四、题组 3 基本不等式在实际中的应用 解题思路：认真审题，理解好关键字眼，明确各个条件的关系，明白在做一件什么事；根据审题，建立合成立的条件是几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系

10、分析好条件结论与有关定理的关系从而找出适当的证学习必备 欢迎下载 适的数学模型；求解数学模型；检验所得结果是否满足题意；得出实际问题的解，并作答。某村计划建造一个室内面积为 8002m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留 1m宽的通道，沿前侧内墙保留 3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a b,的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a b,各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量最小（A，B孔的面积忽略不计）成立的条件是几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高圆用基本知识不等式的有关性质两个基本定理还有柯西不等式排序不等式求证式之间的关系分析好条件结论与有关定理的关系从而找出适当的证