2023年芝罘区数学等比数列典型例题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 等比数列典型例题 【例 1】已知 Sn是数列an的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列 B当 p0 时是等比数列 C当 p0，p1 时是等比数列 D不是等比数列 分析 由 Snpn(nN*)，有 a1=S1p，并且当 n2 时，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1 故，因此数列成等比数列 a=(p1)pa p0p10(p1)p2nn 1()()ppp ppn212 但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D【例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求 x1x2x3x2n 解 1，x1，x2，x2n，2 成等比数列，公

2、比 q 21q2n+1 x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n=q2n(1+2n)2qnnn()212【例3】a(1)a=4an25等比数列中，已知，求通项公12 式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值 解 (1)a=a q q=525 212 aa q4()()(2)aaa aaaa=8n2n 2n 2n 43542345431212 a42 又a aa aaa a a a a=a=322635423456452【例 4】已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数 x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，学习必备 欢迎下载 xn，b 成

3、等比数列，求 证x xxabnn122 证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q，则 b=aqn+1 qbax xxaqaqaqaqababnnnnnn1122122【例 5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2 证法一 a、b、c、d 成等比数列 abbccd b2ac，c2bd，adbc 左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边 证毕 证法二 a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：baq，caq2，d=aq3 左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3a

4、q)2 a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右边 证毕【例 6】求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0 思路：转化为等比数列 解 (1)a=3a2a1=3(a1)n+1nn+1n 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判学习必备 欢迎下载 an1是等比数列 an1=33n-1 an=3n1(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1n

5、 an+1an是等比数列，即 an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1 再注意到 a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到 a=31222=3=3(21)n2n-2n 1 21211n【例7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、都不为零，且满足求证：、成等比数列，且公比为 证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数 为实系数一元二次方程等式 说明上述方程有实数根(aa)x2a(aa)xaa=0(aa)a2a(aa)aaa=0a12222213223212224221

6、3422324 上述方程的判别式0，即 2a(aa)4(aa)(aa)=4(aa a)0(aa a)02132122222322213222132 又a1、a2、a3为实数 必有即(aa a)0aa a=0a=a a2213222132213 因而 a1、a2、a3成等比数列 又a=2a42()()()aaaaaaaaa aaa1312222131213212 a4即为等比数列 a1、a2、a3的公比【例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值 解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与 bd、b、bd2 都

7、成等比数列，有 b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22 整理，得 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判学习必备 欢迎下载 b=bdbdb=bd2b2d222222 bd=2b2d 即 b=3d 代入，得 9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d 解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12【例 9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是 d，又知 d1，且 a4=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值；(2)

8、b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程 解 (1)a=ba=b3d=a da9d=a da(1d)=3da(1d)=9d4410101131191319由a dd2=063舍 或ddadd1231331222()(2)b16=b1d15=32b1 且a=a3d=2 2=bb=bd=2b=2 2b=a=2413441313113 b16=32b1=32a1，如果 b16是an中的第 k 项，则 32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33d k=34 即 b16是an中的第 34 项【例10】a b=(12)bbb=218b b b=18nnan123123设是等差数列，已知，求

9、等差数列的通项 解 设等差数列an的公差为 d，则 an=a1(n1)d 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判学习必备 欢迎下载 b=(12)b b=(12)(12)=(12)bna13aa+2d2(a+d)221111()nd1 由，解得，解得，代入已知条件整理得b b b=18b=18b=12b b b=18b b=14bb=1781232321231313bbb123218 解这个方程组，得 b=2b=18b=18b=21313，或，a1=

10、1，d=2 或 a1=3，d=2 当 a1=1，d=2 时，an=a1(n1)d=2n3 当 a1=3，d=2 时，an=a1(n1)d=52n【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数 解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2 由已知：a，aq4，aq2成等差数列 即：2(aq4)=aaq2 a，aq4，aq232 成等比数列 即：(aq4)2=a(aq232)aq2=4a，两式联立解得：或这三数为：，或，a=2q=3a=29q=5261829109509 解法二 按等差数列设三个数，设原数列为

11、 bd，b4，bd 由已知：三个数成等比数列 即：(b4)2=(bd)(bd)8bd=162 bd，b，bd32 成等比数列 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判学习必备 欢迎下载 即 b2=(bd)(bd32)32bd32d=02、两式联立，解得：或三数为，或，b=269d=83b=10d=8261829109509【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 1

12、2，求这四个数 分析 本题有三种设未知数的方法 方法一 设前三个数为 ad，a，ad，则第四个数由已知条 件可推得：()ada2 方法二 设后三个数为 b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为 2bbq 方法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为 12y，16x 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 adaad设前三个数为 ，则第四个数为()ada2 依题意，有 ad=16a(ad)=12()ada2 解方程组得：或a=4d=4a=9d=61122 所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1 解法二 设后三个数

13、为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq 依题意有：2bbqbq=16bbq=122 解方程组得：或b=4q=2 b=9q=131122 所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1 解法三 设四个数依次为 x，y，12y，16x 依题意有x(12y)=2yy(16x)=(12y)2 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判学习必备 欢迎下载 解方程组得：或x=0y=4x=15y=91122 这四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3

14、，1【例 13】已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85，76，84求这两个数列 解 设成等差数列的三个数为 bd，b，bd，由已知，bdbbd=126 b=42 这三个数可写成 42d，42，42d 再设另三个数为 a，aq，aq2由题设，得 a42d=85ap42=76aq42d=842 整理，得 ad=43aq=34aqd=422 解这个方程组，得 a1=17 或 a2=68 当 a=17 时，q=2，d=26 当时，a=68q=12d=25 从而得到：成等比数列的三个数为 17，34，68，此时成等差的三个数为 68，42，

15、16；或者成等比的三个数为 68，34，17，此时成等差的三个数为 17，42，67【例 14】已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列 证明 由已知，有 2a2=a1a3 a=aa3224211435aaa 由，得由，得代入，得a=2aaa+aa=a+a2a=a+a243535213321323535aaaa 整理，得a=a(a+a)a+a351235 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元

16、二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判学习必备 欢迎下载 即 a3(a3a5)=a5(a1a3)aa a=a aa aa=aa323515353215 所以 a1、a3、a5成等比数列【例 15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证：a，b，c 成等差数列 证明 (1)a，b，c 成等差数列，且公差 d0 bc=ab=d，ca=2d 代入已知条件，得：d(logmx2logmylogmz)=0 logmxlogmz=2logmy y2=xz x，y，z 均为正数 x，y，z 成等比数列(2)x，y，z 成等比数列且公比 q1 y=xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0 变形、整理得：(ca2b)logmq=0 q1 logmq0 ca2b=0 即 2b=ac 即 a，b，c 成等差数列 求解成等比数列公比例等比数列中已知求通项公式已知求的值解又例已等比数列设其公比为则左边右边证毕例求数列的通项公式中中且思路转的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根上述方程的判