2023年,一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题.pdf

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1、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一)一元二次方程的一般形式：002acbxax 其中cba,为常数，x为未知数。根的判别式：acb42 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：0时，方程无实根；0时，方程有且只有一个实根，或者说方程有两个相等的实根；abx2 0时，方程有两个不相等的实根。aacbbx2422,1（二）二次函数的一般形式：形如abacabayacbxaxy442x0222 其中cba,为常数，x为自变量。顶点坐标为abacabP44,22，其中直线abx2为对称轴，1、（1）0a时，函数cbxaxy2的图象开口向下，函数cbxaxy2在abx2取到最大值，

2、即abacy442max，对任意abacyRx44,2.（2）0a时，函数cbxaxy2的图象开口向上，函数cbxaxy2在abx2取到最小值，即abacy442min，对任意abacyRx44,2.2、二次函数02acbxaxy与x轴交点个数的判断：0时，函数02acbxaxy与x轴无交点；0时，函数02acbxaxy与x轴相切，有且只有一个交点；0时，函数02acbxaxy与x轴有两个交点。3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、.（三）一元二次不等式的概念：形如002acbxax其中连接cbxax2与0的不等号可以是,，或.（四）三个两次之间的关系 一元二次方

3、程、一元二次不等式、二次函数 0 0 0 cbxaxy2 0a 图 象 02cbxax0a根 21xxxx 或 abxx221 无 解 02cbxax0a解集 21xxxxx 或 abxx2 R 02cbxax0a解集 21xxxx 基本步骤：化正-计算-求根-写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程002acbxax的解法【方法一】求根公式法 步骤：计算；若0，则方程无实根；若0，利用求根公式aacbbx2422,1.【例 1】求解下列方程.（1）0442 xx （2）0122 xx 【练习】解下列方程.（1）03522 xx （2）862 xx 【方法二】十字相乘

4、法 三个二次 x1 x2 x1=x2 根时方程有两个不相等的实根二二次函数的一般形式形如其中为常数为自变量顶点坐标为其中直线为对称轴时函数的数的判断时函数与轴无交点时函数与轴相切有且只有一个交点时函数与轴有两个交点二次函数图象的基本元素开口方元二次方程一元二次不等式二次函数三个二次图象根解集解集或无解或基本步骤化正计算求根写解集大于取两边小于利用十字相乘法求解方程002acbxax的前提条件是：0，也就是保证方程002acbxax必须有实根.十字分解依据：对于方程002acbxax而言，cba,均为整数。当0ac时，将ac分解为两个约数之和为b；当0ac时，将ac分解为两个约数之差为b或b.【

5、例 2】求解下列方程（1）0862 xx （2）01522 xx 【练习】解下列方程（1）2082 xx （2）02522 xx 【类型二】二次函数最值的求法【方法一】公式法 0a时，函数cbxaxy2在abx2取到最大值，即abacy442max，对任意abacyRx44,2.0a时，函数cbxaxy2在abx2取到最小值，即abacy442min，对任意abacyRx44,2.【方法二】配方法 222222222abcabxabxacxabxacbxaxy abacabxa44222【例 3】求下列函数的最值（1）842xxy （2）5322xxy 【类型三】一元二次不等式的解法 根时方程

6、有两个不相等的实根二二次函数的一般形式形如其中为常数为自变量顶点坐标为其中直线为对称轴时函数的数的判断时函数与轴无交点时函数与轴相切有且只有一个交点时函数与轴有两个交点二次函数图象的基本元素开口方元二次方程一元二次不等式二次函数三个二次图象根解集解集或无解或基本步骤化正计算求根写解集大于取两边小于【例 4】解下列不等式（1）02732 xx；（2）0262xx 【练习】（1）不等式xx4142的解集是 .（2）不等式7212 xx的解集是 .（3）不等式 09 xx的解集是 .【类型四】分式不等式的解法 解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：（有分母就要考虑分母不等于零，有根式就

7、考虑大于等于零）,00)()(xgxfxgxf ,000)()(xgxgxfxgxf且 ,00)()(xgxfxgxf ,000)()(xgxgxfxgxf且【例 5】解下列不等式（1）11x；（2）0232xx；（3）21xx；（4）03912xx 根时方程有两个不相等的实根二二次函数的一般形式形如其中为常数为自变量顶点坐标为其中直线为对称轴时函数的数的判断时函数与轴无交点时函数与轴相切有且只有一个交点时函数与轴有两个交点二次函数图象的基本元素开口方元二次方程一元二次不等式二次函数三个二次图象根解集解集或无解或基本步骤化正计算求根写解集大于取两边小于1.解下列方程（1）862 xx （2）0

8、21152 xx （3）02732 xx （4）062 xx 2.不等式0161632 xx的解集是 .3.不等式1121xx的解集是 .4.不等式0752xx的解集是 .5.不等式01442 xx的解集是 .6.解下列不等式或方程（1）01522 xx；（2）01662 xx；（3）08232xx；（4）0542 xx；（5）31xx；（6）52x；7.已知集合01662xxxA，集合11422xxyyB，则下列式子中正确的是 （）BAA.ABB.BAC.AD.B 根时方程有两个不相等的实根二二次函数的一般形式形如其中为常数为自变量顶点坐标为其中直线为对称轴时函数的数的判断时函数与轴无交点时函数与轴相切有且只有一个交点时函数与轴有两个交点二次函数图象的基本元素开口方元二次方程一元二次不等式二次函数三个二次图象根解集解集或无解或基本步骤化正计算求根写解集大于取两边小于