2023年冀教版初三数学知识点归纳总结.pdf

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1、word 初三上册 23 章 数据分析 23.1 平均数和加权平均数 1、一般地，我们把 n 个数nxxx,.,21的和与 n 的比，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作x，读作“x 拔”，即).(11nxxnx 2、已知n 个数nxxx,.,21，若nwww,.,21为一组正数，则把 nnnwwwwxwxwx.212211叫 做n个 数nxxx,.,21的 加 权 平 均 数，nwww,.,21分别叫做这n 个数的权重，简称权。23.2中位数和众数 1、一般地，将 n 个数据按大小顺序排列，如果 n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果 n 为偶数，那么把处于中

2、间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。23.3 方差 设 n 个数据nxxx,.,21的平均数为x，各个数据与平均数偏差的平方分别是22221)(,.,)(,)(xxxxxxn。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s表示，即 222212)(.)()(1xxxxxxnsn 当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。word 23.4 用样本估计总体 由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也

3、不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。24 章 一元二次方程 24.1 一元二次方程 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为).0(02acbxax其中，2ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。24.2 解一元二次方程 1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次

4、式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为 1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。2、对于一元二次方程02cbxax：当042 acb时，方程有两个不相等的实数根；当042 acb时，方程有两个相等的实数根；当042 acb时，方程没有实数根。我们把acb42叫做一元二次方程02cbxax的根的判别式。3、当042 acb时，一 元 二 次 方 程02cbxax的 两 实 数 根 可 以 用aacbbx242求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一

5、元二次方程的方法叫做公式法。word 4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。24.3 一元二次方程根与系数关系 如 果 一 元 二 次 方 程02cbxax的 两 根 分 别 为21,xx，那 么acxxabxx2121,。24.4一元二次方程的应用 25章 图形的相似 25.1 比例线段 1、如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n，我们就把m和n的比叫做线段a和b的比，记作nmba:，或nmba。2、在四条线段dcba,中，如果a与b的比等于c与d的比，即dcba，我们就把这四条线段叫做成

6、比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。3、比例的基本性质 如果dcba，那么bcad。如果bcad，那么dcba（0,db）特别地，如果cbba，即acb 2，就把b 叫做a,c 的比例中项。如果knmdcba.，那么kndbmca.4、黄金分割 在线段AB 上有一点C，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC 满足ACBCABAC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 称为线段 AB 的黄 金分割点，ABAC称为黄金比。黄金比618.0215ABAC 每条线段上的黄金分割点都有两个。l3l2l1FEDCBAword 25.2 平行线分线段成比例（1)基本事实 两条直线

7、被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB,（2）推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。ACCEABBDECAEDBADACAEABAD,（3）推论 2 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。在ABC 中，DEBC，BCDEACAEABAD ABCDEEDCBAEDCBAword 2

8、5.3 相似三角形（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。25.4 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理(1)两角对应相等的两个三角形相似。(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。(3)三条边对应成比例的两个三角形相似。(4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。25.5 相似三角形的性质 相似三角形的性质定理（1）相似三角形对应高的比

9、、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。（2）相似三角形周长的比等于相似比。（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。25.6 相似三角形的应用 25.7 相似多边形和图形的位似（1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。word （3）位似图形的画法 确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内

10、部或图形的边上）；选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点；顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。26章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数 1、如图，在 RtABC 中，C=90 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即batan的邻边的对边AAA A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记作 sinA，即casin斜边的对边AA A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cosA，即cbcos斜边的邻边AA 2、一些特殊角的三角函数值 30 45 60 sin 12 22 32 cos 32 22 1

11、2 tan 33 1 3 word 3、在直角三角形中，锐角 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角 变化时，相应的比值也会发生相应的变化。我们把锐角 的正弦、余弦和正切统称为 的三角函数。为方便起见，今后将 222tan,cos,sin分别记作222tan,cos,sin。26.2 锐角三角函数的计算 26.3 解直角三角形 1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。2、在 RtABC 中，C=90 三边之间的关系是222cba；两锐角之间的关系是90BA；边角之间的关系

12、是 casin斜边的对边AA cbcos斜边的邻边AA batan的邻边的对边AAA 在边角之间的关系中，将 A 换成B，同时将 a,b 交换，即可得到B 与边之间的关系式。根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。26.4 解直角三角形的应用 我们通常把坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比lh叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角 叫做坡角。显然，lhtan word 27章 反比例函数 27.1 反比例函数 一 般 地，如 果 变 量y和 变 量x之 间 的 函 数 关 系 可 以 表 示 成)0(kkxky为常数，且的形式，那么称 y

13、 为 x 的反比例函数，k 称为比例系数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的实数。27.2 反比例函数的图像和性质 反比例函数)0(kkxky为常数，且的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线。对于反比例函数xky，当 k0 时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y 的值随 x 的值增大而减小；当 kr（2）点 P 在圆上，d=r（3）点 P 在圆内，dr 2、直线与圆的位置关系 一条直线与一个圆的位置关系，根据它们公共点的个数可分为三种情况：两个公共点、一个公共点、没有公共点。当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相

14、切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。3、切线的性质和判定（1）圆的切线垂直于过切点的半径。（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。4、切线长定理（1）过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等。（2）与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆，称这个圆的圆心为三角形的内心。5、正多边形与圆（1）各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。（2）把一个圆 n（n3）等分，顺次连接各等分点，就得到一个正 n 边形。我们把这个正 n 边形叫做圆的内接正 n 边形，这个圆叫做正 n 边形的外接圆，外接圆的圆心叫做

15、正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到边的距离叫做正多边形的边心距。（3）通过等分圆心角，可以画正多边形。对于一些特殊情形，可以用尺规作圆的内接正多边形（正方形和正六边形）。word 30 章 二次函数 30.1 二次函数的概念 一般地，如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以表示成cbacbxaxy,(2是常数，且)0a，那么称 y 为 x 的二次函数.其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。30.2 二次函数的图像和性质 二次函数2axy 的图像和性质（1）通过列表、描点、连线可以得到二次函数2axy 图像（

16、2）二次函数2axy 的图像是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。（3）二次函数2axy 的图像和性质 表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y 随x 的变化情况 最大（或最小）值)0(2aaxy 向上 y 轴 原点（0,0）当0 x时，y 随x 的增大而减小；当0 x时，y随 x 的增大而增大 有最低点（0，0）.当0 x时，0最小y )0(2aaxy 向下 y 轴 原点（0,0）当0 x时，y 随x 的增大而增大；当0 x时，y随 x 的增大而减小 有最高点（0，0）.当0 x时，0最大y word （4

17、）为方便起见，我们把 y 轴记为直线0 x，把过点（a，0）且垂直于 x 轴的直线记为直线ax；把 x 轴记为直线0y,把过点（0，b）且垂直于 y 轴的直线记为直线by.二次函数2axy 也称为抛物线2axy 二次函数2)(hxay与khxay2)(的图像和性质（1）二次函数2)(hxay的图像可以由2axy 的图像作如下平移得到：当0h时，向右平移h个单位长度；当0h时，向左平移h个单位长度。（2）二次函数khxay2)(的图像和性质 表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y 随x 的变化情况 最大（或最小）值 )0()(2akhxay 向上 直线hx ),(kh 当hx 时，y 随x 的增

18、大而减小；当hx 时，y随 x 的增大而增大 有最低点),(kh.当hx 时，ky最小 )0()(2akhxay 向下 直线hx ),(kh 当hx 时，y 随x 的增大而增大；当hx 时，y随 x 的增大而减小 有最高点),(kh.当hx 时，ky最大 word 二次函数cbxaxy2的图像和性质（1）每个二次函数cbxaxy2都可以通过配方化成khxay2)(的形式（2）二次函数cbxaxy2的图像是一条抛物线，它的对称轴是abx2 若0a，则抛物线开口向上，顶点坐标是)44,2(2abacab。当abx2时，y随x的增大而减小；当abx2时，y随x的增大而增大；当abx2时，y取得最小值

19、，且abacy442最小 若0a，则抛物线开口向下，顶点坐标是)44,2(2abacab。当abx2时，y随x的增大而增大；当abx2时，y随x的增大而减小；当abx2时，y取得最大值，且abacy442最大 为方便起见，我们把二次函数cbxaxy2也称为抛物线cbxaxy2 30.3由不共线三点的坐标确定二次函数 用待定系数法求二次函数的表达式，将三点坐标分别代入二次函数cbxaxy2中，解出cba、，即可得到二次函数的表达式 30.4 二次函数的应用（1）对于二次函数abacabxacbxaxy44)2(222来说，当0a，且abx2时，abacy442最小；当0a，且abx2时，abac

20、y442最大。二次函数的这一特征，使它成为解决许多求“最小值”或“最大值”问题的重要工具。（2）已知二次函数cbxaxy2的某一个函数值my，就可以利用一元二次方程mcbxax2确定与它对应的x的值。word 30.5、二次函数与一元二次方程的关系（1）一般地，抛物线cbxaxy2和x轴相交（或不相交）的情况与一元二次方程02cbxax根的情况有如下对应关系：抛物cbxaxy2与 x 轴的位置关系 有两个公共点 有一个公共点 无公共点 一元二次方程02cbxax根的情况 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实根（2）根据抛物线和 x 轴相交（或不相交）的情况与其对应的一元二次方程根的情况的关系，以及二次函数随自变量增大而增大（或减小）的性质，可以借助二次函数来求一元二次方程根的近似值。31章 随机事件的概率 31.1 确定事件和随机事件 31.2 随机事件的概率 31.3 用频率估计概率 31.4 用列举法求简单事件的概率 32 章 投影与视图 32.1 投影 32.2 视图 32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图