2023年初中函数知识点归纳总结专题讲解.pdf

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1、 1 知识点 1 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点 1解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。2列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个

2、表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。3图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤 1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 2描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 3连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果bkxyk，b 是常数，k0，那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的b 为 0 时，kxy k 为常数，k0。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正

3、比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点0，b的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点0，0的直线。2 k 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；2当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 2当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的

4、取值范围是 y0；当 k0 a0 y 0 x y 0 x 6 性质 1抛物线开口向上，并向上无限延伸；2对称轴是 x=ab2，顶点坐标是ab2，abac442；3在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；4抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值 1抛物线开口向下，并向下无限延伸；2对称轴是 x=ab2，顶点坐标是ab2，abac442；3在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；4抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数

5、，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间 特别记忆-同左上加 异右下减(必须理解记忆)说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左

6、，a b 值异号，图像顶点必在 Y轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 3、直线斜率：1212tanxxyyk b为直线在y轴上的截距4、直线方程：4、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy 此公式有多种变形 牢记 8 点斜 )(11xxkxyy 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式:ykxb(k0)截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax 牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距 5、设两条直线分别为，1l：11yk xb 2l：22yk xb 假设12/ll

7、，则有1212/llkk且12bb。假设12121llkk 6、点Px0，y0到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:1)1(2002200kbykxkbykxd 抛物线cbxaxy2中，a b c,的作用 1a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.2b和acbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab即a、b同号时，对称轴在y轴左侧；0ab即a、b异号时，对称轴在y轴右侧.口诀-同左 异右 3c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点0，c：0c，抛物线经过原点;0c,与y

8、轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.y轴右侧，则 0ab.十二，初中数学助记口诀(函数部分)特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y轴。9 对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:假设把一次函数解析式写成 y=kx+0+b、二次函数的解析式写成 y=ax+h2+k 的形式，则用下面后的

9、口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,同左上加 异右下减 一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，

10、横标即为对称轴,纵标函数最值见。假设求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限,k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增大y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图

11、象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；10

12、 2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于顶点对称 2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca ；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于点mn，对称 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是

13、先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 口诀-Y 反对 X，X反对 Y，都反对原点 2 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律:假设把一次函数解析式写成 y=kx+0+b，二次函数的解析式写成 y=ax+h2+k 的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；11 正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b

14、与 Y轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由 a 断,c 与 Y轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。假设求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限；k 为负,图在二、四(

15、象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物

16、线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。12 分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值假设非负，曲线横

17、轴有交点。a正开口它向上，大于零则取两边。代数式假设小于零，解集交点数之间。方程假设无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1 用公式法解一元二次方程 要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数 abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先别离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先别离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等

18、常数，间接配方显优势 【注】恒等式 解一元二次方程：13 方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c 相等都为零，等根是零不要忘。b、c 同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别：判断正比例函数，检验当分两步走。一量表示另一量，有没有。假设有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。假设有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数的图象与性质：正比函数图直线，经过 和原点。K正一三负二四，变化趋势记心间。K正左低右边高，同大同小向爬山。K负左高右边低，一大另小下山峦。一次函数：一次函数图直线，

19、经过 点。K正左低右边高，越走越高向爬山。K负左高右边低，越来越低很明显。K称斜率 b 截距，截距为零变正函。反比例函数：反比函数双曲线，经过 点。K正一三负二四，两轴是它渐近线。K正左高右边低，一三象限滑下山。K负左低右边高，二四象限如爬山。二次函数：二次方程零换 y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。A 定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，14 提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换 y，就得到二次函数。图像叫做抛物线

20、，定义域全体实数。A定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下 A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。假设要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线 列方程解应用题：列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两方法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作答。两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。