2023年九年级数学圆教学导案.pdf

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1、九年级数学圆教案 2 作者：日期：嘉远教育九年级数学 3 圆 第一课时 教学内容 1圆的有关概念 2垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解 重难点、关键 1重点：垂径定理及其运用 2难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程 一、复习引入 （学生活动）

2、请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1举出生活中的圆三、四个 2你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆，记作“O”，读作“圆 O”学生四人一组讨论下面的两个问题：问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评

3、总结 （1）图上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点组成的图形 同时，我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB；经过圆心的弦叫做直径，如图 24-1线段 AB；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧 嘉远教育九年级数学 4 BACO 圆的任意一条直径的两个端点把圆

4、分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 （学生活动）请同学们回答下面两个问题 1圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流 （老师点评）1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径 3我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 （学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M BACDOM （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理

5、由 （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD （2）AM=BM，ACBC，ADBD，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分AB及ADB 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M 求证：AM=BM，ACBC，ADBD.分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结 OA、OB或 AC、BC 即可 证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB 在 RtOAM 和 RtOBM 中 OAOBOMOM RtOAM RtOBM BACOM嘉远教育九年级

6、数学 5 CEDOFBACEDONM AM=BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径 CD 对称 当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，AC与BC重合，AD与BD重合 ACBC，ADBD 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （本题的证明作为课后练习）例 1如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点 O 是CD的圆心，其中CD=600m，E 为CD上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径 分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的

7、数学思想方法一定要掌握 解：如图，连接 OC 设弯路的半径为 R，则 OF=（R-90）m OECD CF=12CD=12600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（R-90）2 解得 R=545 这段弯路的半径为 545m 三、巩固练习 教材 P86 练习 P88 练习 四、应用拓展 例 2有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 24-5所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由 分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m 是否需要采取紧急措施，只要求出 DE 的

8、长，因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R 解：不需要采取紧急措施 设 OA=R，在 RtAOC 中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得 R=34（m）连接 OM，设 DE=x，在 RtMOE 中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得 x1=4，x2=64（不合设）DE=4 不需采取紧急措施 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆的有关概念；嘉远教育九年级数学 6 2圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3垂径定理及其推论以及

9、它们的应用 六、布置作业 1教材 P94 复习巩固 1、2、3 2车轮为什么是圆的呢？3垂径定理推论的证明 4选用课时作业设计 嘉远教育九年级数学 7 圆(第 2 课时)教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用 通过

10、复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2难点与关键：探索定理和推导及其应用 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题 已知OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30、45、60的图形 BAO 老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30，就是旋转角BOB=30 二、探索新知 如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点

11、在圆心的角叫做圆心角 BAO （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O 中，分别作相等的圆心角AOB 和A OB 将圆心角AOB 绕圆心O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？嘉远教育九年级数学 8 BBAAO AB=A B，AB=AB 理由：半径 OA 与 OA重合，且AOB=AOB 半径 OB 与 OB重合 点 A 与点 A重合，点 B 与点 B重合 AB与A B重合，弦 AB 与弦 AB重合 AB=A B，AB=AB 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一

12、作（学生活动）老师点评：如图 1，在O 和O中，分别作相等的圆心角AOB 和AOB得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA重合 O(O)OOBABBO(O)OOBAAA (1)(2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现：AB=A B，AB=A/B/现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在

13、同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 （学生活动）请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书，老师点评 例 1如图，在O 中，AB、CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为 EF （1）如果AOB=COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？嘉远教育九年级数学 9 （2）如果 OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？AOB 与COD 呢？OBACEDF 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF，即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲

14、的定理即可（2）OE=OF，在 RtAOE 和 RtCOF 中，又有 AO=CO 是半径，RtAOERt COF，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到AB=CD 解：（1）如果AOB=COD，那么 OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=12AB，CF=12CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD，AB=CD，AOB=COD 理由是：OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=12AB，CF=12CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD A

15、B=CD，AOB=COD 三、巩固练习 教材 P89 练习 1 教材 P90 练习 2 四、应用拓展 例 2如图 3 和图 4，MN 是O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN 上的一点 P，APM=嘉远教育九年级数学 10 CPM （1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 BACEDPONMF BACEDPNMF (3)(4)分析：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解

16、：（1）AB=CD 理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结 OD、OB 且 OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作 OEAB，OFCD，垂足为 E、F APM=CPN 且 OP=OP，PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接 OA、OB、OC、OD 易证 RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆心角概念 2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么

17、它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用 六、布置作业 1教材 P94-95 复习巩固 4、5、6、7、8 2选用课时作业设计 嘉远教育九年级数学 11 OBACEF圆(第 3 课时)教学内容 1圆周角的概念 2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用 教学目标 1了解圆周角的概念 2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直

18、径 4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题 重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键：探究圆周角的定理的存在 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角？2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所

19、对的其余各组量都分别相等 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题 二、探索新知 问题：如图所示的O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，设球员们只能在EF所在的O其它位置射门，如图所示的 A、B、C点通过观察，我们可以发现像EAF、EBF、ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学

20、生分组讨论）提问二、三位同学代表发言 嘉远教育九年级数学 12 OBACOBACD 老师点评：1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的 3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”（1）设圆周角ABC的一边 BC是O的直径，如图所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=12AOC（2）如图，圆周角ABC的两边 AB、AC在一条直径 OD的两侧，那么ABC=

21、12AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程 老师点评：连结 BO交O于 D同理AOD 是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2 ABO，DOC=2 CBO，因此AOC=2ABC （3）如图，圆周角ABC的两边 AB、AC在一条直径 OD的同侧，那么ABC=12AOC吗？请同学们独立完成证明 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO并延长交O于 D，那么AOD=2ABD，COD=2 CBO，而ABC=ABD-CBO=12AOD-12COD=12AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角AB C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的 从（1）、（2）、（3

22、），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目 例 1如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长 BD到 C，使 AC=AB，BD与 CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个ABC是等腰，要证明 D是 BC的中点，只要连结 AD证明 AD是高或是BAC的平分线即可 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD AB是O的直径 ADB=90 即 AD BC 又A

23、C=AB BD=CD OBACDOBACD嘉远教育九年级数学 13 OBACD 三、巩固练习 1教材 P92 思考题 2教材 P93 练习 四、应用拓展 例 2如图，已知ABC内接于O，A、B、C的对边分别设为 a，b，c，O半径为R，求证：sinaA=sinbB=sincC=2R 分析：要证明sinaA=sinbB=sincC=2R，只要证明sinaA=2R，sinbB=2R，sincC=2R，即sinA=2aR，sinB=2bR，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行 证明：连接 CO并延长交O于 D，连接 DB CD是直径 DBC=90 又A=D 在 RtDBC中，sinD=BCDC，即 2R=sinaA 同理可证：sinbB=2R，sincC=2R sinaA=sinbB=sincC=2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆周角的概念；2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；3半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题 六、布置作业 1教材 P95 综合运用 9、10、11 拓广探索 12、13 2选用课时作业设计