2023年大一微积分期末试卷及超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、 微积分期末试卷 选择题（6）cossin1.()2,()()22()()B()()Dxxf xg xf xg xf xg xC1设在区间（0，）内（）。是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x1nnnn20cossin1nA X(1)B Xsin21C X(1)xnexxnaDa、x时，与相比是（）高阶无穷小低阶无穷小等价无穷小同阶但不等价无价小、=是函数=（-sinx)的（）连续点可去间断点跳跃间断点无穷型间断点、下列数列有极限并且极限为的选项为（）n1 Xcosn 200000001()5()()()()0()BC()fxffCff令（），则必有 15 FF

2、FFT 三、计算题 1 用洛必达法则求极限2120limxxx e 解：原式=222111330002(2)limlimlim12xxxxxxeexexx 2 若34()(10),(0)f xxf求 解：33223333232233432()4(10)312(10)()24(10)123(10)324(10)108(10)()0fxxxxxfxxxxxxxxxxfx 3 240lim(cos)xxx求极限 数列有极限并且极限为的选项为若在处取得最大值则必有且不存在或曲线仅有水平渐近线仅有铅直渐近线既有铅直又域与值域分别是的点为则的值分别为若解原式二判断题无穷多个无穷小的和是无穷小在区间是连续函

3、数一定为的拐点解求极限原式解原式的导数求解解原式求解原式四证明题证明方程有且仅有一正实根证明设且在上连续至少存在使得4I cos2204I coslim022000002lim1(sin)4costancoslimcoslimlimlimlim22224nxxxnxxxxxxxxeexInxxxxInxxxxxxe Q解：原式=原式 4 531(31)2xyxx求的导数 53511I311232215311113 3121221511(31)2 312(1)2(2)n yInxIn xIn xyyxxxxyxxxxx 解：5 3tan xdx 2222tantansec1)tansectant

4、ansintantancos1tantancoscos1tancos2xxdxxxdxxxdxxdxxxdxdxxxdxdxxxInxc解：原式=（=6arctanxxdx求 数列有极限并且极限为的选项为若在处取得最大值则必有且不存在或曲线仅有水平渐近线仅有铅直渐近线既有铅直又域与值域分别是的点为则的值分别为若解原式二判断题无穷多个无穷小的和是无穷小在区间是连续函数一定为的拐点解求极限原式解原式的导数求解解原式求解原式四证明题证明方程有且仅有一正实根证明设且在上连续至少存在使得22222222211arctan()(arctanarctan)2211 1(arctan)2111arctan(1

5、)211arctan22xd xxxx dxxxxdxxxxdxxxxxc 解：原式=四、证明题。1、证明方程310 xx 有且仅有一正实根。证明：设3()1f xxx 1221222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),(0()01)()00()00,(),()()0,()0()31fff xff xf xf xx xxf xx xx xf xf xx xff QQ且在上连续至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x在上连续，在（）内可导且至少（），s t而3110 xx 与假设相矛盾方程有且只有一个正实根 2、arcsinar

6、ccos1x12xx 证明（）22()arcsinarccos11()0,1,111()(0)arcsin0arccos02(1)arcsin1arccos12(1)arcsin(1)arccos(1)2()arcsinarccos1,12f xxxfxxxxf xcffff xxxx 证明：设综上所述，数列有极限并且极限为的选项为若在处取得最大值则必有且不存在或曲线仅有水平渐近线仅有铅直渐近线既有铅直又域与值域分别是的点为则的值分别为若解原式二判断题无穷多个无穷小的和是无穷小在区间是连续函数一定为的拐点解求极限原式解原式的导数求解解原式求解原式四证明题证明方程有且仅有一正实根证明设且在上连续

7、至少存在使得五、应用题 1、描绘下列函数的图形 21yxx 32233.Dy=(-,0)(0,+)1212.y=2x-102220,1xxxyxyxyx 解：1令得令得 3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 50lim(),()0 xf xf xx 有铅直渐近线 6 如图所示：数列有极限并且极限为的选项为若在处取得最大值则必有且不存在或曲线仅有水平渐近线仅有铅直渐近线既有铅直又域与值域分别是的点为则的值分别为若解原式二判断题无穷多个无穷小的和是无穷小在区间是连续函数一定为的拐点解求极限原式解原式的导数求解解原式求解原式四证明题证明方程有且仅有一正实根证明设且在上

8、连续至少存在使得 2.讨论函数22()f xxInx的单调区间并求极值 12()22(1)(1)()2(0)()0,1,1Df xRxxfxxxxxfxxx 解：令得 由上表可知 f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)和 单调递增区间为(1,0)1 和（，）且 f(x)的极小值为 f(-1)=f(1)=1 数列有极限并且极限为的选项为若在处取得最大值则必有且不存在或曲线仅有水平渐近线仅有铅直渐近线既有铅直又域与值域分别是的点为则的值分别为若解原式二判断题无穷多个无穷小的和是无穷小在区间是连续函数一定为的拐点解求极限原式解原式的导数求解解原式求解原式四证明题证明方程有且仅有一正实根证明设且在上连续至少存在使得