2023年完整一元二次方程知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

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1、 21 章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2；（4）二次项系数不能等于 0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个

2、一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如02cbxax不一定是一元二次方程，当且仅当0a时是一元二次方程。二、一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2x时，0232 xx所以2x是0232 xx方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0 时，一元二次方程有 2 个

3、不相等的实数根；II 当=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；III 当0 时，一元二次方程没有实数根 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定cba.,的值；计算acb42的值；根据acb42的符号判定方程根的情况。根的判别式的逆用 在方程002acbxax中，（1）方程有两个不相等的实数根acb420（2）方程有两个相等的实数根acb42=0（3）方程没有实数根acb420 注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件。四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02acbxax

4、的两个实数根是21xx，那么abxx21，acxx21。在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a0因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定 a，b，c 的值；若 b2 4ac0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x 4)2 =3（x4）中，不能随便约去 x4。注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法 6一元二次方程解的情况 b24ac0方程有两个不相等的实数根；b24ac=0方程有两个相等的

5、实数根；b24ac0方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用 b24ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点 3：根与系数的关系:韦达定理 对于方程 ax2 bx+c=0(a 0）来说，x1+x2=ab，x1 x2=ac。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程的应用 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键

6、点：找出题中的等量关系。一、一元二次方程的有关概念 18)2(2)1(3xxx的一般形式是 ，其中二次项是 ，一次项系数是 2当k=时，方程0)1(2kxkx有一根是 0.3若（b1）2+a2=0 下列方程中是一元二次方程的只有（）（A）ax2+5x b=0（B）(b2 1)x2+(a+4)x+ab=0（C）(a+1)x b=0（D）(a+1)x2 bx+a=0 4.关于x的方程是(m21)x2+(m1)x2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.5方程（m 2）x2m2x40 是一元二次方程，则 m的值为 6已知053)23(6522xxmmmm,是关于x的二次

7、方程,则m 7已知1x 是方程260 xax 的一个根，则 a=_，另一个根为_；8下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（）A.12132xx B.02112xx C.02cbxax D.1222xxx 9关于 x 的一元二次方程02cbxax,当 a+b+c=0 时，方程的根为_；当方程的一根为1 时，a,b,c满足的条件是_ 二、一元二次方程的解法 1 方程0322 xx的根是 2 已知代数式 4x2 14=50,则 x 的值为 28 块相同的长方形地砖拼成面积为 2400 2的矩形 ABCD（如图），则矩形 ABCD 的周长为（）（A）200（B）220 （C）240（D）280

8、3已知关于 x 的二次方程（m+1）x2+3x+m2 3m 4=0 的一个根为0，求 m的值 4请写出一个一元二次方程使它有一个根为 3，5分式1872xxx的值是 0，则_x；6用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0 化为1681)47(2t D.3y2-4y-2=0 化为910)32(2y 7下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A.若x2=4，则x2 B.方程x(2x1)2x1 的解为x1 C.若x2+2x+k=0 的一个根为 1，则3k D.若

9、分式1232xxx的值为零，则x1，2 8 方 程 21 230yy 的 根 是 _；方 程0162x的 根 是_；方程 9)12(2x的根是 ；方程x2-1=0 的根为_；9)12(2x 的根是_ 9设ba,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)(2222baba，则这个直角三角形的斜边长为 10.方程02322 xx两根的平方和 倒数和 11已知实数x满足xxx22101x,那么xx1的值为 12已知方程（x+a）（x-3）=0 和方程 x2-2x-3=0 的解相同，则 a=_ 14等腰三角形的两边的长是方程091202xx的两个根，则此三角形的周长为（）A.27 B.33 C.27

10、和 33 D.以上都不对 15 若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .16请写出一个根为 x=-1，另一根满足11x的一元二次方程 一元二次方程解法练习题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。1、0142x 2、2)3(2x 3、512x 4、162812x 二、用配方法解下列一元二次方程。1、.0662 yy 2、xx4232 3、9642 xx 4、0542xx 5、01322 xx 6、07232 xx 7、01842xx 三、用公式解法解下列方程。1、0822 xx 2、22314yy 3、yy32132 4、01522 xx 5、1842xx 6、

11、02322xx 四、用因式分解法解下列一元二次方程。1、xx22 2、0)32()1(22xx 3、7526 52xxx 4、22)2(25)3(4xx 5、0)21()21(2xx 6、0)23()32(2xx 742)2)(1(xxx 五、用适当的方法解下列一元二次方程。1、513xxxx 2、xx5322 3、2260 xy 4、01072 xx 5、623xx 6、03342xxx 7、02152x 8、0432 yy 9、03072 xx 10、412yy 11、1314xxx 12、025122x 13.012xx 14.02932 xx 15.x2+4x-12=0 16.0175

12、2 xx 17.1852 xx 18、3x2+5(2x+1)=0 19、xxx22)1)(1(20、1432 xx 三、一元二次方程根的判别式 1关于 x 的方程kx26x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .2若关于 x 的方程 x2 2(a 1)x=(b+2)2有两个相等的实根，则 a2004+b5的值为 3若关于 x 的方程 x2 2x(k-x)+6=0无实根，则 k 可取的最小整数为_ 4方程012 kxx的根的情况是 _ 5 关于x的方程032mxx有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 6.如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）7关于x的一元

13、二次方程04)(2cabxxca有两个相等的实数根,那么以a、b、c 为三边的三角形是()A、以a为斜边的直角三角形 B、以c为斜边的直角三角形 C、以b为底边的等腰三角形 D、以c为底边的等腰三角形 8关于x的一元二次方程02322mxx的根的情况是 ()A.有两个不相等的实根 B.有两个相等的实根 C.无实数根 D.不能确定 9已知关于x的方程240 xxa 有两个相同的实数根，则a的值是 10 关 于的 一 元 二 次 方 程 有两个实数根，则的取值范围是 。11.已知关于x的方程2690kxx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 12若关于x的一元二次方程022mxx有两个不相等的

14、实数根，则化简代数式1)2(2mm的结果为_ 13如果关于x的方程210 xaxa 有两个相等的实数根，那么a的值等于 .14如果关于 x 的方程2210kxx 有实数根，则实数k的取值范围是 15求证：不论 k 取什么实数，方程 x2-(k+6)x+4(k-3)=0 一定有两个不相等的实数根.16.已知 a、b、c 为三角形三边长，且方程 b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0 有两个相等 的实数根.试判断此三角形形状，说明理由 四、一元二次方程根与系数的关系 1、关于x的方程 2x2+(m29)x+m+1=0，当m=时，两根互为倒数；当m=时，两根互为相反数.2、设x1、x2是方程3x

15、2+4x5=0的两根，则2111xx .x12+x22=.3、若x1=23 是二次方程x2+ax+1=0 的一个根，则a=，该方程的另一个根x2=.4、方程x2+2x+a1=0 有两个负根，则a的取值范围是 5、若p23p5=0，q23q5=0，且pq，则2211pq .6、已知方程0)1(2kxkx的两根平方和是 5，则k=.7、如果把一元二次方程 x23x1=0 的两根各加上 1 作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是 .8.方程0132 axx的两个根分别是0462 xax两个根的一半，则_a；9如果、是一元二次方程 x23x20 的两个根，则22的值是 10已知三角形两

16、边长是方程2560 xx 的两个根，第三边c=3,则三角形的的周长是 考点：一元二次方程的应用 一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是 a(1x）2=b，其中 a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过 1。经济利润问题：总利润=（单件销售额单件成本）销售数量；或者，总利润=总销售额总成本。动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要

17、想办法把图中 变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性 二、经典考题剖析：【考题 1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为 130 平方米的花圃（如图 121），打算一面利用长为 15 米的仓库墙面，三面利用长为 33 米的旧围栏，求花圃的长和宽 解：设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为332x米，依题意得332130 xx，22331300 xx110 x 2132x 又 当11

18、0 x 时，33213x 当2132x 时，33220 x15 132x 不合题意，舍去10 x 答：花圃的长为 13 米，宽为 10 米【考题 2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10 平方米提高到 12.1 平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9 B.10 C.11 D.12 解：设年增长率为 x，根据题意得 10(1+x)2=12.1，解得 x1=0.1，x2=2.1 因为增长率不为负，所以 x=0.1。故选 D。【考题 3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元，每天

19、可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得 C (5002 0 x)（10+x）=6000 整理，得 x215x50=0 解这个方程，x1=5，x2=10 要使顾客得到实惠，应取 x=5 答：每千克应涨价 5 元 点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况 【考题 4】如图，在ABC 中，B=90，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点开始沿 A

20、B 边向点 B点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于 4？（2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？解：（1）设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 4，则由题意得 AP=x，BP=5x，BQ=2x,由21BPBQ=4，得21（5x）2x=4，解得，x1=1，x2=4 当 x=4 时，BQ=2x=8 7=BC，不符合题意。故 x=1 （2）由 BP2+BQ2=52得（5x）2+（2x）2=52,解得 x1=0

21、（不合题意），x2=2 所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花 10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜 05 元，结果小明的妈妈只比上次多花了 2P Q B C A 元钱，却比上次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40元。为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈

22、利 1200 元，那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540 米 2，道路的宽应为多少？4小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的 20%），共取得 5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到 0.1%）5如图 12-3，ABC 中，B=90，点 P 从 A 点开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动。（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经几秒

23、钟，使ABQ 的面积等于 8cm2?(2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 以 C 后又继续在 AC 边上前进，经几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6 cm2。解：依题意，得：21（6-x）2x=8 解这个方程得：x1=2，x2=4 即经过 2s，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；经过 4s，点 P 到距离 B 点32m 20m 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处。故本小题有两解。（2）设经过 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有 CP=（14-x）cm,点 Q 移动到 CA 上，且命

24、名CQ=（2x-8）cm，过 Q 作 QDCB 于 D。CQDCAB，ACABxQD 82，即 QD=10)82(6x。依题意，得：21（14-x）10)82(6x=12.6，解这个方程得：x1=7，x2=11 经过 7s，点 P 在 BC 距离 C 点 7cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使 SPCQ=12.6cm2 经过 11s，点 P 在 BC 距离 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处，140,点 Q已超出 CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。例 1、某种商品原价 50 元。因销售不畅,3 月份降价 10%,从 4 月份开始涨价,

25、5 月份的售价为 64.8 元,则 4、5 月份两个月平均涨价率为 .思维点击：由题意，3 月份的售价可以用 50（110%）表示，若设 4、5 月份两个月平均涨价率为x，则 4 月份的售价是 50（110%）（1+x），5 月份的售价是 50（110%）（1+x）（1+x）即 50（110%）（1+x）2，由于 5 月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。解：设 4、5 月份两个月平均涨价率为x，由题意，得 50（110%）（1+x）2=64.8。整理，得（1+x）2=1.44.解得：120.220%,2.2xx（不合题意，舍去）。所以 4、5 月份两个月平均涨价率为 20%。解后

26、反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。例 2、如图，一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 800 平方米.求截去正方形的边长.思维点击：设截去正方形的边长 x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.解：设截去正方形的边长为 x 厘米，根据题意，得(602x)(402x)800.原方程可写成：2504000.xx 解这个方程，得1210,40.xx 如果截去的小正方形的边长为 40 厘米，那么左下角和右下角的两个小

27、正方形的边长之和为 80 厘米，这超过了长方形铁皮的长 60 厘米，因此240 x 不符合题意，应舍去。答：截去正方形的边长为 10 厘米。温馨提示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.范例探究 基础思维探究 探究点 1、与图形有关的问题 例 1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园 20 米的院墙，另外三边用55 米长的篱笆，围起一个面积为 3003m的矩形场地组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物问这个场地的各边

28、长为多少？思维点击：设与院墙垂直的边长为 x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据矩形面积公式可列出方程式 解：设与院墙垂直的边长为 x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据题意得：552300 xx 整理，得22553000 xx.解方程，得1220,15.xx 当 x20，即与院墙垂直的边长为 20 米时，另一边长为 20 米，即与院墙平行的边长为15 米 当 x15，即与院墙垂直的边长为 15 米时，另一边长为 25 米，即与院墙平行的边长为25 米由于校园的院墙长 20 米，2025，所以此解不合题意，应舍去 答：与院墙垂直的边长为 20 米，与院墙平行的边长为 1

29、5 米 温馨提示：若设与院墙平行的边长为 x m，则与院墙垂直的边长为255xm 根据矩形面积公式也可以列出方程式但出现了分数，不如前一种设法好 探究点 2、利润问题 例 2、某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40元。为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？思维点击：每天售出的童装件数 每件童装的利润=每天这种童装的总利润。解：设每件童装应降价x元，根据题意

30、，得208401200.4xx 化简，得2302000 xx，解得1220,10 xx。因为要尽快减少库存，所以x应取 20。答：每件童装应降价 20 元。温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。探究点 3、增长率问题 例 3、某厂 1 月份生产零件 2 万个，第一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。思维点击：解：设每月的平均增长率为 x，依题意，得 2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98 经整理，得 100 x2+300 x-99=0，解得 x1=0.3=30%，x2=-3.3不合题意，舍去。答：每月的增长率为 30%。温馨提示：（

31、1）解本题的关键是理解“7.98 万个零件是 3 个月生产量的总和”，一定要注意审题；（2）牢记公式 1naxb，a为增长率（降低）前的基础数量，x为增长率（降低率），n为增长（降低）的次数，b为增长（降低）后的数量.综合思维探究 例 4、一块矩形耕地大小尺寸如图 1 所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖 2 条和 4 条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为 9600 米2，那么水渠应挖多宽？图 1 图 2 思维点击：这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）。如

32、图 2 所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（1622x）米，宽为（644x）米。解：设水渠应挖 x 米宽，则根据题意，得()()16226449600 xx xx297960 解得：，舍去xx12196()答：水渠应挖 1 米宽。温馨提示：此类问题可采用“靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的化归思想.创新拓展思维探究 例 5、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36 千克。为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻

33、关。甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油的重复利用率仍为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油的重复利用率将增加 1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克。问乙车间技术革新后，加工 一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？思维点击：（1）机械设备实际耗油量为用油量-重复使用的用油量；（2）若设技术革新后的乙车间加工一台大型机械设备润滑用油

34、量为x千克，则比技术革新前下降了（90-x）千克，从而重复利用率增加了%6.1)90(x，这样，就可以根据题意列出方程。解：（1）由题意，得70(160%)7040%28（千克）。（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由题意，得1(90)1.6%60%12xx ，整理，得2657500 xx，解得：1275,10 xx（舍去），(9075)1.6%60%84%。答：(1)技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克.(2)技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 千克?用油的重复利用率是 84%.解后反思：本题考查了考生灵活利用一元二次方程解决实际问题的能力。