2023年解直角三角形超详细导学案.pdf

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1、 课题：242解直角三角形1 【学习目标】:使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形:通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力:渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯【学习重点】直角三角形的解法【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲：1在三角形中共有几个元素？2直角三角形 ABC 中，C=90，a、b、c、A、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 abAbaAcbAcaAcot;tan;cos;sin ba

2、BabBcaBcbBcot;tan;cos;sin 如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边cottancossin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系A+B=90 a2 +b2 =c2(勾股定理)以上三点正是解直角三角形的依据 二、合作交流：一般要满足，(如图).现有一个长 6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到 0.1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o)这时人是否能够安全使用这个梯子 三、教师点拨：例 1在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对

3、的边分别为 a、b、c，且 b=2，a=6，解这个三角形 例 2 在 RtABC 中，B=35o，b=20，解这个三角形 四、学生展示：补充题 1 根据直角三角形的_元素 至少有一个边，求出_ 其它所有元素的过程，即解直角三角形 2、在 RtABC 中，解这个三角形 3、在ABC 中，C 为直角，AC=6，BAC的平分线 AD=43，解此直角三角形。4、RtABC中，假设 sinA=45，AB=10，那么 BC=_，tanB=_ 5、在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，那么 sinA=_ 6、在ABC中，C=90，sinA=35，则 cosA 的值是 A35 B45 C916.2525D

4、 五、课堂小结：小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”六、作业设置：课本 复习稳固第 1 题、第 2 题 七、自我反思：本节课我的收获:。课题：242解直角三角形2 【学习目标】:使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题:逐步培养学生分析问题、解决问题的能力 的邻边的对边AA:渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1解直角三角形指什么？2解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(

5、2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角 三、教师点拨：例 3 2003 年 10 月 15 日“神舟”5 号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球外表350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球外表上 P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与 P 点的距离是多少?(地球半径约为 6 400 km，结果精确到 0.1 km)例 4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30o，看这栋离楼底

6、部的俯角为 60o，热气球与高楼的水平距离为 120 m.这栋高楼有多高(结果精确到)?斜边的邻边AAcos斜边的对边AAsin 四、学生展示：一、课本练习 第 1、2 题 五、课堂小结：六、自我反思：本节课我的收获:。课 型：新授课 课题：242解直角三角形3 【学习目标】:使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角 :逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法 :稳固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题 【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题 【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 【导学过程】一、自学提纲：坡度与

7、坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度l的比叫做坡度或叫做坡比，一般用 i 表示。即 把坡面与水平面的夹角叫做坡角 结合图形思考，坡度 i 与坡角之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。二、教师点拨：例 5 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上的 B 处.这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？例 6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图 6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB 的坡度 i=13，斜坡 C

8、D 的坡度 i=1，求斜坡 AB的坡面角，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到)四、学生展示：完成课本 91 页练习 补充练习(1)一段坡面的坡角为 60，则坡度 i=_；_，坡角_度 2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为 1，渠道底面宽 BC 为米，求：横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数 五、课堂小结：六、作业设置：课本 习题 242 复习稳固第 5、6、7 题 七、自我反思：本节课我的收获:。课题：锐角三角函数定义检测 ：学习要求 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义能依据锐角三角函数的

9、定义，求给定锐角的三角函数值 课堂学习检测 一、填空题 1 如下图，B、B是MAN 的 AN 边上的任意两点，BCAM 于 C 点，BCAM 于 C点，则BAC_，从而ACBABCCB)()(，又可得 BACB_，即在 RtABC 中(C90)，当A确定时，它的_与_的比是一个_值；BACA_，即在 RtABC 中(C90)，当A确定时，它的_与_的比也是一个_；CACB_，即在 RtABC 中(C90)，当A确定时，它的_与_的比还是一个_ 第 1 题图 2如下图，在 RtABC 中，C90 第 2 题图 斜边)(sinA_，斜边)(sinB_；斜边)(cosA_，斜边)(cosB_；的邻边

10、AA)(tan_，)(tan的对边BB_ 3因为对于锐角的每一个确定的值，sin、cos、tan分别都有_与它_，所以 sin、cos、tan都是_又称为的_ 4在 RtABC 中，C90，假设 a9，b12，则 c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_ 5在 RtABC 中，C90，假设 a1，b3，则 c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_ 6在 RtABC 中，B90，假设 a16，c30，则 b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_ 7在 RtABC 中，C90，假设A30，则

11、B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_ 二、解答题 8已知：如图，RtTNM 中，TMN90，MRTN 于 R点，TN4，MN3 求：sinTMR、cosTMR、tanTMR 9已知 RtABC 中，,12,43tan,90BCAC求 AC、AB和 cosB 综合、运用、诊断 10已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB于 E 点 DEAE12 求：sinB、cosB、tanB 11已知：如图，ABC 中，AC12cm，AB16cm，31sin A (1)求 AB 边上的高 CD；(2)求ABC 的面积 S；(3)求 tanB 1

12、2已知：如图，ABC 中，AB9，BC6，ABC 的面积等于 9，求 sinB 拓展、探究、思考 13已知：如图，RtABC 中，C90，按要求填空：(1),sincaA cAca,sin_；(2),coscbA b_，c_；(3),tanbaA a_，b_；(4),23sinBBcos_，Btan_；(5),53cosB Bsin_，Atan_；(6)Btan3，Bsin_，Asin_ 学后反思 课题：特殊锐角三角函数定义检测 学习要求 1掌握特殊角(30，45，60)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角 2初步了解锐角三角函数的一些性

13、质 课堂学习检测 一、填空题 1填表 锐角 30 45 60 sin cos tan 二、解答题 2求以下各式的值(1)o45cos230sin2 (2)tan30sin60sin30 (3)cos453tan30cos302sin602tan45 (4)45sin30cos30tan130sin145cos222 3求适合以下条件的锐角(1)21cos (2)33tan (3)222sin (4)33)16cos(6 4用计算器求三角函数值(精确到 0.001)(1)sin23_；(2)tan545340_ 5用计算器求锐角(精确到 1)(1)假设 cos0.6536，则_；(2)假设 ta

14、n(210317)1.7515，则_ 综合、运用、诊断 6已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB于 E，BE16cm，1312sin A 求此菱形的周长 7已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5 求：sinACB 的值 8已知：如图，RtABC 中，C90，BAC30，延长 CA 至 D 点，使 ADAB求：(1)D 及DBC；(2)tanD 及 tanDBC；9已知：如图，RtABC 中，C90，3BCAC，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD 10已知：如图ABC 中，D 为BC 中点，且BAD

15、90，31tan B，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD 11已知：如图，AOB90，AOOB，C、D 是上的两点，AODAOC，求证：(1)0sinAOCsinAOD1；(2)1cosAOCcosAOD0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_ 12已知：如图，CAAO，E、F 是 AC 上的两点，AOFAOE (1)求证：tanAOFtanAOE；(2)锐角的值随角度的增大而_ 13已知：如图，RtABC 中，C90，求证：(1)sin2Acos2A1；(2)AAAcossintan 课题：解直角三角形(一)检测 学习要求 理解解直角三角形

16、的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型 课堂学习检测 一、填空题 1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如下图)：在 RtABC 中，C90，ACb，BCa，ABc，第 1 题图 三边之间的等量关系：_ 两锐角之间的关系：_ 边与角之间的关系：BAcossin_；BAsincos_；BAtan1tan_；BAtantan1_ 直角三角形中成比例的线段(如下图)第小题图 在 RtABC 中，C90，CDAB于 D CD2_；AC2_；BC2_；ACBC_ 直角三角形的主要线段(如下图)第小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_ 假设 r 是 RtABC(C90)的内

17、切圆半径，则 r_ 直角三角形的面积公式 在 RtABC 中，C90，SABC_(答案不唯一)2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角)3填写下表：已知条件 解法 一条边和 斜边 c 和锐角A B_，a_，b_ 一个锐角 直角边 a 和锐角A B_，b_，c_ 两条边 两条直角边 a 和 b c_，由_求A，B_ 直角边 a 和斜边 c b_，由_求A，B_ 二、解答题 4在 RtABC 中，C90(1

18、)已知：a35，235c，求A、B，b；(2)已知：32a，2b，求A、B，c；(3)已知：32sinA，6c，求 a、b；(4)已知：,9,23tanbB求 a、c；(5)已知：A60，ABC 的面积,312S求 a、b、c 及B 综合、运用、诊断 6如下图，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中 AB、BC 两段)，其中 CC BB结合图中所给的信息，求两段楼梯 AB与 BC 的长度之和(结果保留到)(参考数据：sin300.50，cos300.87，sin350.57，cos350.82)7如下图，某公司入口处原有三级台

19、阶，每级台阶高为 20cm，台阶面的宽为 30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为 12的斜坡，设原台阶的起点为 A，斜坡的起点为 C，求 AC 的长度(精确到 1cm)拓展、探究、思考 8如下图，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是假设干层，每层高均为 3m，冬天太阳光与水平面的夹角为 30 (1)假设要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离 BD 至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离 BD21m，假设仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?装订线 9王英同学从 A地沿北偏西 6

20、0方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A地多少距离?10已知：如图，在高 2m，坡角为 30的楼梯外表铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)、四中先学后教、当堂达标数学导学案 年级：九年级 课 型：新授课 课题：解直角三角形(二)检测 学习要求 能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形 课堂学习检测 1已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm 求 AB 及 BC 的长 2已知：如图，RtABC 中，D90，B45，ACD60BC10cm求 AD 的长 3已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm 求 AB

21、及 BC 的长 4已知：如图，RtABC 中，A30，C90，BDC60，BC6cm求 AD 的长 综合、运用、诊断 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A处测得河对岸点 C 的俯角为 30，测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河宽 CD 为 50m现需从山顶 A到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC，求山的高度及缆绳 AC 的长(答案可带根号)6已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，

22、732.13)7已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60，DAE45点 D 到地面的垂直距离m23DE，求点 B 到地面的垂直距离 BC 8已知：如图，小明准备测量学校旗杆 AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆 AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长 BC20m，斜坡坡面上的影长 CD8m，太阳光线 AD 与水平地面成 26角，斜坡 CD 与水平地面所成的锐角为 30，求旗杆 AB的高度(精确到 1m)9已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚 A沿坡角为 30

23、的山坡 AB 行走 400m，到达一个景点 B，再由 B地沿山坡 BC 行走 320 米到达山顶 C，如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 60求山高 CD(精确到)10已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根 2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为 2m 问路灯高度为多少米?11已知：如图，在一次越野比赛中，运发动从营地 A出发，沿北偏东 60方向走了 500m3到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m，到达目的地 C 点求 (1)A、C 两地之间的距离；(2)确定目的地 C 在营地 A的什么方向?12已知：如图，在 1998 年特大洪水时期，要加固全长为 10000m 的河堤大堤高 5m，坝顶宽 4m，迎水坡和背水坡都是坡度为 11 的等腰梯形现要将大堤加高 1m，背水坡坡度改为 11.5已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?