2023年最新中考数学动点问题超详细知识汇总全面汇总归纳及超详细解析答案.pdf

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1、 2020 年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题 26 动点综合问题【共 45 题】一选择题（共11 小题）1（2020铜仁市）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D，设点 P 运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）A B C D【分析】分别求出 0 x4、4x7 时函数表达式，即可求解【解析】由题意当 0 x4 时，y=12 ADAB=12 346，当 4x7 时，y=12 PDAD=12（7x）4142x 故选：D 2（2020安徽）如图，ABC 和DEF 都是边长为 2 的等边三

2、角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E 重合现将ABC 在直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动在此过程中，设点 C 移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（）A B C D【分析】分为 0 x2、2x4 两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得 y 与x 的函数关系式，于是可求得问题的答案【解析】如图 1 所示：当 0 x2 时，过点 G 作 GHBF 于 H ABC 和DEF 均为等边三角形，GEJ 为等边三角形 GH=32EJ=32x，y=12EJ GH=34x2 当 x2 时，y=3

3、，且抛物线的开口向上 如图 2 所示：2x4 时，过点 G 作 GHBF 于 H y=12FJ GH=34（4x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 故选：A 3（2020江西）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，连接 AB，将 RtOAB 向右上方平移，得到 RtOAB，且点 O，A落在抛物线的对称轴上，点 B落在抛物线上，则直线 AB的表达式为（）Ayx Byx+1 Cyx+12 Dyx+2【分析】求得 A、B 的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出 A（1，n），则 B（4，n+3），把 B（4，n+

4、3）代入抛物线解析式求得 n，即可求得 A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的表达式【解析】如图，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，令 y0，解得 x1 或 3，令 x0，求得 y3，A（3，0），B（0，3），抛物线 yx22x3 的对称轴为直线 x=221=1，A的横坐标为 1，设 A（1，n），则 B（4，n+3），点 B落在抛物线上，n+31683，解得 n2，A（1，2），B（4，5），设直线 AB的表达式为 ykx+b，+=24+=5，解得=1=1 直线 AB的表达式为 yx+1，故选：B 4（2020衡阳）如图 1，在平面直角坐标

5、系中，ABCD 在第一象限，且 BCx 轴直线 yx 从原点 O 出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴上平移的距离 m的函数图象如图 2 所示那么 ABCD 的面积为（）A3 B3 2 C6 D6 2【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边 AD 的长和边 AD 边上的高 BM 的长，从而可以求得平行四边形的面积【解析】过 B 作 BMAD 于点 M，分别过 B，D 作直线 yx 的平行线，交 AD 于 E，如图 1 所示，由图象和题意可得，AE642，DE761，BE2，AB2+13，直线 BE 平行直线 yx，BMEM

6、=2，平行四边形 ABCD 的面积是：AD BM3 2=3 2 故选：B 5（2020辽阳）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2，CDAB 于点 D点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PEAC 于点 E，作 PFBC 于点 F设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（）A B C D【分析】根据 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2，可得 AB4，根据 CDAB 于点 D可得ADBD2，CD 平分角 ACB，点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点

7、C 停止，分两种情况讨论：根据 PEAC，PFBC，可得四边形 CEPF 是矩形和正方形，设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，进而可得能反映 y 与 x 之间函数关系式，从而可以得函数的图象【解析】在 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2，AB4，A45，CDAB 于点 D，ADBD2，PEAC，PFBC，四边形 CEPF 是矩形，CEPF，PECF，点 P 运动的路程为 x，APx，则 AEPEx sin45=22x，CEACAE2 2 22x，四边形 CEPF 的面积为 y，当点 P 从点 A出发，沿 AD 路径运动时，即 0 x2 时，yPE CE =22x

8、（2 2 22x）=12x2+2x=12（x2）2+2，当 0 x2 时，抛物线开口向下；当点 P 沿 DC 路径运动时，即 2x4 时，CD 是ACB 的平分线，PEPF，四边形 CEPF 是正方形，AD2，PDx2，CP4x，y=12（4x）2=12（x4）2 当 2x4 时，抛物线开口向上，综上所述：能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是：A 故选：A 6（2020孝感）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AB4，BC6，BAD30动点P 沿路径 ABCD 从点 A出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动过点 P 作 PHAD，垂足为 H设点 P 运动的时间为 x（

9、单位：s），APH 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）A B C D【分析】分别求出点 P 在 AB 上运动、点 P 在 BC 上运动、点 P 在 CD 上运动时的函数表达式，进而求解【解析】当点 P 在 AB上运动时，y=12AHPH=12 APsinAAPcosA=12 x234=38x2，图象为二次函数；当点 P 在 BC 上运动时，如下图，由知，BHABsinA412=2，同理 AH2 3，则 y=12 AHPH=12（2 3+x4）22 3 4+x，为一次函数；当点 P 在 CD 上运动时，同理可得：y=12（2 3+6）（4+6+2x）（3+3）（12x），为一次

10、函数；故选：D 7（2020淄博）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则ABC 的面积是（）A12 B24 C36 D48【分析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC 边上的高为 8（即此时BP8），即可求解【解析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC 边上的高为 8（即此时 BP8），当 y8 时，PC=22=10282=6，ABC 的面积=12 ACBP=12 8

11、1248，故选：D 8（2020广元）如图，AB，CD 是O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OCBO 的路线匀速运动，设APDy（单位：度），那么 y 与点 P 运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A B C D【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点 P 沿 OC 运动时；（2）当点 P 沿 CB 运动时；（3）当点P 沿 BO 运动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可【解析】（1）当点 P 沿 OC 运动时，当点 P 在点 O 的位置时，y90，当点 P 在点 C 的位置时，OAOC，y45，y 由 90

12、逐渐减小到 45；（2）当点 P 沿 CB 运动时，根据圆周角定理，可得 y90245；（3）当点 P 沿 BO 运动时，当点 P 在点 B 的位置时，y45，当点 P 在点 O 的位置时，y90，y 由 45逐渐增加到 90 故选：B 9（2020金昌）如图，正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点动点 P 从点 E 出发，沿着 EOBA的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 A，在此过程中线段 AP 的长度 y 随着运动时间 x 的函数关系如图所示，则 AB的长为（）A4 2 B4 C3 3 D2 2【分析】连接 AE，由题意 DEOE，设 DEOEx，则

13、OAOD2x，AE2 5，在 RtAEO 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【解析】如图，连接 AE 四边形 ABCD 是正方形，ACBD，OAOCODOB，由题意 DEOE，设 DEOEx，则 OAOD2x，AE2 5，x2+（2x）2（2 5）2，解得 x2 或2（不合题意舍弃），OAOD4，ABAD4 2，故选：A 10（2020台州）如图 1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度 v（单位：m/s）与运动时间 t（单位：s）的函数图象如图 2，则该小球的运动路程 y（单位：m）与运动时间 t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A B C

14、D【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程 y 是 t 的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断【解析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程 y 是 t 的二次函数，图象是先缓后陡，在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C 11（2020河南）如图，在 ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（）A（32，2）B（2，2）C（114，2）D（4，2）【分析】根据已知条件得到 AC6，OC2，OB7，求得 BC9，根据正方形的性质得到 D

15、EOCOE2，求得 OEOC2，根据相似三角形的性质得到 BO3，于是得到结论【解析】如图，设正方形 DCOE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方形，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0），AC6，OC2，OB7，BC9，四边形 OCDE 是正方形，DEOCOE2，OEOC2，EOBC，BOEBCA90，EOAC，BOEBCA，=，26=9，BO3，OC7232，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2），故选：B 二填空题（共 11 小题）12（2020通辽）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是边 BC上一动点，

16、设 PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象上的最低点那么 a+b的值为 4+2 3 【分析】点 A关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，进而求解【解析】如图，将ABC 沿 BC 折叠得到ABC，则四边形 ABAC 为菱形，菱形的对角线交于点 O，设菱形的边长为 2m，在ABC 中，BC2BO2ACsinOAC4msin602 3m，从图 看，AB+BE3 3=3m，解得：m=3；点 A关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，ABAC，BAC120，则BAA60，故 AAB 为等边三角形，

17、E 是 AB 的中点，故 AEAB，而 ABAC，故PAC 为直角，则 aPC=230=433m，此时 bAA2m，则 a+b2m+433m4+2 3 故答案为 4+2 3 13（2020连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 y=34x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小值为 2 【分析】如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N首先证明点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C求出 M

18、N，当点 C 与 C重合时，CDE的面积最小 【解析】如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N ACCB，AMOM，MC=12OB1，点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C 直线 y=34x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，D（4，0），E（0，3），OD4，OE3，DE=32+42=5，MDNODE，MNDDOE，DNMDOE，=，3=35，MN=95，当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小，最小值=12 5（95 1）2，故答案为 2 14（2020福建）设 A，B，C，D 是反比例函数 y=图象上的

19、任意四点，现有以下结论：四边形 ABCD 可以是平行四边形；四边形 ABCD 可以是菱形；四边形 ABCD 不可能是矩形；四边形 ABCD 不可能是正方形 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【分析】如图，过点 O 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 A，C，B，D，得到四边形 ABCD证明四边形 ABCD 是平行四边形即可解决问题【解析】如图，过点 O 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于 A，C，B，D，得到四边形 ABCD 由对称性可知，OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形，当 OAOCOBOD 时，四边形 ABCD 是矩形 反比例函数的图象在一，三象限，直线 A

20、C 与直线 BD 不可能垂直，四边形 ABCD 不可能是菱形或正方形，故选项 正确，故答案为，15（2020淮安）如图，等腰ABC 的两个顶点 A（1，4）、B（4，1）在反比例函数 y=1（x0）的图象上，ACBC过点 C 作边 AB 的垂线交反比例函数 y=1（x0）的图象于点 D，动点 P 从点 D出发，沿射线 CD 方向运动 3 2个单位长度，到达反比例函数 y=2（x0）图象上一点，则 k2 1 【分析】用待定系数求得反比例函数 y=1，再与直线 yx 联立方程组求得 D 点坐标，再题意求得运动 后 P 点的坐标，最后将求得的 P 点坐标代入 y=2（x0）求得结果【解析】把 A（1

21、，4）代入 y=1中得，k14，反比例函数 y=1为=4，A（1，4）、B（4，1），AB 的垂直平分线为 yx，联立方程驵=4=，解得=2=2，或=2=2，ACBC，CDAB，CD 是 AB 的垂直平分线，CD 与反比例函数 y=1（x0）的图象于点 D，D（2，2），动点 P 从点 D 出发，沿射线 CD 方向运动 3 2个单位长度，到达反比例函数 y=2（x0）图象上一点，设移动后的点 P 的坐标为（m，m）（m2），则(+2)2+(+2)2=(3 2)2，x1，P（1，1），把 P（1，1）代入 y=2（x0）中，得 k21，故答案为：1 16（2020德州）如图，在矩形 ABCD 中

22、，AB=3+2，AD=3把 AD 沿 AE折叠，使点 D 恰好落在 AB边上的D处，再将AED绕点E顺时针旋转，得到AED，使得EA恰好经过BD的中点F AD交 AB 于点 G，连接 AA有如下结论：AF 的长度是 6 2；弧 DD的长度是5 312；AAFAEG；AAFEGF上述结论中，所有正确的序号是 【分析】由折叠的性质可得DADE90DAD，ADAD，可证四边形 ADED是正方形，可 得 ADADDEDE=3，AE=2AD=6，EADAED45，由勾股定理可求 EF 的长，由旋转的性质可得 AEAE=6，DED，EADEAD45，可求 AF=6 2，可判断；由锐角三角函数可求FED30

23、，由弧长公式可求弧 DD的长度，可判断；由等腰三角形的性质可求EAAEAA52.5，AAF7.5，可判断；由“HL”可证 RtEDGRtEDG，可得DGEDGE52.5，可证AFAEFG，可判断，即可求解【解析】把 AD 沿 AE折叠，使点 D 恰好落在 AB边上的 D处，DADE90DAD，ADAD，四边形 ADED是矩形，又ADAD=3，四边形 ADED是正方形，ADADDEDE=3，AE=2AD=6，EADAED45，DBABAD2，点 F 是 BD中点，DF1，EF=2+2=3+1=2，将AED绕点 E 顺时针旋转 ，AEAE=6，DED，EADEAD45，AF=6 2，故 正确；ta

24、nFED=13=33，FED30 30+4575，弧 DD的长度=753180=5312，故正确；AEAE，AEA75，EAAEAA52.5，AAF7.5，AAFEAG，AAEEAG，AFA120EAG，AAF 与AGE 不全等，故 错误；DEDE，EGEG，RtEDGRtEDG（HL），DGEDGE，AGDAAG+AAG105，DGE52.5AAF，又AFAEFG，AFAEFG，故正确，故答案为：17（2020东营）如图，在 RtAOB 中，OB2 3，A30，O 的半径为 1，点 P 是 AB边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（其中点 Q 为切点），则线段 PQ 长度的最小值为

25、2 2 【分析】连接 OP、OQ，作 OPAB于 P，根据切线的性质得到 OQPQ，根据勾股定理得到 PQ=21，根据垂线段最短得到当 OPAB时，OP 最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可【解析】连接 OP、OQ，作 OPAB于 P，PQ 是O 的切线，OQPQ，PQ=22=21，当 OP 最小时，线段 PQ 长度的最小，当 OPAB 时，OP 最小，在 RtAOB 中，A30，OA=6，在 RtAOP中，A30，OP=12OA3，线段 PQ 长度的最小值=321=2 2，故答案为：2 2 18（2020广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，

26、等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，ABC90，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN4，E 为 MN 的中点，点 D 到BA，BC 的距离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 2 5 2 【分析】如图，连接 BE，BD求出 BE，BD，根据 DEBDBE 求解即可【解析】如图，连接 BE，BD 由题意 BD=22+42=2 5，MBN90，MN4，EMNE，BE=12MN2，点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2 为半径的弧，当点 E 落在线段 BD 上时，DE 的值最小，DE 的最

27、小值为 2 5 2 故答案为 2 5 2 19（2020鄂州）如图，半径为 2cm 的O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方 形的中心，直线OE过F点 当正方形ABCD沿直线OF 以每秒（2 3）cm的速度向左运动 1或（11+6 3）秒时，O 与正方形重叠部分的面积为（23 3）cm2 【分析】分两种情形：如图 1 中，当点 A，B 落在O 上时，如图 2 中，当点 C，D 落在O 上时，分别求解即可解决问题【解析】如图 1 中，当点 A，B 落在O 上时，O 与正方形重叠部分的面积为（23 3）cm2 此时，运动时间 t（2 3）（2 3）1（秒）

28、如图 2 中，当点 C，D 落在O 上时，O 与正方形重叠部分的面积为（23 3）cm2 此时，运动时间 t4+2（2 3）（2 3）（11+6 3）（秒），综上所述，满足条件的 t 的值为 1 秒或（11+6 3）秒 故答案为 1 或（11+6 3）20（2020鄂州）如图，已知直线 y=3x+4 与 x、y 轴交于 A、B 两点，O 的半径为 1，P 为 AB上一动点，PQ 切O 于 Q 点当线段 PQ 长取最小值时，直线 PQ 交 y 轴于 M 点，a 为过点 M 的一条直线，则点 P 到直线 a 的距离的最大值为 2 3 【分析】在直线 y=3x+4 上，x0 时，y4，y0 时，x=

29、433，可得 OB4，OA=433，得角 OBA30，根据 PQ 切O 于 Q 点可得 OQPQ，由 OQ1，因此当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时 OPAB，若使点 P 到直线 a 的距离最大，则最大值为 PM，且 M 位于 x 轴下方，过点 P 作 PEy 轴于点 E，根据勾股定理和特殊角 30 度即可求出 PM 的长【解析】如图，在直线 y=3x+4 上，x0 时，y4，当 y0 时，x=433，OB4，OA=433，tanOBA=33，OBA30，由 PQ 切O 于 Q 点可知：OQPQ，PQ=22，由于 OQ1，因此当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时 OPAB，OP=12

30、OB2，此时 PQ=2212=3，BP=4222=2 3，OQ=12OP，即OPQ30，若使点 P 到直线 a 的距离最大，则最大值为 PM，且 M 位于 x 轴下方，过点 P 作 PEy 轴于点 E，EP=12BP=3，BE=(2 3)2(3)2=3，OE431，OE=12OP，OPE30，EPM30+3060，即EMP30，PM2EP2 3 故答案为：2 3 21（2020成都）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，E，F 分别为 AB，CD 边的中点动点 P 从点E 出发沿 EA 向点 A 运动，同时，动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动，连接 PQ，过点 B 作 BH

31、PQ于点 H，连接 DH若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A的过程中，线段 PQ长度的最大值为 3 2，线段 DH 长度的最小值为 13 2 【分析】连接 EF 交 PQ 于 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 OH，OD，过点 O 作 ONCD 于 N首先利用相似三角形的性质证明 EM2FN，推出 EM2，FN1，当点 P 与 A重合时，PQ 的值最大，解直角三角形求出 OD，OH 即可解决问题【解析】连接 EF 交 PQ 于 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 OH，OD，过点 O 作 ONCD 于 N 四边形 ABCD 是矩形，DF

32、CF，AEEB，四边形 ADFE 是矩形，EFAD3，FQPE，MFQMEP，=，PE2FQ，EM2MF，EM2，FM1，当点 P 与 A 重合时，PQ 的值最大，此时 PM=2+2=22+22=2 2，MQ=2+2=12+12=2，PQ3 2，MFONBC，MOOB，FNCN1，DNDF+FN3，ON=12(+)=2，OD=2+2=32+22=13，BHPQ，BHM90，OMOB，OH=12BM=1222+22=2，DHODOH，DH 13 2，DH 的最小值为 13 2，故答案为 3 2，13 2 22（2020泰州）如图，直线 ab，垂足为 H，点 P 在直线 b 上，PH4cm，O 为

33、直线 b 上一动点，若以1cm 为半径的O 与直线 a 相切，则 OP 的长为 3cm 或 5cm 【分析】当点 O 在点 H 的左侧O 与直线 a 相切时，OPPHOH；当点 O 在点 H 的右侧O 与直线a 相切时，OPPH+OH，即可得出结果【解析】直线 ab，O 为直线 b 上一动点，O 与直线 a 相切时，切点为 H，OH1cm，当点 O 在点 H 的左侧，O 与直线 a 相切时，如图 1 所示：OPPHOH413（cm）；当点 O 在点 H 的右侧，O 与直线 a 相切时，如图 2 所示：OPPH+OH4+15（cm）；O 与直线 a 相切，OP 的长为 3cm 或 5cm，故答案

34、为：3cm 或 5cm 三解答题（共 23 小题）23（2020临沂）如图，菱形 ABCD 的边长为 1，ABC60，点 E 是边 AB 上任意一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N（1）求证：AFEF；（2）求 MN+NG 的最小值；（3）当点 E 在 AB 上运动时，CEF 的大小是否变化？为什么？【分析】（1）连接 CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到 CFEF 和 CFAF 即可得证；（2）连接 AC，根据菱形对称性得到 AF+CF 最小值为 AC，再根据中位线的性质得到 MN+NG 的最小值为 AC 的一半

35、，即可求解；（3）延长 EF，交 DC 于 H，利用外角的性质证明AFCFCE+FEC+FAE+FEA，再由 AFCFEF，得到AEFEAF，FECFCE，从而推断出AFDFAE+ABFFAE+CEF，从而可求出ABFCEF30，即可证明【解析】（1）连接 CF，FG 垂直平分 CE，CFEF，四边形 ABCD 为菱形，A和 C 关于对角线 BD 对称，CFAF，AFEF；（2）连接 AC，M 和 N 分别是 AE和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点，MN=12AF，NG=12CF，即 MN+NG=12（AF+CF），当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时，AF+CF 最小，即

36、此时 MN+NG 最小，菱形 ABCD 边长为 1，ABC60，ABC 为等边三角形，ACAB1，即 MN+NG 的最小值为12；（3）不变，理由是：延长 EF，交 DC 于 H，CFHFCE+FEC，AFHFAE+FEA，AFCFCE+FEC+FAE+FEA，点 F 在菱形 ABCD 对角线 BD 上，根据菱形的对称性可得：AFDCFD=12AFC，AFCFEF，AEFEAF，FECFCE，AFDFAE+ABFFAE+CEF，ABFCEF，ABC60，ABFCEF30，为定值 24（2020金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 OB，OC

37、的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F，已知 OB8（1）求证：四边形 AEFD 为菱形（2）求四边形 AEFD 的面积（3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 D），点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P，Q，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可（2）连接 DE，求出ADE 的面积即可解决问题（3）首先证明 AK3DK，当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形当AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4

38、，图 5 两种情形 如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形分别利用相似三角形的性质求解即可【解答】（1）证明：如图 1 中，AEDF，ADEF，四边形 AEFD 是平行四边形，四边形 ABOC 是正方形，ACABOCOB，ACEABD90，E，D 分别是 OC，OB 的中点，CEBD，CAEABD（SAS），AEAD，四边形 AEFD 是菱形 （2）解：如图 1 中，连接 DE SADBSACE=12 8416，SEOD=12 448，SAEDS正方形ABOC2SABDSEOD64216824，S菱形AEFD2SAED48 （3）解：如图 1 中，连接 AF，设 AF 交

39、 DE 于 K，OEOD4，OKDE，KEKD，OKKEKD2 2，AO8 2，AK6 2，AK3DK，当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形：如图 2 中，设 AG 交 PQ 于 H，过点 H 作 HNx 轴于 N，交 AC 于 M，设 AMt 菱形 PAQG菱形 ADFE，PH3AH，HNOQ，QHHP，ONNP，HN 是PQO 的中位线，ONPN8t，MAHPHN90AHM，PNHAMH90，HMAPNH，=13，HN3AM3t，MHMNNH83t，PN3MH，8t3（83t），t2，OP2ON2（8t）12，P（12，0）如图 3 中，过点 H 作

40、 HIy 轴于 I，过点 P 作 PNx 轴交 IH 于 N，延长 BA交 IN 于 M 同法可证：AMHHNP，=13，设 MHt，PN3MH3t，AMBMAB3t8，HI 是OPQ 的中位线，OP2IH，HIHN，8+t9t24，t4，OP2HI2（8+t）24，P（24，0）当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形：如图 4 中，QH3PH，过点 H 作 HMOC 于 M，过 D 点 P 作 PNMH 于 N MH 是QAC 的中位线，MH=12AC4，同法可得：HPNQHM，=13，PN=13HM=43，OMPN=43，设 HNt，则 MQ3t，MQ

41、MC，3t843，t=209，OPMN4+t=569，点 P 的坐标为（569，0）如图 5 中，QH3PH，过点 H 作 HMx 轴于 M 交 AC 于 I，过点 Q 作 QNHM 于 N IH 是ACQ 的中位线，CQ2HI，NQCI4，同法可得：PMHHNQ，=13，则 MH=13NQ=43，设 PMt，则 HN3t，HNHI，3t8+43，t=289，OPOMPMQNPM4t=89，P（89，0）如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形：过点 H 作 HMy 轴于于点 M，交 AB于 I，过点 P 作 PNHM 于 N HIx 轴，AHHP，AIIB4，PNIB4，

42、同法可得：PNHHMQ，=13，MH3PN12，HIMHMI4，HI 是ABP 的中位线，BP2IH8，OPOB+BP16，P（16，0），综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）25（2020连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为 3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间（1）经过多长时间，盛水筒 P

43、 首次到达最高点？（2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？（3）若接水槽 MN 所在直线是O 的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO8m求盛水筒 P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上（参考数据：cos43sin471115，sin16cos741140，sin22cos6838）【分析】（1）如图 1 中，连接 OA求出AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题（2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时AOP3.4517，过点 P 作 PDOC 于 D，解直角三角形求出 CD 即可 （3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出POM，CO

44、M，可得POH 的度数即可解决问题【解析】（1）如图 1 中，连接 OA 由题意，筒车每秒旋转 36056 605，在 RtACO 中，cosAOC=2.23=1115 AOC43，180435=27.4（秒）答：经过 27.4 秒时间，盛水筒 P 首次到达最高点（2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时AOP3.4517，POCAOC+AOP43+1760，过点 P 作 PDOC 于 D，在 RtPOD 中，ODOP cos60312=1.5（m），2.21.50.7（m），答：浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面 0.7m（3）如图 3 中，点 P 在O 上，且

45、MN 与O 相切，当点 P 在 MN 上时，此时点 P 是切点，连接 OP，则 OPMN，在 RtOPM 中，cosPOM=38，POM68，在 RtCOM 中，cosCOM=2.28=1140，COM74，POH180POMCOM180687438，需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒 P 从最高点开始，至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上 26（2020潍坊）如图 1，在ABC 中，A90，ABAC=2+1，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且ADAE1，连接 DE现将ADE 绕点 A顺时针方向旋转，旋转角为 （0 360），如图 2，连接 CE，BD，CD（1）当 0 1

46、80时，求证：CEBD；（2）如图 3，当 90时，延长 CE 交 BD 于点 F，求证：CF 垂直平分 BD；（3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数 【分析】（1）利用“SAS”证得ACEABD 即可得到结论；（2）利用“SAS”证得ACEABD，推出ACEABD，计算得出 ADBC=2+2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时，BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解【解答】（1）证明：如图 2 中，根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90，CAE+B

47、AEBAD+BAE90，CAEBAD，在ACE 和ABD 中，=，ACEABD（SAS），CEBD；（2）证明：如图 3 中，根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90，在ACE 和ABD 中，=，ACEABD（SAS），ACEABD，ACE+AEC90，且AECFEB，ABD+FEB90，EFB90，CFBD，ABAC=2+1，ADAE1，CABEAD90，BC=2AB=2+2，CDAC+AD=2+2，BCCD，CFBD，CF 是线段 BD 的垂直平分线；（3）解：BCD 中，边 BC 的长是定值，则 BC 边上的高取最大值时BCD 的面积有最大值，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上

48、时，BCD 的面积取得最大值，如图 4 中：ABAC=2+1，ADAE1，CABEAD90，DGBC 于 G，AG=12BC=2+22，GAB45，DGAG+AD=2+22+1=2+42，DAB18045135，BCD 的面积的最大值为：12 =12(2+2)(2+42)=3 2+52，旋转角 135 27（2020苏州）如图，已知 MON90，OT 是MON 的平分线，A是射线 OM 上一点，OA8cm动点 P 从点 A出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以 1cm/s的速度沿 ON 竖直向上作匀速运动连接 PQ，交 OT 于点 B

49、经过 O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、QC设运动时间为 t（s），其中 0t8（1）求 OP+OQ 的值；（2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由（3）求四边形 OPCQ 的面积 【分析】（1）由题意得出 OP8t，OQt，则可得出答案；（2）如图，过点 B 作 BDOP，垂足为 D，则 BDOQ 设线段 BD 的长为 x，则 BDODx，OB=2BD=2x，PD8tx，得出=，则88=，解出 x=828由二次函数的性质可得出答案；（3）证明PCQ 是等腰直角三角形则 SPCQ=12PC QC=1222 22PQ=14

50、PQ2在 RtPOQ 中，PQ2OP2+OQ2（8t）2+t2由四边形 OPCQ 的面积 SSPOQ+SPCQ可得出答案【解析】（1）由题意可得，OP8t，OQt，OP+OQ8t+t8（cm）（2）当 t4 时，线段 OB 的长度最大 如图，过点 B 作 BDOP，垂足为 D，则 BDOQ OT 平分MON，BODOBD45，BDOD，OB=2BD 设线段 BD 的长为 x，则 BDODx，OB=2BD=2x，PD8tx，BDOQ，=，88=，x=828 OB=2 828=28(4)2+2 2 当 t4 时，线段 OB 的长度最大，最大为 2 2cm（3）POQ90，PQ 是圆的直径 PCQ9