2023年最新初中数学二次函数知识点归纳总结总复习.pdf

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1、最新初中数学二次函数知识点总复习 一、选择题 1若二次函数 yx22x+2 在自变量 x 满足 mxm+1 时的最小值为 6，则 m 的值为（）A5,5,15,12 B5,51 C1 D5,15【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为 x=1，分 m1 或 m+11 两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为 6，则可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值【详解】yx22x+2（x1）2+1，抛物线开口向上，对称轴为 x1，当 m1 时，可知当自变量 x 满足 mxm+1 时，y 随 x 的增大而增大，当 xm 时，y 有最小值，m22m+26，解得 m1+5或 m15（舍去），

2、当 m+11 时，可知当自变量 x 满足 mxm+1 时，y 随 x 的增大而减小，当 xm+1 时，y 有最小值，（m+1）22（m+1）+26，解得 m5（舍去）或 m5，综上可知 m 的值为 1+5或5 故选 B【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用 m 表示出其最小值是解题的关键 2如图，二次函数200yaxbxca 的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线2x，且OAOC，则下列结论：0abc；930abc ；1c ；关于x的方程200axbxca 有一个根为1a，其中正确的结论个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】【分析】由二次图像开口

3、方向、对称轴与 y 轴的交点可判断出 a、b、c 的符号，从而可判断；由图像可知当 x3 时，y0，可判断；由 OAOC，且 OA1，可判断；把1a代入方程整理得 ac2bcc0，结合 可判断；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c0，又对称轴方程为 x2，2ba0，b0，abc0，故 正确；由图像可知当 x3 时，y0，9a3bc0，故 错误；由图像可知 OA1，OAOC，OC1，即c1，故 正确；假设方程的一个根为 x1a，把1a代入方程，整理得 ac2bcc0，即方程有一个根为 xc，由 知cOA，而当 xOA是方程的根，xc 是方程

4、的根，即假设成立，故 正确.故选 C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，下列结论24bac，0abc，20abc ，0abc 其中正确的是（）A B C D【答案】A【解析】【分析】抛物线与 x 轴由两个交点，则240bac，即24bac，所以 正确；由二次函数图象可知，0a，0b，0c，所以0abc，故 错误；对称轴：直线12bxa ，2ba，所以24abcac ，240abcac ，故 错误；对称轴为直线1x ，抛物线与 x 轴一个交点132x ，则抛物线与

5、 x 轴另一个交点201x，当1x 时，0yabc ，故 正确【详解】解：抛物线与 x 轴由两个交点，240bac，即24bac，所以 正确；由二次函数图象可知，0a，0b，0c，0abc，故 错误；对称轴：直线12bxa ，2ba，24abcac ，0a，40a，0c，0a，240abcac ，故 错误；对称轴为直线1x ，抛物线与 x 轴一个交点132x ，抛物线与 x 轴另一个交点201x，当1x 时，0yabc ，故 正确 故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键 4要将抛物线2yx=平移后得到抛物线223yxx，下列平移方法正确的是（

6、）A向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法【详解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线 y=x2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线 y=x2向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 故选：A【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平

7、移，寻找平移方法 5已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列 4 个结论：abc0；2 a+b0；4 a+2b+c0；b24ac0；其中正确的结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数 yax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定解答【详解】由抛物线的对称轴可知：0，ab0，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上，c0，abc0，故 正确；1，b2a，2a+b0，故 正确 （0，c）关于直线 x1 的对称点为（2，c），而 x0 时，yc0，x2 时，yc0，y4a+2b+c0，故 正确

8、；由图象可知：0，b24ac0，故 正确；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型 6如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1，当y0 时，x 的取值范围是（）A1x1 B3x1 Cx1 D3x1【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（3，0），当 y0 时，x 的取值范围是3x1 所以答案为：D【点睛

9、】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与 x 轴的一个交点即可求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标.7已知抛物线2:4Wyxxc，其顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线W绕原点旋转180得到抛物线W，点,A B的对应点分别为,A B，若四边形 ABA B为矩形，则c的值为（）A32 B3 C32 D52【答案】D【解析】【分析】先求出 A(2，c-4)，B(0，c)，(2 4),(0)AcBc，结合矩形的性质，列出关于 c 的方程，即可求解【详解】抛物线2:4Wyxxc，其顶点为A，与y轴交于点B，A(2，c-4)，B(0，c)，将抛物线W绕原点旋转180得到抛物线W，点,A B的对应点分别为

10、,A B，(2 4),(0)AcBc，四边形 ABA B为矩形，AABB，2222(2)(4)(4)(2)ccc ，解得：52c 故选 D【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键 8二次函数2(,yaxbxc a b c为常数，且0a)中的x与y的部分对应值如表：x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 下列结论错误的是()A0ac B3是关于x的方程 210axbxc 的一个根；C当1x 时，y的值随x值的增大而减小；D当13x-时，210.axbxc 【答案】C【解析】【分析】根

11、据函数中的 x 与 y 的部分对应值表，可以求得 a、b、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断【详解】解：根据二次函数的 x 与 y 的部分对应值可知：当1x 时，1y ，即1abc ，当0 x 时，3y，即3c，当1x 时，5y，即5abc ，联立以上方程：135abccabc ，解得：133abc，233yxx ；A、1 330 ac，故本选项正确；B、方程 210axbxc 可化为2230 xx ，将3x 代入得：232 339630 ，3是关于x的方程 210axbxc 的一个根,故本选项正确；C、233yxx 化为顶点式得：2321()24 yx，10a ，则

12、抛物线的开口向下，当32x 时，y的值随x值的增大而减小；当32x 时，y的值随x值的增大而增大；故本选项错误；D、不等式 210axbxc 可化为2230 xx ，令2yx2x3，由二次函数的图象可得：当0y 时，13x-，故本选项正确；故选：C【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键 9一列自然数 0，1，2，3，100依次将该列数中的每一个数平方后除以 100，得到一列新数则下列结论正确的是（）A原数与对应新数的差不可能等于零 B原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C当原数与对应新数的差等于 2

13、1 时，原数等于 30 D当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解【详解】解：设原数为 m，则新数为21100m，设新数与原数的差为 y 则2211100100ymmmm ，易得，当 m0 时，y0，则 A错误 10100 当1m50122100ba 时，y 有最大值则 B错误，D 正确 当 y21 时，21100mm21 解得1m30，2m70，则 C错误 故答案选：D【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号 10若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵

14、坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”例如：P（1，0）、Q（2，2）都是“整点”抛物线 ymx24mx+4m2（m0）与 x 轴交于点 A、B两点，若该抛物线在 A、B之间的部分与线段 AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则 m 的取值范围是（）A12 m1 B12m1 C1m2 D1m2【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得 m 的取值范围【详解】ymx24mx+4m2m（x2）22 且 m0，该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，2），对称轴是直线 x2 由此可知点（2，0）、点（2，1）、顶点（2，2）符合题意 当该抛物线经过点（1，1）和（3，1）时（如答案图 1），这两

15、个点符合题意 将（1，1）代入 ymx24mx+4m2 得到1m4m+4m2解得 m1 此时抛物线解析式为 yx24x+2 由 y0 得 x24x+20解得12120.6223.42xx，x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意 则当 m1 时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，1）、（3，1）、（2，1）、（2，2）这 7 个整点符合题意 m1【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图 1（m1 时）答案图 2（m时）当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图 2），这两个点符合题意 此时 x 轴上的点（1，0）、（2，

16、0）、（3，0）也符合题意 将（0，0）代入 ymx24mx+4m2 得到 004m+02解得 m12 此时抛物线解析式为 y12x22x 当 x1 时，得1312 1122y 点（1，1）符合题意 当 x3 时，得1392 3122y .点（3，1）符合题意 综上可知：当 m12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，1）、（3，1）、（2，2）、（2，1）都符合题意，共有 9 个整点符合题意，m12不符合题 m12 综合 可得：当12m1 时，该函数的图象与 x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x

17、 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.11若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象于 x 轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且 x1x2，图象上有一点 M（x0，y0）在 x 轴下方，对于以下说法：b24ac0 xx0是方程 ax2+bx+cy0的解 x1x0 x2 a（x0 x1）（x0 x2）0 其中正确的是（）A B C D【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出=b2-4ac 0，正确；由点 M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出 x=x0是方程 ax2+bx+c=y0的解，正确

18、；分 a0 和 a0 考虑，当 a0 时得出 x1x0 x2；当 a0 时得出 x0 x1或 x0 x2，错误；将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点 M（x0，y0）在 x 轴下方即可得出 y0=a（x0-x1）（x0-x2）0，正确【详解】二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象于 x 轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且 x1x2，方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，=b2-4ac 0，正确；图象上有一点 M（x0，y0），a+bx0+c=y0，x=x0是方程 ax2+bx+c=y0的解，正确；当 a0 时，M（x0，y0）在 x 轴下方，x1x0 x

19、2；当 a0 时，M（x0，y0）在 x 轴下方，x0 x1或 x0 x2，错误；二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象于 x 轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），图象上有一点 M（x0，y0）在 x 轴下方，y0=a（x0-x1）（x0-x2）0，正确；故选 B【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键 12已知抛物线 yx2+2xm1 与 x 轴没有交点，则函数 y的大致图象是（）A B C D【答案】B【解析】【

20、分析】由题意可求 m2，即可求解【详解】抛物线 yx2+2xm1 与 x 轴没有交点，44（m1）0 m2 函数 y的图象在第二、第四象限，故选 B【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键 13如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y4x12x2刻画，斜坡可以用一次函数 y12x 刻画，下列结论错误的是()A斜坡的坡度为 1:2 B小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势 C小球落地点距 O 点水平距离为 7 米 D当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球距 O 点水平距离为 3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直

21、线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5y 时，x的值，判定D【详解】解：214212yxxyx，解得，1100 xy，22772xy，727=12，A正确；小球落地点距O点水平距离为 7 米，C正确；2142yxx 21(4)82x，则抛物线的对称轴为4x，当4x 时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过 4 米呈下降趋势，B正确，当7.5y 时，217.542xx，整理得28150 xx，解得，13x，25x，当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的

22、坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键 14如图，已知将抛物线21yx沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有 5 个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”）.现将抛物线 2120ya xa沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有 11 个整点，则a的取值范围是（）A1a B12a C112a D112a 【答案】D【解析】【分析】画出图象，利用图象可得 m 的取值范围【详解】解：2120ya xa 该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线 x=-1.点(-1,2)、点(-1，1)

23、、点(-1,0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时 x 轴.上的点(-2,0)、(0,0)也符合题意，将(0，1)代入 2120ya xa得到 1=a+2.解得 a=-1.将(1,0)代入 2120ya xa得到 0=4a+2.解得 a=1-2 有 11 个整点，点(0，-1)、点(-2,-1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.综上可知:当1-1 a0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于32 C当 m0时，函数图象经过同一个点 D当 m14时，y 随 x 的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把 m=-3代入2m，1-m，-1-m，求得a，b，c，求得解析式

24、，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为 0，求得与 x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出 x 的值，进一步验证即可解答 详解：因为函数 y=ax2+bx+c的特征数为2m，1m，1m；A、当 m=3 时，y=6x2+4x+2=6（x13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当 m0 时，令 y=0，有 2mx2+（1m）x+（1m）=0，解得：x1=1，x2=1212m，|x2x1|=32+12m32，所以当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C、当 x=1

25、时，y=2mx2+（1m）x+（1m）=2m+（1m）+（1m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当 m=0 时，函数图象都经过同一个点（1，0），当 m0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当 m0时，函数图象经过 x 轴上一个定点此结论正确 D、当 m0 时，y=2mx2+（1m）x+（1m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线 x=14mm，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小因为当 m0 时，11114444mmm，即对称轴在 x=14右边，因此函数在 x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，都是正确的，是错误的 故选 D 点

26、睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征 19如图抛物线交 轴于和点，交 轴负半轴于点，且.有下列结论：；.其中，正确结论的个数是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断 a、b、c 的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论【详解】解：根据图象可知 a0，c0，b0，,故 错误；.B（-c，0）抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交于 A（-2，0）和 B（-c，0）两点，ac2-bc+c=0 ，ac-b+1=0，故 正确；，b=ac+1,2b-c=2，故 正确；故选：C【点睛

27、】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0），二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由 决定：=b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b2-4a

28、c 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 20已知二次函数 yax2+bx+c的图象如图所示，下列结 i 论：abc 0；b24ac0；2a+b 0；a b+c0其中正确的结论有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定 a 的取值范围，根据对称轴的位置确定 b 的取值范围，根据抛物线与 y 轴的交点确定 c 的取值范围，根据抛物线与 x 轴是否有交点确定 b24ac 的取值范围，根据 x1 函数值可以判断【详解】解：Q抛物线开口向下，0a，Q对称轴12bxa，0b，Q抛物线与y轴的交点在x轴的上方，0c，0abc，故 错误；Q抛物线与x轴有两个交点，240bac，故 正确；Q对称轴12bxa，2ab，20ab，故 正确；根据图象可知，当1x 时，0yabc ，故 正确；故选：C【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键