2023年小学奥数数论专题知识全面汇总归纳(最详细).pdf

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1、数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数 除数商余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。一、因数与倍数 1、因数与倍数（1）定义：定义 1：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数。定义 2：如果非零自然数 a、b、c 之间存在 abc，或者 cab，那么称 a、b 是 c 的因数，c 是 a、b的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b 是因数，c 是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是

2、1，最大的因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（2）一个数的因数的特点：最小的因数是 1，第二小的因数一定是质数；最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；1000 以内的完全平方数的个数是 31 个，2000 以内的完全平方数的个数是 44 个，3000 以内的完全平方数的个数是 54 个。（312=961，442=1936，542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义 1：一般地，三个整数 a、b、c，

3、且 b0，如有 abc，则我们就说，a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，或 a 能整除以 b。定义 2：如果一个整数 a，除以一个整数 b（b0），得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。（ab）（2）整除的性质：如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b）也能被 c 整除。如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 ac 也能被 b 整除。如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。（3）一些常见数的整除特征（倍数

4、特征）：末位判别法 2、5 的倍数特征：末位上的数字是 2、5 的倍数。4、25 的倍数特征：末两位上的数字是 4、25 的倍数。8、125 的倍数特征：末三位上的数字是 8、125 的倍数。截断求和法（从右开始截）9（及其因数 3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数 3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数 3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 截断求差法（从右开始截）11 的倍数特征：一位截断求差 101 的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数 7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差 公倍数法 6 的倍数特征：

5、2 和 3 的公倍数。先判断是否 2 的倍数，再判断是否 3 的倍数。12 的倍数特征：4 和 3 的公倍数。先判断是否 4 的倍数，再判断是否 3 的倍数。3、奇数与偶数（自然数按是否能被 2 整除分类）（1）定义：奇数：不是 2 的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是 1。偶数：是 2 的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是 0。（2）数的奇偶性质：奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；n 个奇数的乘

6、积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。连续的奇数或偶数差为 2。如，与奇数 m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。奇偶分析：奇奇偶 奇奇偶 奇奇奇 奇偶奇 偶偶偶 奇偶偶 偶偶偶 奇偶奇 偶偶偶 4、质数与合数（非 0 自然数按因数个数分类）（1）定义：质数：只有 1 和它本身两个因数的数。（因数个数：2 个）合数：除了 1 和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3 个或 3 个以上）（2）常见质数特征：1 既不是质数，也不是合数（1 只有 1 个因数）；2 是最小的质数；4 是最小的合数；2 是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除 2

7、外，其它质数都是奇数）。（3）100 以内质数表（25 个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（4）分解质因数 唯一分解定理：任何一个大于 1 的自然数 N,如果 N不是，那么 N可以唯一分解成有限个质数的乘积。质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28227227 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。要求出乘积中末尾 0 的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后 2 和 5 的

8、个数，不用考虑其它质因数。（5）互质数：公因数只有 1 的两个数为互质数。常见的互质数：相邻自然数：8 和 9 相邻奇数：21 和 23 2 与任意奇数：2 和 15 不同的两个质数：11 和 17 1 与任意非零自然数：1 和 4 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3 和 14 公因数只有 1 的两个合数：6 和 25 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7 5、最大公因数与最小公倍数（1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b)表示。最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做

9、最小公倍数，用a，b 表示。（2）最大公因数的性质：几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。几个数的最大公因数都是这几个数的因数。几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。几个数都乘一个自然数 m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘 m。（3）最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a，b)a，b ab（4）求最大公因数的方法：列举法 短除法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。（5）求最

10、小公倍数基本方法：列举法 短除法 分解质因数法（6）分类求最大公因数和最小公倍数：倍数关系：a 是 b 的倍数，(a，b)b，a，b a 互质关系：a 与 b 互质，(a，b)1，a，b ab 一般关系：a 与 b 不互质也不倍数，用短除法。(a，b)左侧除数连乘积，a，b 除数和商连乘积 6、分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数 列举法：2 个一组列举 分解质因数法：分解质因数所有不同质数出现次数+1 连乘积（指数加 1 再相乘）如：36023325，360 的因数个数：(3+1)(2+1)(1+1)43224（个）（2）求一个数的所有因数的和 步骤：分解质因数所有不同质因数的各种取法

11、之和的连乘积。如：18022325，180 的所有因数之和：(202122)(303132)(5051)7136546 二、余数性质与同余问题 1、余数的性质(1)余数小于除数。(2)若 a、b 除以 c 的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被 c 整除。(3)a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。（和的余数余数的和）(4)a 与 b 的差除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数减 b 除以 c 的余数的差除以 c 的余数。（差的余数余数的差）(5)a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c

12、 的余数的积除以 c 的余数。（积的余数余数的积）2、余数的计算（求余数）(1)末位判断法：2，5，4，25，8，125(2)数字求和法：3，9 各个数位上数字之和除以 3 或 9 的余数某数除以 3 或 9 的余数。如：234569。2+3+4+5+6+9 29，因为 29932，所以 23456992，即 23456929(mod 9)(3)截断求和法：99，999 及其因数 99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以 99 余数，即原数除以 99 的余数。999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以 999 余数，即原数除以 999 的余数。如：1

13、2345。345+12=357,357 999，所以 12345999 余 357。(4)截断求差法：从右开始截断，奇段和偶段和。11，101，1001 及其因数 7、11、13、77、91、143。11：一位截断作差。从右开始，1 位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)11 的余数,即为原数11 的余数；如不够减，求出的负数+11。如：234569。奇数位数字之和 3+5+917，偶数位数字之和 2+4+612，17-125，所以 23456911余 5，即 2345695(mod 11)如：98，（奇数位 8偶数位 9）8-9-1，-1+11=10，则 9811810，即 9810

14、(mod 11)101：两位截断作差。从右开始，2 位截断，(奇位和)-(偶位和)101 的余数,即为原数101 的余数；如不够减，求出的负数+101。1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。从右开始，3 位截断，(奇位和)-(偶位和)1001的余数,即为原数1001 的余数；如不够减，求出的负数+1001。3、费马小定理 如果 p 是质数，a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(mod p)。即：假如 a 是自然数，p 是，且 a,p，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的于 1。如：a 是自然数 2，p 是 5，2 和 5 互质，2（5-1）5 余 1

15、。a是自然数 10，p 是 3，10 和 3 互质，10（3-1）3 余 1。4、同余问题（求除数）同余的定义：(1)若两个整数 a、b 除以 m的余数相同，则称 a、b 对于模 m同余。(2)已知三个整数 a、b、m，如果 m能被(a-b)整除，就称 a、b 对于模 m同余，记作 ab(mod m)，读作 a同余于 b 模 m。5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的孙子算经中有着名算题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何 物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。方法：最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差（缺同减缺）。列举法（逐步满足条

16、件法）口诀法(仅适应于 3、5、7)：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。口诀法解释(只看数字即可)：将除以 3 的余数乘 70，将除以 5 的余数乘 21，将除以 7 的余数乘 15，全部加起来后除以 105，得到的余数就是答案。步骤：270+321+215=140+63+30=233，233105=223 三、完全平方数 完全平方数：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484 完全平方数特征：(1)末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；（个位数字是

17、2、3、7、8 的一定不是完全平方数）(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数，如 25,49,81。（个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数）(3)如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，它的十位数字一定是奇数。如 16,36,196，256。（个位数是 6，十位数是偶数的一定不是平方数）(4)偶数的平方是 4 的倍数，奇数的平方是 4 的倍数加 1。(5)奇数的平方是 8n+1 型，偶数的平方是 8n 或 8n+4 型。（形如 8n+2，8n+3，8n+5，8n+6，8n+7 型的一定不是完全平方数）(6)完全平方数的形

18、式一定是 3k 或 3k+1，即除以 3 余 0 或 1。（形如 3k+2 的一定不是完全平方数）(7)完全平方数的形式一定是 4k 或 4k+1，即除以 4 余 0 或 1。（形如 4k+2 和 4k+3 的一定不是平方数）(8)能被 5 整除的数的平方是 5k 型，不能被 5 整除的数的平方是 5k1 型。(9)完全平方数对的形式具有：16m，16m+1，16m+4，16m+9。(10)完全平方数的各位数字之和只能是 0,1,4,7,9。（各数位数字和是 2、3、5、6、8 的一定不是平方数）(11)若质数 p 能整除完全平方数 a，则 p2 也能整除 a。(12)两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。(13)一个自然数 n 是完全平方数的充要条件是 n 有奇数个因数。（因数个数为奇数个的自然数是平方数）(14)任何四个连续整数的乘积加 1，必定是一个平方数。平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2