2023年反比例函数知识点归纳总结全面汇总归纳及练习题.pdf

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1、 1 反比例函数 知识点 1 反比例函数的定义 一般地，形如xky（k 为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是0 x 的一切实数，函数值的取值范围是0y；比例系数0k 是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：xky（0k），1kxy（0k），kyx（定值）（0k）；函数xky（0k）与ykx（0k）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数，0k）是反比例函数的一部分，当 k=0 时，xky，就不是反比例函数了。知识点 2 用待定系数法求反比

2、例函数的解析式 由于反比例函数xky（0k）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0 x，函数值0y，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大

3、小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：2 反比例函数 xky（0k）k的符号 0k 0k 图像 性质 x的取值范围是0 x，y 的取值范围是0y 当0k 时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x的取值范围是0 x，y的取值范围是0y 当0k 时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内

4、”否则，笼统地说，当0k 时，y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如xky 在第一、第三象限，则可知0k。反比例函数xky（0k）中比例系数 k 的绝对值k的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F分别为垂足，则OEPFSPEPFyxxy矩形k 反比例函数xky（0k）中，k越大，双曲线xky 越远离坐标原点；k越小，双曲线xky 越靠近坐标原点。双曲线是中心对称图形，对称中心是坐

5、标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。例题【例 1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么 k 的值是多少？3【答案】由反比例函数的定义，得：01222kkk解得0211kkk或 1k【例 2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210 xxx则下列各式正确的是（A ）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。知识点一：反比例函数的定义 例 1：在下列函数中，是反比例函数的是 。（1）3xy；（2）131xy；（

6、3）xy2；（4）2211xy；（5）xy23；（6）21xy；（7）28xy；（8）1xy；（9）2xy；例 2：当m取何值时，1222mmxmmy是关于 x 的反比例函数？并求出其表达式。知识点二：反比例函数表达式的确定 例 3：由欧姆定律可知：电压不变时，电流强度 I 与电阻 R成反比例。已知电压保持不变，电阻 R=12.5 欧姆，电流强度 I=0.2 安培。（1）求 I 与 R的函数关系式；（2）当 R=5欧姆时，求电流强度。重点一：反比例函数与其他函数的综合应用 例 1：已知21yyy，1y与 x 成正比例，2y与 x 成反比例，并且当 x=2 时，4y；当1x时，5y.求y与 x

7、的函数表达式。4 重点二：反比例函数的实际应用 例 2：水产公司有一种海产品工艺 2104 千克，为寻求合适的销售价格，公司进行了 8 天的试销，试销情况入下：售价 x （元/千克）第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天 第 8 天 400 250 240 200 150 125 120 销售量 y/千克 30 40 48 60 80 96 100 观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量 y（千克）与销售价格 x（元/千克）之间的关系。现假设这批海产品每天的销售量 y（千克）与销售价格 x（元/千克）都满足这一关系。（1）

8、写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（2）在试销 8 天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为 150 元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？练习：1.已知函数7222kkxkky是关于 x 的反比例函数，求 k 的值。2.已知定 A（1，-k+2）在双曲线xky 上，求常数 k 的值。4、正比例函数011kxky与反比例函数022kxky的图象交于 A、B两点，点 A坐标为（2,1）.(1)求正比例函数、反比例函数的表达式（2）求点 B的坐标。5 5、已知21yyy，1y与 x 成反比例，2y与2x成正比例，且当 x=-1 时，5y；当1x时

9、，1y.求y与 x 的函数表达式。6、已知一次函数 0kbkxy和反比例函数xky2的图象交于点 A（1,1），求两个函数的解析式。7、已知正比例函数0kkxy和反比例函数xmy 的图象交于点（4，2）。（1）求两个函数的解析式。（2）这两个函数图象还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标，若没有，请说明理由。知识点一：反比例函数的图象 例 1：反比例函数反比例函数2213mxmy的图象在所在象限内，y 随 x 的增大而增大，求反比例函数的解析式。例 2：在反比例函数xmy21的图像上有 A（11,yx），B（22,yx）两点，当210 xx时，有21yy，则 m的取值范围是 。6 知识点二：反

10、比例函数的性质 例 3：设 A（11,yx），B（22,yx）反比例函数xy3的图象上的任意两点，且21yy，则21,xx可能满足的关系是（）A、021xx B、210 xx C、120 xx D、012xx 知识点三：反比例函数0kxky中 k 的几何意义 说明：在反比例函数0kxky的图象上任取一点，过这一点分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量 。例 3：如图，直线 OA与妇女比例函数0kxky的图象在第一象 限内交于点 A，AB x 轴于点 B,OAB的面积为 2，则 k=。练习：如右图，若点 A在反比例函数0kxky的图象上，AM x 轴于点 M,OAM

11、的面积为 3，则 k=。重点：反比例函数和一次函数的综合应用 例 1：在同一平面直角坐标系中，函数baxy和0abxaby的图象大致是（）练习：已知0k，在同一平面直角坐标系中，函数 1 xky和xky 的图象大致是（）x B O y A M O x A y x A O y x B O y x O C y x O D y x B O y x A O y x O C y x D O y 7 例 2：已知反比例函数xky 的图象与一次函数mxy 3的图象相交于（1,5）。（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数的另一个交点的坐标。练习：1、已知点 M（-2,3）在双曲线xky 上，则下列各点

12、一定在双曲线上的是（）A、（3，-2）B、（-2，-3）C、（2，3）D、（3，2）2、已知，反比例函数0kxky的图象与经过原点的直线 l 相交于 A、B两点，已知点 A的坐标为（-2,1），那么点 B的坐标为 。3、已知，一次函数为常数mmxy1的图象与反比例函数02kkxky为常数，的图象相交于 A（1,3）。（1）求这两个函数的解析式及图象的另一交点 B的坐标；（2）观察图象，写出使函数值21yy 的自变量 x 的取值范围。4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数1kxy的图象与反比例函数xy3的图象在第一象限相交于点 A。过点 A分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 B、C。如果四边形

13、 OBAC是正方形，求一次函数的解析式。x A O y B x A O y B 8 反比例函数综合检测题 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、反比例函数 yxn5图象经过点（2，3），则 n 的值是（）A、2 B、1 C、0 D、1 2、若反比例函数 yxk（k0）的图象经过点（1，2），则这个函数的图象一定经过点（）A、（2，1）B、（21，2）C、（2，1）D、（21，2）3、已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）4、若 y 与 x 成正比例，x 与 z 成反比例，则 y 与 z 之间的关系

14、是（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成正比例也不成反比例 D、无法确定 5、一次函数 ykxk，y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数 yxk满足（）A、当 x0 时，y0 B、在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限 6、如图，点 P是 x 轴正半轴上一个动点，过点 P作 x 轴的垂 线 PQ交双曲线 yx1于点 Q，连结 OQ，点 P沿 x 轴正方向运动时，RtQOP的面积（）A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定 7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变

15、 与V在一定范围内满足Vm，它的图象如图所示，则该 气体的质量 m为（）A、1.4kg B、5kg C、6.4kg D、7kg 8、若 A（3，y1），B（2，y2），C（1，y3）三点都在函数 yx1的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（）A、y1y2y3 B、y1y2y3 C、y1y2y3 D、y1y3y2 9、已知反比例函数 yxm21的图象上有 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当 x1x20 时，y1y2，则 m的取值范围是（）Qpxyot/h v/(km/h)O t/h v/(km/h)O t/h v/(km/h)O t/h v/(km/h)O A B C D 9 A、

16、m 0 B、m 0 C、m 21 D、m 21 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于 A、B两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围 是（）A、x1 B、x2 C、1x0 或 x2 D、x1 或 0 x2 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的函数关系式为 .12、已知反比例函数xky 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数bkxy中，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）13、若反比例函数 yxb3和一次函数 y3xb 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为

17、6，则 b 14、反比例函数 y（m 2）xm210的图象分布在第二、四象限内，则 m的值为 15、有一面积为 S 的梯形，其上底是下底长的31，若下底长为 x，高为 y，则 y 与 x 的函数关系是 16、如图，点 M是反比例函数 yxa（a0）的图象上一点，过 M点作 x 轴、y 轴的平行线，若 S阴影5，则此反比例函数解析 式为 17、使函数 y（2m27m 9）xm29m19是反比例函数，且图象在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，则可列方程（不等式组）为 18、过双曲线 yxk（k0）上任意一点引 x 轴和 y 轴的垂线，所得长方形的面积为_ 19.如图，直线 y kx(k 0)与

18、双曲线xy4交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 2x1y27x2y1_ 20、如图，长方形 AOCB 的两边 OC、OA分别位于 x 轴、y 轴上，点 B的坐标为 B（320，5），D是 AB边上的一点，将ADO 沿直线 OD翻折，使 A点恰好落在对角线 OB上的 点 E处，若点 E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析 式是 三、解答题（共 60 分）21、（8 分）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点 P到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，求这个反比例函数的解析式 1 0 22、（9 分）请你举出一个生活中能用反比例函数关系描 述的实例，写出其函数表达式，并画

19、出函数图象 举例：函数表达式：23、（10 分）如图，已知 A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线 yxk在第一象限内的分支上的两点，连结 OA、OB （1）试说明 y1OA y11yk；（2）过 B作 BC x 轴于 C，当 m 4 时，求BOC的面积 24、（10 分）如图，已知反比例函数 yx8与一次函数 ykxb 的图象交于 A、B两点，且点 A的横坐标和点 B的纵坐标都是2 求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积 25、（11 分）如图，一次函数 yaxb 的图象与反比例函数 yxk的图象交于 M、N两点 （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函

20、数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围 1 1 26、（12 分）如图，已知反比例函数 yxk的图象与一次函数 yaxb 的图象交于 M（2，m）和 N（1，4）两点（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON 的面积；（3）请判断点 P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由 参考答案:一、1、D 2、A 3、C 4、B 5、D 6、C 7、D 8、B 9、D 10、D 二、11、y x1000 12、减小 13、5 14、3 15、yxs23 16、yx5 17、0972119922mmmm；18、|k|；19、20；20、yx12 三、21、yx6 22、举例：要编织一块面积为

21、 2 米2的矩形地毯，地毯的长 x（米）与宽 y（米）之间的函数关系式为 yx2（x0）x 21 1 23 2 y 4 2 34 1 （只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可）画函数图象如右图所示 23、（1）过点 A作 AD x 轴于 D，则 OD x1，AD y1，因为点 A（x1，y1）在双曲线 yxk上，故 x11yk，又在 RtOAD 中，AD OA AD OD，所以 y1OA y11yk；（2）BOC的面积为 2 24、（1）由已知易得 A（2，4），B（4，2），代入 ykxb 中，求得 yx2；（2）当 y0 时，x2，则 yx2 与 x 轴的交点 M（2，0），即|OM|2

22、，于是 SAOBS 1 2 AOMSBOM21|OM|yA|21|OM|yB|212421226 25、（1）将 N（1，4）代入 yxk，得 k4反比例函数的解析式为 yx4将 M（2，m）代入 yx4，得 m 2 将 M（2，2），N（1，4）代入 yaxb，得.ba,ba422解得.b,a22一次函数的解析式为 y2x2（2）由图象可知，当 x1 或 0 x2 时，反比例函数的值大于一次函数的值 26、解（1）由已知，得41k，k4，yx4又图象过 M（2，m）点，m 242，yaxb 图象经过 M、N两点，,422baba解之得,22bay2x2（2）如图，对于 y2x2，y0 时，x1，A（1，0），OA 1，SMONSMOASNOA21OA MC21OA ND 211221143（3）将点 P（4，1）的坐标代入 yx4，知两边相等，P点在反比例函数图象上