2023年指数函数及对数函数复习有详细知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳及习题详细讲解6625.pdf

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1、 WORD 格式整理版 学习好帮手 一、指数的性质（一）整数指数幂 1整数指数幂概念：annaaaa个 )(Nn 010aa 10,nnaanNa 2整数指数幂的运算性质：（1）,mnm naaam nZ （2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ 其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb 3a的n次方根的概念 一般地，如果一个数的n次方等于aNnn,1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn,1 例如：27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325 说明：若n是

2、奇数，则a的n次方根记作na；若0a则0na，若oa 则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8 的平方根228 16 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a 则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn,100 00n；WORD 格式整理版 学习好帮手 式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa 4a的n次方根的性质 一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann 5例题分析：例 1求下列各式的值：（1）338 （2）210 （3）443 （4）baba2解：略。例 2已知,0 ba Nnn,1，化简：nnn

3、nbaba 解：当n是奇数时，原式ababa2)()(当n是偶数时，原式abaabbaba2)()(|所以，nnnnbaba22anan为奇数为偶数 例 3计算：407407 解：40740752)25()25(22 例 4求值：54925 解：54925425254549252）（4526225252154152）（二）分数指数幂 1分数指数幂：10510250aaaa 12312430aaaa 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）nkknaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa ，4554544aaa ，2323aa

4、4545aa 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa 2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写

5、成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 即 10,rsr sa aaar sQ 20,srrsaaar sQ 30,0,rrraba babrQ 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a.解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 例 2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b ；（2）83184m n；解（1）21151

6、1336622263a ba ba b =2 1 11 1 532 62 3 6263ab =044aba；（2）83184m n=883184mn=2233mm nn 例 3计算下列各式：（1）3451255 （2）2320aaaa 解：（1）3451255=231324555=213134245555 =5512455=512455 5；（2）232aaa=526562132aaaa a（三）综合应用 例 1化简：11555xxx.解：11555xxx=15(1525)x=131 5x=3155x.例 2化简：)()(41412121yxyx.奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方

7、根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 解：11112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy 1144xy 评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即21241)(xx，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。例 3已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx；（2）3322xx.解：（1）1122

8、2()xxQ1111222222()2()xx xx 112xx 325 ，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2）（法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()()xxxx xx 11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx 而33xx122()(1)xxxx 11 2()()3xxxx23(33)18 33222()20 xx，又由130 xx 得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx.二、指数函数 1指数函数定义：一般地

9、，函数xya（0a 且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2指数函数xya在底数1a 及01a 这两种情况下的图象和性质：1a 01a 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 图象 性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0 x 时1y （4）在R上是增函数

10、（4）在R上是减函数 例 1求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy （2）11()2xy （3）3xy （4）1(0,1)1xxayaaa 解：（1）210 x Q 12x 原函数的定义域是1,2x xR x，令121tx 则0,ttR 8(,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1y yy（2）11()02xQ 0 x 原函数的定义域是0,，令11()2xt (0)x 则01t，ytQ在0,1是增函数 01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx 则0t，3ty Q在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1 （4）原函数的定义域是R，由1(

11、0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa Q 101yy，11y，所以，原函数的值域是 1,1 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 例 2当1a 时，证明函数11xxaya 是奇函数。证明：由10 xa 得，0 x，故函数定义域0

12、 x x 关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa()f x ()()fxf x 所以，函数11xxaya 是奇函数。例 3设a是实数，2()()21xf xaxR，（1）试证明：对于任意,()a f x在R为增函数；（2）试确定a的值，使()f x为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设1212,x xR xx，则 12()()f xf x1222()()2121xxaa 21222121xx 12122(22)(21)(21)xxxx，由于指数函数2xy 在R上是增函数

13、，且12xx，所以1222xx即12220 xx，又由20 x，得1120 x，2120 x，所以，12()()0f xf x即12()()f xf x 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，()f x在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若()f x为奇函数，则()()fxf x ，即22()2121xxaa 变形得：2 222(21)2(21)22121xxxxxxa，解得：1a，所以，当1a 时,()f x为奇函数。三、对数的性质 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是

14、偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N,就是Nab，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数。即baN，logaNb a N b 指数式Nab 底数 幂 指数 对数式bNalog 对数的底数 真数 对数 说明：1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0 （负数与零没有对数）2对任意 0a且

15、1a,都有 01a log 10a，同样：log1aa 3如果把baN中的b写成logaN，则有 logaNaN（对数恒等式）2对数式与指数式的互换 例如：2416 4log 162 210100 10log1002 1242 41log 22 2100.01 10log0.012 例 1将下列指数式写成对数式：（1）4525；（2）61264；（3）327a；（4）15.373m 解：（1）5log 6254；（2）21log664；（3）3log 27a；（4）13log 5.37m 3介绍两种特殊的对数：常用对数：以 10 作底 10logN 写成 lg N 自然对数：以e作底为无理数，

16、e=2.71828 ，logeN 写成 lne 例 2（1）计算：9log 27，345log625 解：设x 9log 27 则 27xa，2333x,32x；令x345log625，345625x,44355x,5x （2）求 x 的值：33log4x ；2221log3211xxx 解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx 但必须：2222102113210 xxxx ，0 x 舍去，从而2x （3）求底数：3log 35x，7log 28x 解：3535353(3)x 533x；77888722x ,2x 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的

17、次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 4对数的运算性质：如果 a 0，a 1，M 0，N 0，那么（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnM nR 例 3计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg 解：（1）

18、解法一：18lg7lg37lg214lg 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg 27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2.1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3)lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg10 5换底公式：logloglogmamNNa(a 0,a 1；0,1mm)证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的

19、对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog 说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b 且均不为 1）证明：（1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam 例 4计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的

20、值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 解：（1）原式=0.251log3log3555151553；（2）原式=2345412log452log213log21232 例 5已知18log9a，185b，求36log45（用 a,b 表示）解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836 例 6设164

21、3tzyx，求证：yxz2111 证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11 例 7若8log 3p，3log 5q，求lg 5 解：8log 3p，)5lg1(32lg33lg33log2ppp，又 q3lg5lg5log3，)5lg1(33lg5lgpqq，pqpq35lg)31(pqpq3135lg 四、对数函数 1对数函数的定义：函数 xyalog)10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数

22、函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy 的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10 a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 （3）对数函数性质列表：图 象 1a 01a 性 质（1）定义域

23、：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（0，+）上是增函数（4）在(0,)上是减函数 例 1求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya 分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解：（1）由2x0 得0 x，函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04 x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx 例 2比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.

24、3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a.解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log 3.4 2log 8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.8 0.3log2.7；（3）当1a 时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log 5.1alog 5.9a，当1oa 时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log 5.1alog 5.9a 例 3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6；（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7lo

25、g0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3 1 1 2xy 2logyx yx（图 1）1 1 1()2xy 12logyx yx（图 2）(1,0)(1,0)1x 1x logayx logayx 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 解：（1）66log 7log 61，77l

26、og 6log 71，6log 7 7log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8log 10，3log2log 0.8 （3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.8 1.1log0.9 （4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3 例 4已知log4log 4mn，比较m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，当1m，1n 时，得44110loglogmn，44loglognm，1mn 当01m，01n 时

27、，得44110loglogmn，44loglognm，01nm 当01m，1n 时，得4log0m，40log n，01m，1n，01mn 综上所述，m，n的大小关系为1mn 或01nm 或01mn 例 5求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a 且1a）解：（1）令3tx，则2logyt，0t，yR，即函数值域为R （2）令23tx，则03t，2log 3y，即函数值域为2(,log 3 （3）令2247(2)33txxx ，当1a 时，log 3ay，即值域为log 3,)a，当01a 时，log 3ay，即值域为(,lo

28、g 3a 例 6判断函数22()log(1)f xxx 的奇偶性。解：21xx 恒成立，故()f x的定义域为(,)，22()log(1)fxxx 221log1xx 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分 WORD 格式整理版 学习好帮手 222221log(1)xxxx 22log1()xxf x ，所以，()f x为奇函数。

29、例 7求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx 在3,)2上递增，在3(,2上递减，又2320 xx，2x 或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log()yxaxa 在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2()ug xxaxa，函数2logyu 为减函数，2()ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3,2 奇数则的次方根记作若则若若是偶数且则的正的次方根记作的负的次方根记作例如的平方根的次方根若是偶数且则没般地若是奇数则若是偶数则例题分析例求下列各式的值解略例已知解当是奇数时原式当是偶数时原式化简所以为奇数可以写成分数指数幂的形式对分数指数幂也适用例如若则即当根式的被开方数不能被根指数整除时根式也可以写成分