2023届湖南省长沙市第一中学高三模拟考试（一）试题含答案（九科试卷）.pdf

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1、2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考试（一）试 题 含 答 案（九 科 试 卷）目 录1.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）地 理 试 题 含 答案2.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）化 学 试 题 含 答案3.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）历 史 试 题 含 答案4.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）生 物 试 题 含 答案5.2

2、0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）数 学 试 题 含 答案6.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）物 理 试 题 含 答案7.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）英 语 试 题 含 答案8.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）语 文 试 题 含 答案9.2 0 2 3 届 湖 南 省 长 沙 市 第 一 中 学 高 三 模 拟 考 试（一）政 治 试 题 含 答案长 沙 市 一 中 2 0

3、2 3 模 拟 试 卷（一）数 学一 单项 选择 题：本大 题共 8 小题，每小 题 5 分，共 40 分，在每 小题 给出的 四个 选项中，只有一项 是符 合题目 要求 的.1.已 知 集 合 2R 4,3 9xA x x B x，则（）A.A B B B.A B R C.A B A D.A B A【答 案】C【解 析】【分 析】求 出 集 合,A B，再 由 交 集 和 并 集 的 定 义 即 可 得 出 答 案.【详 解】因 为 2R 4 2 2,3 9 2xA x x x x B x x x，所 以 A B A，A B B.故 选：C.2.设2 iR,iaa z，则“1 a”是“5 z

4、”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 复 数 模 的 计 算 公 式 及 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 判 断 即 可【详 解】由 题 意 得22 i2 iiaz a，所 以2 2 2(2)4 z a a，因 为 5 z，所 以24 5 a，解 得 1 a 或 1 a，故“1 a”是“5 z”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选：A3.天 文 计 算 的 需 要，促 进 了 三 角 学 和 几 何 学 的 发 展 1 0 世 纪 的 科 学 家

5、 比 鲁 尼 的 著 作 马 苏 德 规 律 一 书 中记 录 了 在 三 角 学 方 面 的 一 些 创 造 性 的 工 作 比 鲁 尼 给 出 了 一 种 测 量 地 球 半 径 的 方 法：先 用 边 长 带 有 刻 度 的正 方 形 A B C D 测 得 一 座 山 的 高 G T h（如 图），再 于 山 顶 T 处 悬 一 直 径 为 S P 且 可 以 转 动 的 圆 环（如 图），从 山 顶 T 处 观 测 地 平 线 上 的 一 点 I，测 得 O T I 由 此 可 以 算 得 地 球 的 半 径 r（）A.s i n1 s i nh B.c o s1 s i nh C.

6、s i n1 c o sh D.c o s1 c o sh【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 解 直 角 三 角 形，结 合 正 弦 函 数 的 概 念 即 可 求 得 答 案.【详 解】由 图 可 知，O I T I,故 s i nO I rO T r h，解 得s i n1 s i nhr，故 选：A 4.已 知 函 数()f x的 局 部 图 象 如 图 所 示，则()f x的 解 析 式 可 以 是（）A.1()s i n2xf x e x B.1|()c o s2xf x e x C.()l n|s i n2f x x x D.()l n|c o s2f x x x【答 案】D【

7、解 析】【分 析】利 用 排 除 法，根 据 奇 偶 性 和 f x 在 0,1 x 时 的 函 数 值 正 负 可 排 除.【详 解】由 图 可 得 f x 的 图 象 关 于y轴 对 称，即 f x 为 偶 函 数，其 中 A 选 项，1 1()s i n s i n2 2x xf x e x e x f x，故 f x 为 奇 函 数，与 图 象 不 符，故 排除 A；C 选 项，()l n|s i n l n|s i n2 2f x x x x x f x，故 f x 为 奇 函 数，与 图 象 不 符，故排 除 C；B 选 项，当 0,1 x 时，10 xe，c os 02x，则 0

8、 f x，与 图 象 不 符，故 排 除 B.故 选：D.5.已 知 3s i n c o s6 5，则c os 23（）A.725 B.72 5C.2 42 5 D.2 42 5【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 三 角 恒 等 变 换 公 式 求 解.【详 解】3 1 3s i n c os s i n c os c os,6 2 2 5 所 以3 1 3s i n c os2 2 5，所 以 3s i n,6 5 2 9 7c o s 2 c o s 2 1 2 s i n 1 2,3 6 6 2 5 2 5 故 选:B.6.已 知 函 数 s i n(1 2)6f x x，若 存

9、在1 2,R x x，当1 22 x x 时，1 20 f x f x，则 函 数 f x 的 最 小 正 周 期 为（）A.2 3B.4 3C.2 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】由 题 意 可 得 出 2 2Tk，结 合 1 2，可 得32，再 由 三 角 函 数 最 小 正 周 期 的 公 式 即 可 得出 答 案.【详 解】因 为 存 在1 2,R x x，当1 22 x x 时，1 20 f x f x，所 以2,Z2Tk k k，即,Z2kk，又 因 为 1 2，则 3 k，所 以32，所 以 函 数 f x 的 最 小 正 周 期 为：2 4 332T，故 选：B.7.设,

10、A B 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 关 于y轴 对 称 的 两 点，且2 O A.若 存 在,R m n，使 得m A B O A 与n A B O B 垂 直，且 2 m A B O A n A B O B，则A B 的 最 小 值 为（）A.1 B.3C.2 D.2 3【答 案】D【解 析】【分 析】构 造 向 量，利 用 向 量 垂 直 和 2 m A B O A n A B O B，结 合 基 本 不 等 式 得 出 a b的 最 大值 2，结 合 图 形 可 得 答 案.【详 解】如 图，,A B 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 关 于y轴 对 称 的 两 点，且2 O

11、A，由 题 意 得：A B O B O A，令 1 a O A m A B O A m O A m O B，则,A A B 三 点 共 线,1 b O B n A B O B n O B n O A，则,B A B 三 点 共 线,故 有,A A B B 共 线，由 题 意m A B O A 与n A B O B 垂 直，2 m A B O A n A B O B，知O A O B u u u r u u u r，且 2 a b B A 为 定 值，在 A O B 中，2 24|2 a b a b，当 且 仅 当 a b 时，a b取 最 大 值 2，此 时 A O B 面 积 最 大，则 O

12、 到 A B 的 距 离 最 远，而2 O A，故 当 且 仅 当 a b，即,A B 关 于y轴 对 称 时，A B 最 小，此 时 O 到 A B 的 距 离 为112B A，所 以2 22 1 32A B，故 2 3 A B，即A B 的 最 小 值 为2 3.故 选：D.8.如 图，已 知 锐 二 面 角 l 的 大 小 为1，A，B，M l，N l，A M l，B N l，C，D 为 A B，M N 的 中 点，若 A M M N B N，记 A N，C D 与 半 平 面 所 成 角 分 别 为2，3，则（）A.1 22，1 32 B.1 22，1 32 C.1 22，1 32 D

13、.1 22，1 32【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 面 面 角 的 定 义 求 得1A M G，根 据 线 面 角 的 定 义 找 到2A N H，3F M G，通 过比 较1 2,的 正 弦 值 比 较 两 角 的 大 小，接 着 根 据1 2,2 的 范 围 判 断1 2,2 的 大 小，根 据 线 段 长 度 的 大 小 关 系求 得1 3,2 的 大 小 关 系.【详 解】分 别 过 点 M 和 点 B 作 B N，M N 的 平 行 线 相 交 于 点 G，因 为 B N l，所 以 M G l,所 以1A M G，过 A 点 作 A H M G，连 接 N H，所 以2A

14、N H，取 3 1,2，A M M N A H,22s i n2 A HA N,此 时1 222；排 除 C D.取 线 段 A G 中 点 为 点 F，又 C，D 为 A B，M N 的 中 点，所 以 C F 与 D M 平 行 且 相 等，所 以/C D M F，所 以 C D 与 半 平 面 所 成 角 为3F M G，显 然3 1，又 因 为 A M M G，所 以1 32；排 除 B.故 选：A.【点 睛】(1)求 直 线 与 平 面 所 成 的 角 的 一 般 步 骤：找 直 线 与 平 面 所 成 的 角，即 通 过 找 直 线 在 平 面 上 的 射 影 来 完 成；计 算，

15、要 把 直 线 与 平 面 所 成 的 角 转 化 到 一 个 三 角 形 中 求 解(2)作 二 面 角 的 平 面 角 可 以 通 过 垂 线 法 进 行，在 一 个 半 平 面 内 找 一 点 作 另 一 个 半 平 面 的 垂 线，再 过 垂 足 作 二面 角 的 棱 的 垂 线，两 条 垂 线 确 定 的 平 面 和 二 面 角 的 棱 垂 直，由 此 可 得 二 面 角 的 平 面 角 二 多项 选择 题：本题 共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分，在每 小题 给出的 选项 中，有多 项符 合题目 要求，全部 选对 的得 5 分，有选 错的得 0 分，部分 选对的 得 2

16、分.9.在 发 生 某 公 共 卫 生 事 件 期 间，有 专 业 机 构 认 为 该 事 件 在 一 段 时 间 内 没 有 发 生 大 规 模 群 体 感 染 的 标 志 为：“连 续 1 0 日，每 天 新 增 疑 似 病 例 不 超 过 7 人”过 去 1 0 日，甲、乙、丙、丁 四 地 新 增 疑 似 病 例 数 据 信 息 如下：甲 地：中 位 数 为 2，众 数 为 3；乙 地：平 均 数 为 2，方 差 为 3；丙 地：平 均 数 为 3，极 差 为 5；丁 地：平 均 数 为 5，众 数 为 6 则 一 定 没 有 发 生 大 规 模 群 体 感 染 的 是（）A.甲 地 B

17、.乙 地 C.丙 地 D.丁 地【答 案】B C【解 析】【分 析】A.举 例 判 断；B.假 设 出 现 一 次 大 于 7，设108 x，利 用 方 差 运 算 判 断；C.假 设 出 现 了 8 人，则 一定 有 出 现 3 人 情 况 判 断；D.举 例 判 断.【详 解】对 于 甲 地，如 0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故 错 误；对 于 乙 地，若 出 现 一 次 大 于 7，设108 x，则 2 2 2 221 2 9 1 012 2 2 21 0S x x x x，2 2 21 2 912 2 2 3 6 31 0 x x x，矛 盾，故 正 确；对 于 丙 地，若

18、出 现 了 8 人，则 一 定 有 出 现 3 人 情 况，这 样 平 均 数 就 不 可 能 是 3，丙 地 不 可 能 有 超 过 7 人 的 情 况，故 正 确 对 于 丁 地，无 法 判 断 是 否 有 超 过 7 人 的 情 况，如 2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平 均 数 为 5，众 数 为 6，故 错 误；故 选：B C 1 0.在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 双 曲 线 2 22 2:1 0,0 x yC a ba b 的 离 心 率 为52，且 双 曲 线 C 的 左焦 点 在 直 线 5 0 x y 上，A，B 分 别 是 双 曲 线 C

19、的 左，右 顶 点，点 P 是 双 曲 线 C 的 右 支 上 位 于 第 一 象限 的 动 点，记 P A，P B 的 斜 率 分 别 为1k，2k，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.双 曲 线 C 的 渐 近 线 方 程 为 2 y x B.双 曲 线 C 的 方 程 为2214xy C.1 2k k 为 定 值14D.存 在 点 P，使 得1 21 k k【答 案】B C【解 析】【分 析】【详 解】因 为 双 曲 线 C 的 左 焦 点(,0)c 在 直 线 5 0 x y 上，所 以5 c，又 离 心 率 为52cea，所 以 2 a，故2 2 21 b c a，所 以 双

20、曲 线 方 程 为2214xy，故 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 2 0 x y，故 A 错 误；B 正 确；由 题 意 可 得(2,0),(2,0)A B，设 P(m,n)，可 得2214mn，即 有2214 4nm，所 以21 2 212 2 4 4n n nk km m m，故 C 正 确；因 为 点 P 是 双 曲 线 C 的 右 支 上 位 于 第 一 象 限 的 动 点，所 以1 20,0 k k，则1 2 1 212 2 12k k k k，当 且 仅 当1 2k k 时，等 号 成 立，由 A，B 为 左 右 顶 点，可 得1 2k k，所 以1 21 k k，故 D

21、 错 误.故 选：B C【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 双 曲 线 的 标 准 方 程，双 曲 线 的 简 单 几 何 性 质，直 线 的 斜 率，属 于 中 档 题.1 1.如 图 圆 柱 内 有 一 个 内 切 球，这 个 球 的 直 径 恰 好 与 圆 柱 的 高 相 等，1 2,O O 为 圆 柱 上 下 底 面 的 圆 心，O 为 球心，E F 为 底 面 圆1O的 一 条 直 径，若 球 的 半 径 2 r，则 下 列 各 选 项 正 确 的 是（）A.球 与 圆 柱 的 体 积 之 比 为 2:3B.四 面 体 C D E F 的 体 积 的 取 值 范 围 为3 20,3

22、 C.平 面 D E F 截 得 球 的 截 面 面 积 最 小 值 为4 5D.若 P 为 球 面 和 圆 柱 侧 面 的 交 线 上 一 点，则 P E P F 的 取 值 范 围 为 2 2 5,4 3【答 案】A B D【解 析】【分 析】根 据 给 定 的 条 件，利 用 球、圆 柱 的 体 积 公 式 计 算 判 断 A；利 用12C D E F E O C DV V建 立 函 数 关 系 判 断B；求 出 球 心 O 到 平 面 D E F 距 离 的 最 大 值 判 断 C；令 点 P 在 圆 柱 下 底 面 圆 所 在 平 面 上 的 投 影 点 为 Q，设Q F E，利 用

23、 勾 股 定 理 建 立 函 数 关 系，求 出 值 域 可 判 断 D.【详 解】对 于 A，球 的 体 积 为34 3 2 3 3rV，圆 柱 的 体 积2(2)1 6 V r r，则 球 与 圆 柱 的 体 积 之比 为 2:3，A 正 确；对 于 B，设 d 为 点 E 到 平 面 B C D 的 距 离，0 d r，而 平 面 B C D 经 过 线 段 E F 的 中 点1O，四 面 体 C D E F 的 体 积1 12 2 1 1 6 3 22 4 43 3 2 3 3C D E F E O D C O D CdV V S d d，所 以 四 面 体 C D E F 的 体 积

24、 的 取 值 范 围 为3 20,3，B 正 确；对 于 C，过 O 作1O H D O 于 H，如 图，而1 2 2O O D O，则21 21 1s i nD O O HD O OO O D O，又2 21(2)2 5 D O r r，于 是25O H，设 截 面 圆 的 半 径 为1r，球 心 O 到 平 面 D E F 的 距 离 为1d，则125d，又2 2 21 1 14 44 45 5r r d d，则 平 面 D E F 截 球 的 截 面 圆 面 积211 6 5S r，C 错 误；对 于 D，令 经 过 点 P 的 圆 柱 的 母 线 与 下 底 面 圆 的 公 共 点 为

25、 Q，连 接,Q E Q F，当 Q 与,E F 都 不 重 合 时，设 Q F E，则 4 c o s,4 s i n Q F Q E，当 Q 与,E F 之 一 重 合 时，上 式也 成 立，因 此 4 c o s,4 s i n Q F Q E，0,)2，则2 2 2 2 2 22(1 4 s i n 1 4 c os)P E P F P Q Q E P Q Q F，令2 21 4 s i n 1 4 c os t，则2 26 2 5 4 s i n 2 t，而 0 2，即 0 s i n 2 1，因 此26 2 5 1 2 t，解 得1 5 2 3 t，所 以 P E P F 的 取

26、值 范 围 为 2 2 5,4 3，D 正 确.故 选：A B D.1 2.定 义：对 于 定 义 在 区 间 I 上 的 函 数 f x 和 正 数 0 1，若 存 在 正 数 M，使 得 不 等 式 1 2 1 2f x f x M x x 对 任 意1 2,x x I 恒 成 立，则 称 函 数 f x 在 区 间 I 上 满 足阶 李 普 希 兹 条 件，则 下 列 说 法 正 确 的 有（）A.函 数 f x x 在 1,上 满 足12阶 李 普 希 兹 条 件.B.若 函 数 l n f x x x 在 1,e 上 满 足 一 阶 李 普 希 兹 条 件，则 M 的 最 小 值 为

27、 2.C.若 函 数 f x 在,a b 上 满 足 0 1 M k k 的 一 阶 李 普 希 兹 条 件，且 方 程 f x x 在 区 间,a b 上有 解0 x，则0 x 是 方 程 f x x 在 区 间,a b 上 的 唯 一 解.D.若 函 数 f x 在 0,1 上 满 足 1 M 的 一 阶 李 普 希 兹 条 件，且 0 1 f f，则 存 在 满 足 条 件 的 函 数 f x，存 在 1 2,0,1 x x，使 得 1 223f x f x.【答 案】A B C【解 析】【分 析】根 据 李 普 希 兹 条 件 的 概 念 直 接 可 以 判 断 A B 选 项，再 利

28、 用 反 证 法 判 断 C 选 项，通 过 分 类 讨 论 可 判断 D 选 项.【详 解】A 选 项：不 妨 设1 2x x，1 2 1 2f x f x x x，即 1 21 2 1 21 11 2 2 21 2 1 21f x f xx x x xx xx x x x，故 1 M，对 1 2,1,x x，均 有 121 2 1 2f x f x M x x，A 选 项 正 确；B 选 项：不 妨 设1 2x x，l n f x x x 在 1,e 单 调 递 增，1 2 1 2f x f x f x f x，1 2 1 2f x f x M x x，即 1 2 1 2f x f x M

29、 x x，即 1 1 2 2f x M x f x M x 对1 2x x，1 2,1,e x x 恒 成 立，即 f x M x 在 1,e 上 单 调 递 减，0 f x M 对 1,e x 恒 成 立，所 以 1 l n M x 对 1,e x 恒 成 立，即 2 M，即 M 的 最 小 值 为 2，B 选 项 正 确；C 选 项：假 设 方 程 f x x 在 区 间,a b 上 有 两 个 解0 x，t，则 0 0 0f x f t k x t x t，这 与 0 0t t f x f x 矛 盾，故 只 有 唯 一 解，C 选 项 正 确；D 选 项：不 妨 设1 2x x，当1

30、212x x 时，1 2 1 212f x f x x x，当1 212x x 时，1 2 1 2 1 2 1 2 1 211 0 1 0 1 0 12f x f x f x f f f x f x f f x f x x x x，故 对 1 2,0,1 x x，1 212f x f x，不 存 在1 2,x x 使 1 223f x f x，D 选 项 错 误；故 选：A B C.三 填空 题（本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分）1 3.已 知 圆2 2:(4)1 6 M x y，过 点 2,0 N 的 直 线 l 与 圆 M 交 于,A B 两 点，D 是 A B 的 中 点

31、，则 D 点的 轨 迹 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】223 1 x y【解 析】【分 析】由 圆 的 垂 径 定 理 可 得 M D D N，结 合 向 量 垂 直 的 条 件：数 量 积 为 0，化 简 可 得 所 求 轨 迹 方 程，即 可 求 得 答 案.【详 解】圆2 2:(4)1 6 M x y，所 以 圆 心 为 4,0 M，半 径 为 4，设,D x y，由 线 段 A B 的 中 点 为 D，可 得 M D D N，即 有(4,)(2,)4 2 0 M D N D x y x y x x y y，即 223 1 x y，所 以 点 D 的 轨

32、迹 是 以 3,0 为 圆 心，1 为 半 径 的 圆；故 答 案 为：223 1 x y.1 4.“以 直 代 曲”是 微 积 分 中 最 基 本 最 朴 素 的 思 想 方 法，如 在 切 点 附 近，可 用 曲 线 在 该 点 处 的 切 线 近 似 代 替 曲线.曲 线 l n y x 在 点 1,0 处 的 切 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，利 用 上 述“切 线 近 以 代 替 曲 线”的 思 想 方 法 计 算2 0e所 得 结 果 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（结 果 用 分 数 表 示）.【答 案】.1 y x.2 12 0【解 析】【

33、分 析】求 出 导 函 数 得 切 线 斜 率，由 点 斜 式 得 切 线 方 程，由 题 意 知 l n 1 x x，则20 20l n e e 1，即2021e20，即 可 得 出 答 案【详 解】由 已 知 l n y x，1yx，所 以 在 点 1,0 处 的 切 线 斜 率 为 1 k，则 在 点 1,0 处 的 切 线 方 程 为1 y x，由 题 意 知，l n 1 x x，所 以20 20l n e e 1，即1 120 20l n e e 1，所 以1 120 201 21e l n e 1 120 20，即2021e20.故 答 案 为：1 y x；2 12 01 5.已

34、知1 2,F F 是 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 左 右 焦 点，A 为 椭 圆 的 上 顶 点，B 在x轴 上，20 A B A F，且 212 A F A B A F.若 坐 标 原 点 O 到 直 线 A B 的 距 离 为 3，则 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】2 211 6 1 2x y【解 析】【分 析】由 题 设 可 得 2 a c，直 线 A B 的 方 程 为 3 3 0 b x c y b c，点 线 距 离 公 式 表 示 O 到 直 线 A B 的 距离，又2 2 2a b c 联 立

35、解 得2 2,a b 即 可 得 出 答 案.【详 解】由20 A B A F 可 得29 0 B A F，由 212 A F A B A F 可 得1 1 2B F F F，则 1 2A F F 是 等 边 三 角 形，设1 22 F F c，则 2 a c，直 线 A B 的 方 程 为 13x yc b，即 3 3 0 b x c y b c，O 到 直 线 A B 的 距 离 为2 2339bcb c，又2 2 2a b c，联 立，解 得21 6 a，21 2 b，故 椭 圆 C 方 程 为2 2116 12x y.故 答 案 为：2 2116 12x y 1 6.已 知 实 数a，

36、b，c满 足1e e l n 3a c cb a b，（其 中e为 自 然 对 数 的 底 数），则 a b c 的 最 小 值是 _ _ _ _ _ _.【答 案】2 l n 2#l n 4【解 析】【分 析】变 形 给 定 不 等 式，构 造 函 数 并 借 助 函 数 的 单 调 性，求 出,a b c 的 关 系，再 利 用 导 数 求 出 函 数 的 最 值作 答.【详 解】1 l n 1e e l n 3 e e l n 3a c c a c b cb a b a b，令 函 数()e 1xf x x，求 导 得()e 1xf x，当 0 x 时，()0 f x，当 0 x 时，(

37、)0 f x，因 此 函 数()f x在(,0)上 单 调 递 减，在(0,)上 单 调 递 增，则()(0)0 f x f，即 R x，e 1xx，于 是l n 1e 1,e l n 1 1a c b ca c b c，即l n 1e e l n 3a c b ca b，当 且 仅 当 0,l n 1 0 a c b c，即1,eca c b 时 取 等 号，依 题 意，1,eca c b，1e 2ca b c c，令1e(2)xx g x，求 导 得1e 2()xg x，当 1 l n 2 x 时，()0 g x，当 1 l n 2 x 时，()0 g x，从 而 函 数()g x 在(,

38、1 l n 2)上 单 调 递 减，在(1 l n 2,)上 单 调 递 增，m i n()(1 l n 2)2 l n 2 g x g，所 以 a b c 的 最 小 值 是 2 l n 2.故 答 案 为：2 l n 2.【点 睛】关 键 点 睛：涉 及 不 等 式 恒 成 立 问 题，将 给 定 不 等 式 等 价 转 化，构 造 函 数，利 用 导 数 探 求 函 数 单 调性、最 值 是 解 决 问 题 的 关 键.四 解答 题：本题共 6 小题，共 70 分，解答 应写出 文字 说明 证明 过程 或演算 步骤.1 7.在 数 列 na 中，11 a，*12 3 6 2,Nn na

39、a n n n.（1）求 证：数 列 3na n 为 等 比 数 列，并 求 数 列 na 的 通 项 公 式；（2）设n nb a n，求 数 列 nb 的 前n项 和nT.【答 案】（1）证 明 见 解 析；2 3nna n；（2）12 2(1)nn n【解 析】【分 析】（1）根 据 等 比 数 列 的 定 义 证 明，由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 化 简，可 得 数 列 na 的 通 项 公 式；（2）由 分 组 求 和 法 化 简 求 解 即 可【小 问 1 详 解】*12 3 6 2,Nn na a n n n，当 2 n 时，11 11 13 3 3263 1 3 3

40、3 32 2 3 3n nn nnna n a na n a nnna na，数 列 3na n 是 首 项 为13 2 a，公 比 为 2 的 等 比 数 列，3 2nna n，2 3nna n；【小 问 2 详 解】2 3 2 2n nn n nb a n a n n n 数 列 nb 的 前n项 和 1 2 31 2.2 2 2 4 2 6.2 2nn nT b b b n 1 2 12 1 22 22 2.2 2 4 6.2 2 2(1)1 2 2nn nnn n n n 1 8.在 A B C 中，内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c，且 满 足1 t a n12

41、t a na Cb B.（1）求 C 的 大 小；（2）若 A B C 的 面 积 为1 0 3，且2 C D D A，求 B D 的 最 小 值.【答 案】（1）3C（2）4 153【解 析】【分 析】（1）由 正 弦 定 理、同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 和 两 角 和 正 弦 公 式 化 简 已 知 式，即 可 得 出 答 案；（2）由 三 角 函 数 的 面 积 关 系 可 得 40 ab，由2 C D D A，得23C D b，再 由 余 弦 定 理 结 合 均 值 不 等 式即 可 得 出 答 案.【小 问 1 详 解】因 为1 t a n12 t a na Cb B

42、，利 用 正 弦 定 理 得：s i ns i n 1 s i n c o s1s i n 2 c o s s i n 2 c o s s i nB CA C BB C B C B，由 于 A C B，所 以 s i n s i n B C A，即s i n s i ns i n 2 c o s s i nA AB C B，即 2 s i n c o s s i n s i n s i n A C B A B，由 0,s i n 0,0,s i n 02 2A A B B，故1c o s,0 2C C 且2C，故3C.【小 问 2 详 解】由 于 A B C 的 面 积 为1 0 3，所 以1

43、 1 3s i n 1 0 32 2 2a b C a b，解 得：40 ab，由2 C D D A，得23C D b，在 B C D 中，由 余 弦 定 理 得：2 2 2 2 24 2 4 2 2 2 2 8 02 c o s 29 3 9 3 3 3 3 3B D a b a b C a b a b a b a b a b，故4 1 53B D，当 且 仅 当2,3a b 即4 1 5,2 1 53a b，B D 的 最 小 值 为4 153.1 9.如 图 1，四 边 形 A B C D 为 直 角 梯 形，/A D B C，A D A B，6 0 B C D，2 3 A B，3 B

44、C，E为 线 段 C D 上 一 点，满 足 B C C E，F 为 B E 的 中 点，现 将 梯 形 沿 B E 折 叠（如 图 2），使 平 面 B C E 平面 A B E D.（1）求 证：平 面 A C E 平 面 B C E；（2）能 否 在 线 段 A B 上 找 到 一 点 P（端 点 除 外）使 得 直 线 A C 与 平 面 P C F 所 成 角 的 正 弦 值 为34？若 存在，试 确 定 点 P 的 位 置；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）存 在 点 P 是 线 段 A B 的 中 点，使 得 直 线 A C 与 平 面

45、 P C F 所 成 角 的 正 弦 值 为34.【解 析】【分 析】（1）在 直 角 梯 形 A B C D 中，根 据 3 B E B C，6 0 B C D，得 B C E 为 等 边 三 角 形，再 由余 弦 定 理 求 得 A E，满 足2 2 2A E B E A B，得 到 A E B E，再 根 据 平 面 B C E 平 面 A B E D，利 用 面面 垂 直 的 性 质 定 理 证 明.（2）建 立 空 间 直 角 坐 标 系：假 设 在 A B 上 存 在 一 点 P 使 直 线 A C 与 平 面 P C F 所 成 角 的 正 弦 值 为34，且A P A B u

46、u u r u u u r，0,1，求 得 平 面 P C F 的 一 个 法 向 量，再 利 用 线 面 角 公 式 2 23 342 3 3 2 1 4 1c os,C A n 求 解.【详 解】（1）证 明：在 直 角 梯 形 A B C D 中，3 B E B C，6 0 B C D，因 此 B C E 为 等 边 三 角 形，从 而 3 B E，又2 3 A B，由 余 弦 定 理 得：21 2 9 2 2 3 3 c o s 3 0 3 A E，2 2 2A E B E A B，即 A E B E，且 折 叠 后 A E 与 B E 位 置 关 系 不 变，又 平 面 B C E

47、平 面 A B E D，且 平 面 B C E 平 面 A B E D B E.A E 平 面 B C E，A E 平 面 A C E，平 面 A C E 平 面 B C E.（2）B C E 为 等 边 三 角 形，F 为 B E 的 中 点，C F B E，又 平 面 B C E 平 面 A B E D，且 平 面 B C E 平 面 A B E D B E，C F 平 面 A B E D，取 A B 的 中 点 G，连 结 F G，则/F G A E，从 而 F G B E，以 F 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐标 系：则33,02A，3 30,0,2

48、C，则3 3 33,2 2C A，假 设 在 A B 上 存 在 一 点 P 使 直 线 A C 与 平 面 P C F 所 成 角 的 正 弦 值 为34，且A P A B u u u r u u u r，0,1，30,02B，3,3,0 A B，故 3,3,0 A P，3 3 33 1,2 1,2 2C P C A A P，又3 30,0,2F C，该 平 面 P C F 的 法 向 量 为,n x y z，3 3 33 1 2 1 002 203 302x y zn C Pn F Cz，令 2 1 y 得 3 2 1,2 1,0 n，2 23 342 3 3 2 1 4 1c os,C

49、A n，解 得12 或76（舍），综 上 可 知，存 在 点 P 是 线 段 A B 的 中 点，使 得 直 线 A C 与 平 面 P C F 所 成 角 的 正 弦 值 为34.【点 睛】本 题 主 要 考 查 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 和 向 量 法 研 究 线 面 角 问 题，还 考 查 了 转 化 化 归 的 思 想 和 运 算 求解 的 能 力，属 于 中 档 题.2 0.抛 物 线2:2(0)C x py p 的 焦 点 为 F，准 线 为 l，点 A 在 抛 物 线 C 上.已 知 以 F 为 圆 心，()F A F A p 为 半 径 的 圆 F 交 l 于,P Q

50、 两 点，若 90,P F Q A P Q 的 面 积 为2.（1）求p的 值；（2）过 点 A 的 直 线m交 抛 物 线 C 于 点 B（异 于 点 A），交x轴 于 点 M，过 点 B 作 直 线m的 垂 线 交 拋 物 线 C于 点 D，若 点 A 的 横 坐 标 为 正 实 数 t，直 线 D M 和 抛 物 线 C 相 切 于 点 D，求 正 实 数 t 的 取 值 范 围.【答 案】（1）1 p（2）4,3【解 析】【分 析】（1）根 据 题 意，可 得 F S=P S=Q S=p，再 设 A 到 准 线 l 的 距 离 为 d，即 可 求 得 d=F A=F Q=2 p，进 而