2023年高考数学易错知识点及易错题解析.pdf

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1、1已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线2x+y 一4=0相切，则该圆面积的最小值为()24A5B5C5D.【答案】C【详解】QAB为直径，经AOB=90。，：O点必在圆上，由点O向直线2x+y一4=0作垂线，垂足为D，当点D恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，0+0一4此时圆直径为O(0,0)到直线2x+y 一4=0的距离5，4d=2 55，Smin=r2=所以圆的最小面积故选：C.2已知直线y=kx(k 0)与圆,则k=()C:(x-2)2+(y-1)2=4相交于A，B两点AB=21A54B31C25D12【答案】BC:(x-2)2+(y-1)2=42k-1所以圆心

2、C(2,1)到直线y=kx(k 0)的距离为d，则2(AB)2r-|（2)|.故选：B.3已知圆C经过点(0,2)，半径为2，若圆C上存在两点关于直线2x-ky-k=0对称，则k的最大值为()34A1B2CD5【答案】D【详解】设圆心的坐标为(a,b)，则a2又圆C上存在两点关于直线2x-ky-k=0对称，则圆心必在直线上，所以2x-ky-k=0与x2+(y-2)2=4有交点，则4,解得-545，k2+4k23k4故k的最大值为5.故选：D4已知直线l：mx-y-3m+1=0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x-1)2+(y-2)2=25相交于A，B两点，则的最小值为()A4B2C4D.2C(2

3、,1)，r=2+(b-2)2=4，【详解】圆=145，k=,解得：即半径的圆心1+k21+k2,所以2k-1AB而d=d=d=1r=,【答案】A【详解】由m(x-3)-y+1=0恒过P(3,1)，又(3-1)2+(1-2)2=5 25，即P在圆C内，最小，只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，CP|=5，圆的半径为5，所以AB=2根 25-5=4 5.故选：A5已知圆C过圆C1:x2+y2+4x-2y-10=0C2:(x+3)2+(y-3)2=6的公共点若圆C1，C2的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为()1126104A5B5C5D5【答案】B故选：B1若过点（2，1

4、）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()234A5B5C5D5【答案】B【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，【详解】由题，圆C1，C2的公共弦为x2+y2+4x-2y-10=0和(x+3)2+(y-3)2=6的两式相减，化简可得x-2y+11=0，又C2(-3,3)到x-2y+11=0的距离2=226,故圆C的面积为5d=12+-225-3-2根3+112,故圆C的半径为,故公共弦长为()要使与圆265AB由设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x-a)2+(y-

5、a)2=a2.(2-a)2+(1-a)2=a2，可得a2-6a+5=0，解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，2根1-1-3圆心(.)到直线2x-y-3=0的距离均为圆心5,5)到直线2x-y-3=0的距离均为d2=2根5-5-3=-22圆心到直线2x-y-3=0的距离均为55；d=2 5所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为5.故选：B.2直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于()A或-B-或3C-3或D-3或3【答案】C故选C.,0）引直线与曲线交于A,B两点的面积取最大值时，直线的斜率等于B-【答案】B【详解】画图可知过点（，0）的直线与

6、曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间，故选B.牵3牵3+m2 3 牵m33+1y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径+m或者牵 m-3【详解】圆的方程即为（x-1）2+,O为坐标原点，当AOB由题意可得3过点(y=1-x22 555d=D-A.C.=1;+1 k 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查应用能力和计算能力.4在圆x2+y22x 6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为A5W2B10W2C15V2D20W2【答案】B【详解】x2y22x6y0化成标准方程为（x1）2（y3）210，则圆心坐标为M（

7、1,3），半径为.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|=.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且ACBD，E为AC与BD的交点,则由垂径定理可是|BD|=.从而四边形ABCD的面积为考点：圆的弦长及四边形的面积.|AC|BD|=25.故选B.5若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A-,B(-,)C.|-,|L33D.()|（-3,3)|【答案】C【详解】设直线方程为y=k(x-4)，即kx-y-4k=0，直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，d=14k22=r,所以直线和圆相离，故A错误；对

8、于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确；对于C选项，当OMl时，经AMB有最大值60,故C错误；对于D选项，当OMl时，AMB为等边三角形，故D正确.一1=4一1=3，|PA+PB|=|2PM|PM|min=|PO|min.min=|OC,所以所以-又PO-min.d一r=2故选：BD.10已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A，B，则()A圆O1和圆O2有两条公切线B直线AB的方程为x-y+1=0C圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|AB|D圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+【答案】ABD【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两

9、条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0，即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2，D正确.故选：ABD.|1+1|2=211已知ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(-2,0)，C(-2,2)，求：(1)AB边中线所在的直线方程；(2)ABC的外接圆的方程.【答案】(1)y=2；(2).（1）设AB中点为M，：A(0,

10、4)，B(-2,0)，：M(-1,2)，直线CM斜率kCM=0,由点斜式得AB边中线方程为：y=2.（2）设ABC外接圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F 0)，把A(0,4)，B(-2,0)，C(-2,2)三点坐标代入圆的一般方程得：(x-1)2+(y-1)2=10(|(|DE-22|l8-2D+2E+F=0，解得|lF=-8，:所求圆的一般方程为：x2+y2-2x-2y-8=0，化为标准方程为：(x-1)2+(y-1)2=10.12圆C的圆心为C(1,0)，且过点A,.(1)求圆C的标准方程；(2)直线l：kx-y+2=0与圆C交M,N两点，且MN=,求k.【答

11、案】(1)(x-1)2+y2=1(2)k=-1或k=-7（1）A,1232(1-)+(0-)22所以，圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1（2）解：设圆心C到直线l的距离为d，因为所以|MN|=2=2=，解得d=|k+2|=所以，由圆心到直线距离公式可得解得k=-1或k=-7.解：因为圆C的圆心为C(1,0)，且过点MN=所以半径k2+122d=1r=,.2易错点1：椭圆及其方程1、焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道a,b,c之间的大小关系和等量关系：2、椭圆的几何性质3、直线与椭圆的位置关系（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况（2）在用椭圆与直线联立求解

12、时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.4、求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。易错点2：双曲线及其方程1、焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道a,b,c之间的大小关系和等量关系：2、双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；3、直线与双曲线的位置关系（3）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（4）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.易错点3：抛物线及其方程1、主观认

13、为抛物线的顶点就是原点;2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题必记结论直线AB过抛物线y2的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2p2，x1x2.（2）|AB|x1x2p，x1x22=p，即当x1x2时，弦长最短为2p.（3）11为定值2|AF|BF|p.（4）弦长ABsi2pn2(为AB的倾斜角).（5）以AB为直径的圆与准线相切。（6）以AF为直径的圆与y轴相切.（7）焦点F对A，B在

14、准线上射影的张角为90.1抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为()1A4B2C1D2【答案】C【详解】抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为p，由抛物线标准方程y2=2x可得p=1，故选：C.22xy一a2b2=1(a 0,b 0)的一个焦点F(c,0)到C的一条渐近线的距离为2c7，则C的离心率为()113716A15B5C15D15【答案】C【详解】因为C的一个焦点F(c,0)到C的一条渐近线的距离为c，b不妨取渐近线方程为bc=b=7，2已知双曲线bx+ay=0，=2px(p 0)y=一axa2+b2bc=c所以,即2cC:两边平方得4c2=49b2.又b2c249c7=化简得a245，所

15、以a15.故选：C.C:3已知F1,F2是双曲线22xy-a22=1(a 0)的左右焦点，直线l过F1与抛物线x2=8y的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则F1F2=()A2B4C4D2【答案】C【详解】已知双曲线的左焦点F1(-c,0)，双曲线的渐近线方程为y=士x，抛物线x2=8y的焦点(0,2).因为直线l过F1(-c,0)与抛物线的焦点(0,2)且与双曲线的一条渐近线平行，2所以c故选：Cx2+y2=14已知F1,F2分别为椭圆42的左右焦点，点P为椭圆上一点，以F2为圆心的圆与直线PF1恰好相切于点P，则经PF1F2是()A45。B30。C60。D75。【答案】A【详解】依题意a=2

16、,b=c=2，设PF2=t,由椭圆定义得PF1=4-t，由于以F2为圆心的圆与直线PF1恰好相切于点P，所以12+22=12(4-t)2+t2=(2)2=8，整理得t2-4t+4=0，得t=2，得1=2,所以经PF1F2=45。.故选：A+=1(a2)上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1牛x2)到点则椭圆的离心率的取值范围是()C:5若椭圆的距离相等，4c2=49(c2-a2)，(a)P|（5,0)|a=,c=2a，又c2,解得：,所以,所以22=c-a=2c=4,即2=a12FF+2=2.PFPFPFFFPFA.()|（0,5)|B.()|（5,1)|C.()|（0,3)|D.

17、()|（3,1)|【答案】BQ(m,n)，在线段AB的中垂线上，将A(x1,y1),B(x2,y2)(x1丰x2+=1,+=122y1-y2+4=k根nm，得所以AB的中垂线的方程为y-n=(x-m)，令y=0得x0=m=根=，a2-4,故ae=c=所以a故选：B.则x1+x2=2m,y1+y2【详解】记AB中点为两式相减可得41-2a41-5(a)P|（5,0)|a2=5y1+y2x+x由题意点5，所以am a,a 2由题意，=2n，12222y1-y2a2n，所以22x-x22x-xy1-y2k=5,x-x=04m1212a24ABAB根a=,1C:x2-y2=1(a 0 b 0)b=x2

18、+y2=11已知双曲线a2b2,满足a2，且与椭圆123有公共焦点，则双曲线C的方程为()x2-y2=1A45x2-y2=1C54x2-y2=1B810 x2-y2=1D43【答案】Ax2+y2=1【详解】由椭圆的标准方程为123，可得c2=12-3=9，即c=3，x2+y2=1因为双曲线C的焦点与椭圆123的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c=3,b5a=22(5)2a+（2a)|=9x2-y2=1所以双曲线C的方程为45.故选：A.22xy-2已知F1是双曲线a2b2（a 0，b 0）的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且PF1=a，那么双曲线的离心率是()ABC2D3【答案】

19、A【详解】的坐标为(-c,0)，设P点坐标为(-c,y0)，(-c)2-y20=1易得a2b2b2a，因为直线PF1与x轴垂直，且,解得，可得，又由a2+b2=c2,解得=a，1PFa2=4b2=5,即y0=11F又因为双曲线,满足,即C:-=1(a 0,b 0)5b=a2b2=a所以可得a所以c=a+b,则a2=b2，即a=b，=2a2故选：A.3抛物线y2=2px(p 0)的焦点到直线y=x+1的距离为，则p=()A1B2C2D4【答案】B【详解】抛物线的焦点坐标为d=其到直线x-y+1=0的距离：0+121+1=,解得：p=2(p=-6舍去).故选：B.4设B是椭圆C:+=1(ab0)的

20、上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A,1B,1C(|（0,D.(|（0,【答案】C22【详解】设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为+(y0-b)2=a2(|（1-+(y0-b)2=(b3)2|y0+2|（c)+a2+b2PB22=xb2c,20当c2，即b2-bPB=+a+b+a+b 4bb32b422b4222,显然该不等式不成立.c2-b2 0故选：C.,离心率为e=2.+=1a2b2，(p)|（2,0)|，,所以=b2+c2222x0y0a2b3 c2可得a2 2c2，即因为-b y0c2,即,即时，0e0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，

21、离心率为.P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=()A1B2C4D8【答案】A,：c=a，根据双曲线的定义可得SPF1F2=|PF1|.PF2=4，即|PF1|.PF2=8，：F1P F2P，：|PF1|2+PF22=(2c)2，故选：A.1抛物线W：=4x的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线x=5的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为()A1B2C3D4【答案】A【详解】由题意得：F(1,0)，准线方程为x=一1，设点P的横坐标为a，由抛物线的定义可知：则a一5=2 a+1，解得：从而点P的横坐标为1故选：APF=a一(一1)=a+1a=1或一7（舍去），a 之

22、0，y2一x2=12双曲线a2的实轴长为4，则其渐近线方程为()Ax土4y=0B4x土y=0Cx土2y=0D2x土y=0：c【详解】a1一2=2ay2PFPF,一5a2+4=0:a=1a2=4c2()1一22+212.,即,解得，PFPFPFPF5【答案】D2y【详解】解：由题意知，a=2，所以双曲线的标准方程为422y一x2=1y双曲线4的渐近线方程为4故选：D.2一x=0,即2x土y=0.=1一x,23在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是()A抛物线B直线C抛物线或直线D以上结论均不正确【答案】C【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离

23、之比为1，可得该动点到定点和定直线距离相等，当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；故选C.4已知椭圆C:+=1(ab0)1e=的焦距为2，离心率2，则椭圆C的标准方程为()2xA2+y2=12xB4+y2=1x2+y2=1C43x2+y2=1D1612【答案】C【详解】由于2c=2,所以c=1,c1e=又因为a2，故a=2，22b2=a2一c2=3，所以椭圆的标准方程为：故选：Cx2一y2=1x2一y2=15已知双曲线a2b2的离心率为3，则双曲线b2a2的离心率为().393A4B8C2D3x+y=143.(12)【答案】A

24、【详解】解：因为双曲线-=1的离心率为3，所以b21+2a,所以=8,b2a2=3x2-y2=1故双曲线b2a2e=的离心率2a1+b234.故选：A.6已知抛物线D:y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若A2B2C.)2D4【答案】D【详解】由题知F(1,0)，准线l:x=-1，设与x轴的交点为C，点P在D上，由抛物线的定义及已知得k=3解得P(3,2)，P|（3,-3)|舍去，所以P2.PF=x+p=3+1=4=2,AFC=60。.解法3：过F作FB AP于点B，则B为AP的中点，因为故选：D.,则PAF为等边三角形，解法2：在RtACF中，(|y2

25、=4xPA=AF=PFAB=2，则|ly=(x-1)PF=(AF=4AP=4=AF,则,则由CFPA=.PF:y=(x-1)3,APx轴，所以直线PF斜率经APF=,所以解法1：因为11122xy一7设双曲线a2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点为F1,F2，过F2的直线与双曲线右支交A,B两点，设AB中点为P，若|AB|=经F1PA=45O,则该双曲线的离心率为()+1+1ABC2D2【答案】A【详解】解：根据题意可知，过F2的直线斜率存在，：AB中点为P，AB=21：21AP=PF经F1PA=45O12+PA212 PA.PFAPF1AF1=AP=BP=t，12=AB2+1：BF1=t由

26、双曲线定义可知：AF：AF2=t一2a：PF2=AP一AF2=2a2=BP+2：5t一(t+2a)=2a整理得：在F1F2P中，cos经FPA=由余弦定理可得：代入计算得：6a2=2c212 PF.=2t=(10+2)a12=2c2=2a由双曲线定义可知：是等腰直角三角形.中，由勾股定理得：中，由余弦定理()：在F1AB,12PF+PFAP=1经F1AP=90。整理得：=t，则2t=5+1 a1cos经FPA=F1AP,所以12一 FF又：又：在1FP=t+2a2PFAB,且=2a22=2a且且设=2tFF2BF1BFAFAF1AFPF1PF222一PFBFAFBFAFPFFPc=3:离心率e

27、a故选：A.8设椭圆C:+=1(a b 0)的左、右焦点分别为F1，F2,点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若MN=F1F2，2MF2=NF2，则C的离心率为()6一33一3A4B2C7D7【答案】C,并且线段MN，F1F2互相平分，2NF1=MF2=2a一x，2，(2a一x)2+x2=4c2，一2ax+2b2=0，由于点M在第一象限，x=a一3(a一a2一2b2)=2c6一3e=整理得7c2+6ac一9a2=0，即7e2+6e一9=0，解得7.故选：C.C:9已知双曲线上一点，则()22xy一a23=1(a0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为2,P为C四边形MF

28、1NF2是矩形，其中1【详解】解：依题意作下图，由于12+22=12根据勾股定理，,MF2，即MN=12整理得x2a2一2b222MFMN=3=x，则=212经FMF=2MF1MF,得设由MFMFFFFFNF,A双曲线C的实轴长为2B双曲线C的一条渐近线方程为y=xC12D双曲线C的焦距为4【答案】ABDa2+3【详解】由双曲线方程知：b=，离心率为2-y3,解得a=1，故C:x2=1,实半轴长为1，实轴长为2a=2，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y=土x，故一条渐近线方程为y=x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有焦距为2c=2 a2+b2=4,D正确.故选：ABD.12y=x1

29、0已知抛物线C：4的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是()y=AC的准线方程为116B直线y=x-1与C相切C若M(0,4)，则PM的最小值为2D若M(3,5)，则PMF的周长的最小值为11【答案】BCD【详解】解：抛物线C：y=x2，即x2=4y，所以焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y=-1，故A错误；由yyx21，即x2-4x+4=0，解得=(-4)2-4根4=0相切，故B正确；,所以直线y=x-1与C+(y-4)2=y2-4y+16=(y-2)2+12 12，=2min设点P(x,y)，所以=2，C错误；,故C正确；|PF1|-|PF2|PM2所以PM2=x=2ae=c=aPF-

30、PF=2CPFM=MF+MPPF=MF+MP+PN 之 MF+MN=5+6=11当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCDC:x2-y2=111已知双曲线a2b2(a 0,b 0)经过点(,1)，且渐近线方程为y=土x.(1)求C的方程；(2)若抛物线x2=2py(p 0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点.x2-y2=1【答案】(1)22(2)证明见解析.（1）(a 0,b 0)经过点(,1)，且渐近线方程为y=土x，-=1因为双曲线C:31b所以a2b2，a，解得a=b=，-=1=1所以+，()，如图过点P作PN NP=PF，准线，交于点N，MF=32+5-12=

31、52x所以C的方程为2（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x12由=y=1可得y2一2py+2=0,=4p2一8 0，+y2=2p,y1y2=2，=.=2p，y1一y2=2p，y一y1=(x一x1)，x12x一x12x1+y1=x12x一x12x2p=x12x(0,一2)E:x2+y2=1(ab0)12已知椭圆a2b2，过点P(一1,一1)且与x轴平行的直线与椭圆E恰有一个公共点，过点P且与y轴平行的直线被椭圆E截得的线段长为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点P的动直线与椭圆E交于M,N两点，T为y轴上的一点，设直线MT和11+NT的斜率分别为k1和k2，若k1k2为定值，求点

32、T的坐标.由对称性，椭圆过点解得：a=2.(3)|（一1,土2)|13+=1a24，,代入椭圆方程有所以直线AB过定点.所以直线AB的方程为=2py1,x22=2py2，一=1所以x1x2所以y1因为一k=即x+x12x一xy=12AB,故b=1.(0,一1)+y2=1（1）解：由题意，椭圆的下顶点为x【答案】(1)4(2)(0,一1)2故椭圆E的标准方程为：x2+y2=1.4（2）设点T坐标为当直线MN斜率存在时，设其方程为y=k(x+1)-1，与(4k2+1)x2+8k(k-1)x+4k(k-2)=0.+y2=1联立得：设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1+x2=,x1x2=.1y

33、1-t2kx1x2+(k-1-t)(x1+x2)=8k2(k-2)-8k(k-1)(k-1-t)4k3(k-2)-8k2(k-1)(k-1-t)+(k-1-t)2(4k2+1)，(4t2-3)k2-2(t+1)k+(t+1)21111+=-8k1k2为定值，即与k无关，则(t+1)2=0,t=-1，此时k1k2.11+经检验，当直线MN斜率不存在时也满足k1k2=k2x1x2+k(k-1-t)(x1+x2)+(k-1-t)2，8tk2-8(t+1)k.,故点T坐标为2kx+k-1-t1kx+k-1-t11+=kk(0,-1).(0,t).2y2-t=-812+xxxx=,213易错点1：向量的

34、有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB的大小称为向量的模(或大小)，记作|AB|.(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.易错点2.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)减法减去一个向量相当

35、于加上这个向量的相反向量aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)当0且a0时，a的模为|a|，而且a的方向如下：当0时，与a的方向相同；。当0时，与a的方向相反.(2)当=0或a0时，a0.(a)()a；(+)a=a+a;(ab)=a+b易错点3.共线向量定理如果存在实数,使得b=a(a0)，则ba.易错点4.向量模的不等式向量a，b的模与ab的模之间满足不等式|a|b|ab|a|b|.易错点4.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，如果cxayb，则称xayb为c在基底a，b下的分解式.(2)平面向量基本定理如果

36、平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在 唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.易错点5.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y).易错点6.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，a=(x1，y1)(R)，uavb(ux1vx2，uy1vy2)(u，vR).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a(x，y)，则|a|x2y2.(3)向量坐标的求法若向量的起点是

37、坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|（x2x1）2（y2y1）2.易错点7.向量平行的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx2y1x1y2.易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量“(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量“，b的夹角.(1)数量积：b|“|b|cos=x1x2y1y2.(2)模：|“|=“=.(3)夹角：cos=.(4)两非零向量“b的充要条件：b0 x1x2y1y20.(5)|“b|“|b|(当且仅当“b时等号成立)|x1x2y1y2|1在ABC中，点D满足=2，E为AD上一

38、点，且=m+n-B,m+n=1,则=()3A44B32C33D2【答案】DuuBC=【详解】因为BD=2DC，所以uuBD,-BE=mBA+nBC=mBA+则-nBD,因为A，E，D三点共线，32n=1=,所以32.2已知点AB在单位圆上，经AOB=,若=2+x-O(x eR)，则|2的最小值是()A2B3C5_2D4【答案】A所以m+故选：D.3232-.【详解】|2=(2+x-O)2=42+x OB+4x|OA|.|OB|cos4=x一2x+4=(x一)2+2之 2，因此|OC|2之2.故选：A.2-2-32-3若向量，满足=1，=，(+)，则 与的夹角为()35A4B3C4D6【答案】C

39、=一22=,所以故选：C.4已知平面向量,b满足=2,.b=4，则 在方向上的投影向量为()1aA21rbB2CaDb【答案】C【详解】b在 方向上的投影向量为故选：C.(cos,=(|（根.b=2a=a5已知平面向量=(4,一2)，=(1,一3)，若+与 垂直，则=()A-2B2C-1D1【答案】C【详解】因为a=(4,一2)，b=(1,一3)，故+(+).=.+2=0由题意a与 垂直，,即4+6+10=0，解得=一1，故选：C.(+)=0，.=一1，=2，b=，【详解】由已知得42+(一2)2E 0,a bcos=34.|a|=|,a.b一12,(1已知向量=(2,1)，=(一2,4)，则

40、a一b()A2B3C4D5【答案】D故选：D2已知向量a=(1,m)，b=(m,2)，若/，则实数m等于()ABC或D0【答案】C【详解】由a/b知：12m20，即m=2或.故选：C.3已知向量，A35【答案】D【详解】a.a+b1919cos=.+=5x7=35因此，.故选：D.4已知单位向量a，b的夹角为60,则在下列向量中，与b垂直的是()Aa+2bB2a+bCa 一2bD2a一b【答案】Da.b=【详解】由已知可得：.cos60o=1x1x11=22.则cos=()19D35|b|=6，.=一6，17C35=6，()2+=+2=2+2.+2=25一2x6+36=7：a.a+b=a+a.

41、b=52一6=19b满足B.|=5，35a.b=一6a)=5.b31b19a:,.一2.【详解】因为一=(2,1)一(一2,4)=(4,一3)，所以()一=42+一32=5A：因为2(a+2b).b=a.b+2b1=2+2x1=5子02,所以本选项不符合题意；B：因为C：因为2(2a+b).b=2a.b+b2(a一2b).b=a.b一2b(2a一b).b=2a.b一b故选：D.2=2x1一1=02,所以本选项不符合题意；,所以本选项不符合题意；,所以本选项符合题意.=1一2x1=一D：因为2=2x+1=212子 0203子5已知向量a=(2，3)，b=，(32)，则|ab|=AB2C5D50【

42、答案】Aa一b=(2,3)一(3,2)=(一1,1)，所以|a一b|=(一1)2+12=，故选A-1已知四边形ABCD，设E为CD的中点，AC.AD=10,|AE|=4，则|CD|=()A2BC2D【答案】A【详解】在平面（空间同样）四边形ABCD中，AC.AD=(AE+EC).(AE+ED)=|AE|2一|EC|2，故选：A.2已知向量a=(2,1)，b=(一2,4)，则|a一b|=()A2B3C4D5【答案】D【详解】由已知，rr-.AE-因为AC.AD=10,所以|EC|=,|CD|=2=4【详解】因为a=(2,1)，所以a一b=(4,一3)，所以故选：D3已知向量，满足=1，.=一1，

43、则.(2一)=()A4B3C2D0【答案】B【详解】.(2一)=2|一.b=2+1=3日故选：B.4已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，a，b的夹角为120，且，则向量,的数量积为()A0B一2a2C2a2D一a2【答案】A【详解】设b2=2t 0,因为，b的夹角为120。，.b cos120。=一t2,b，满足+b+=0，所以.=一.(+)=一一.=一|2一.b=一t2+t2=0故选：A.5设向量，满足|=2，|=1，与 的夹角为60o，则|+2|=()A2B3C4D2【答案】A【详解】解：因为|a|=2，所以所以.=.cos60o=2x222+4a.b+4b=a+4a.b+4 ba与

44、b的夹角为60o，=22+4x1+4x12=12|a+2b|2=(a+2b)2=a1x1=12，|=1，2,。b=2所以，因为非零向量，=一(+)|a一b|=42+(一3)2=5，b=(一2,4)，所以.b=22=|(1)rr所以|a+2b|=2 3.故选：A.6设非零向量a、b满足|a|=2|b|,|a+b|=|b|，则向量 与的夹角为()A30。B60。C120。D150。【答案】C【详解】由a+b|=|b|a|2+2|a|.|b|cos a,b+|b|2=3|b|2，代入|a|=2|b|cos a,b1=一2，0。a,b 0sin Asin A=taa=,可得3t=sinA+4tcosA

45、=1+16t2sin(A+)1+16t2，为锐角，且tan=4t，2，此时tan=2，A=一当2时，t取得最大值2.S故a2的最大值为2.12已知向量=(|（2sin,2，=(|（cos,cos2-(1)若m.n=2，求cos(|（x+的值；(2)记f(x)=.，在ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足(2a一c)cosB=bcosC，求f(A)的取值范围.【答案】（1）.=2sincos+2cos2=sin+cos+1=2sin+1.=2，sin+=.cos(|（x+=1一2sin2+=.（2）所以，18t2 1+16t2，解得=0t.(2a一c)cosB=bcosC，由正弦定

46、理得2sin AcosB 一sin CcosB=sinBcosC，2sin AcosB=sin(B+C).A+B+C=,sin(B+C)=sinA12，B e(0,)，B=3，0 A sin+1f(x)=.=2sin+1，f(A)=2sin+1e(2,3)故f(A)的取值范围是(2,3).(2sin A一sin C)cosB=sinBcosC，:A+62610时，成对样本数据正相关；当r0时，成对样本数据负相关.(3)|r|1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型(1)我们将y bxa称为y关于x的回归直线

47、方程，其中(2)残差：观测值减去预测值，称为残差.4.22列联表和2如果随机事件A与B的样本数据的22列联表如下.A-A总计Babab-Bcdcd总计acbdabcd记nabcd，则n（adbc）22.5.独立性检验统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数k如下表所示.=P(2k)0.10.050.010.0050.001K2.7063.8416.6357.87910.828要推断“A与B有关系”可按下面的步骤(1)作22列联表.(2)根据22列联表计算2的值.(3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出2的值后，发现2k成立，就称在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为A与B不独立(也

48、称为A与B有关)；或说有1-的把握认为A与B有关.若2 8,B选项结论正确.6=0.375 0.6,3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错;对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故

49、B正确；对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选：A4设（x1，y1），（x2，y2），,（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是A直线l过点(，)Bx和y的相关系数为直线l的斜率Cx和y的相关系数在0到1之间D当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【答案】A【详解】试题分析：回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数

50、的绝对值是小于1的，是在1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制.解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确，两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B不正确，两个变量的相关系数可能为负，故C不正确，所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D不正确，故选A.5在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），,（xn，yn）（n2，x1,x2,xn不全相等）的1散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,n)都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为()1A1B0C2D1【答案】D1【详解】由题设知，所有样本点（xi，yi）（i