五类导数题型-2023年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项练习（新高考专用）含解析.pdf

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1、五类导数题型五类导数题型-20232023 年高考数学大题秒杀技巧年高考数学大题秒杀技巧 导数问题一般分为五类：类型 1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）；类型 2：利用导函数研究恒成立能成立问题；类型 3：利用导函数研究函数零点问题；类型 4：利用导函数研究函数的隐零点问题；类型 5：利用导函数研究函数的极值点偏移问题；类型类型 1 1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）专题训练利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）专题训练 1已知函数()()(

2、)2310f xax xa=+.(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若()f x有三个零点()123123,x x xxxx，且()f x在0 xx=处的切线经过点()1,0 x，10 xx，求证：102xx=.2()32lnf xxaxax=(1)讨论()f x的单调性；(2)()()23g xf xxax=+，若()g x有两个极值点12,x x，且12xx，试求()()212g xg x的最大值 3已知函数()()2ln 1f xxax=+，Ra(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若函数()f x有两个极值点1x，2x，且12xx 4已知函数()()2exf xxaxa=+.(1

3、)求函数()f x的单调区间；(2)若()21exf xx+恒成立，求实数a的取值范围.5已知函数2()1lnef xxax=，0a (1)求函数()f x的单调区间；(2)当 a=1 时，若关于 x的方程()f xm=（m 为实数）有两个不相等的实数根12,x x，且12xx，求证：()21e1xxm，e是自然对数的底数(1)若()()f xg x在(0,)+上恒成立，求实数a的取值范围；(2)设ln()xh xx=，在（1）的条件下，讨论关于x的方程()()h f xh g x=在(0,)+上解的个数 7设()exf x=，()lng xx=，()sincosh xxx=+.(1)求函数(

4、)()h xyf x=，()0,3x的单调区间和极值；(2)若关于 x不等式()()2f xh xax+在区间)0,+上恒成立，求实数 a 的值；(3)若存在直线yt=，其与曲线()xyf x=和()g xyx=共有 3 个不同交点()1,A x t，()2,B x t，()3,C x t（123xxx(1)求曲线()()yf xg x=在 x1 处的切线方程；(2)求使得()()()f xh xg x在()0,x+上恒成立的 k的最小整数值 10已知函数()1xf xeax=.(1)当1a=时，求()f x的单调区间与极值；(2)若()2f xx在)0,x+上有解，求实数 a的取值范围.类型

5、类型 3 3：利用导函数研究函数零点问题：利用导函数研究函数零点问题 利用导函数研究函数零点问题专项训练利用导函数研究函数零点问题专项训练 11已知函数()2lnex axf xxa=，其中 a为常数，2.71828e=是自然对数的底数(1)当1a=时，求曲线()yf x=在1x=处的切线方程；(2)当1a 时，问()f x有几个零点，请说明理由 12已知函数()12exf xax=，aR.(1)若()f x的图象在1x=处的切线与直线123yx=+垂直，求a的值及切线方程；(2)若0a，函数()()()lng xf xaxax=+在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围.13已知函数ln()

6、(0)1xf xaax=+(1)当21e=a时，求()f x的单调区间；(2)若函数1()yf xax=+有两个不同的零点，求 a的取值范围 14已知函数()()lnf xxxaax a=+R(1)若 a1，求函数()f x的极值；(2)若函数()f x在区间1,e上有且只有一个零点，求实数 a的范围 15已知函数()1eln1xf xax=，Ra.(1)若1a=，求函数()f x的单调区间；(2)若()f x有且只有 2 个不同的零点，求a的取值范围.类型类型 4 4：利用导函数研究函数的隐零点问题：利用导函数研究函数的隐零点问题 利用导函数研究函数的隐零点问题专项训练利用导函数研究函数的隐

7、零点问题专项训练 16设函数1()ln,()3()af xx g xaxaRx=+.(1)求函数()()()xf xg x=+的单调增区间；(2)当1a=时，记()()()h xf xg x=，是否存在整数，使得关于 x 的不等式2()h x有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln20.6931,ln31.0986）17设函数()2xf xeax=，其导函数为()fx.（1）求函数()2xf xeax=的单调区间；（2）若1a=，k为整数，且当0 x 时，()()10 xk fxx+，求k的最大值.18已知函数()ln,xaf xaRx+=(1)若1x=是()f x

8、的极值点，求 a；(2)当1a 时，证明：()2e1xf x 19设函数()e2xfxax=，Ra，其导函数为()fx(1)求函数()f x的单调区间；(2)若1a=，k为整数，且当0 x，()()10 xk fxx+，求k的最大值 20已知01m 22已知函数2()ln(2)f xaxxax=+，其中a为常数，且0a (1)当0a 时，若()f x在(0，e上的最大值为 1，求实数a的值；(2)若0a 23已知函数()2ln12af xx xxx=+，aR.(1)若函数()yf x=的图象在点()()1,1f处的切线方程为21yx=+，求实数 a的值；(2)若函数()f x在定义域内有两个不

9、同的极值点1x，2x.（i）求实数 a 的取值范围；（ii）当02m.24已知函数122e()lnxf xaxxx=+(aR，a为常数)在(0,2)内有两个极值点1212,()x xxx.25已知函数()21ln,2f xxxmxx mR=（1）若()()g xfx=，()fx为()f x的导函数)，求函数()g x在区间1,e上的最大值；（2）若函数()f x有两个极值点12,x x，求证：212x xe 五类导数题型-2023 年高考数学大题秒杀技巧 导数问题一般分为五类：导数问题一般分为五类：类型 1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）；类型 2：利用导函数研究恒成立能成

10、立问题；类型 3：利用导函数研究函数零点问题；类型 4：利用导函数研究函数的隐零点问题；类型 5：利用导函数研究函数的极值点偏移问题；下面给大家对每一个类型进行秒杀处理下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.类型类型 1 1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）含参问题讨论单调性含参问题讨论单调性 第一步：求()yf x=的定义域第二步：求()fx（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为()g x对于()yf x=进行求导得到()fx，对()fx初步处理（如通分），提出()fx的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为(

11、)fx的有效部分（如：()22(2)xexaxfxx+=，则记2()2g xxax=+为()fx的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定()fx的正负.第四步：确定导函数有效部分()g x的类型：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分借助导函数有效部分()g x的图象辅助解题：图象辅助解题：令()0g x=，确定其零点0 x，并在x轴上标出观察()yg x=的单调性，根据画出草图导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分借助导函数有

12、效部分()g x的图象辅助解题：图象辅助解题：对()g x因式分解，令()0g x=，确定其零点1x，2x并在x轴上标出这两个零点观察()yg x=的开口方向，根据画出草图导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型对()yg x=，求24bac=分类讨论0 对于0，利用求根公式求()0g x=的两根1x，2x 判断两根1x，2x是否在定义域内：对称轴+端点正负 画出()yg x=草图 二、含参问题讨论单调性的原则二、含参问题讨论单调性的原则 1、最高项系数含参，从 0 开始讨论 2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论 3、考

13、虑根是否在定义域内 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）专题训练利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）专题训练 1已知函数()()()2310f xax xa=+.(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若()f x有三个零点()123123,x x xxxx时，()(),11,x +时，0fx；()1,1x 时，()0fx，所以()f x在(),1 上单调递增，在()1,1上单调递减，在()1,+上单调递增；(ii)当0a 时，()(),11,x +时，()0fx；()1,1x 时，0fx，所以()f x在(),1 上单调递减，在()1,1上单调递增，在()1,+上

14、单调递减.（2）()f x有三个零点，当且仅当()()11102ffa，由题意()3111310f xaxax=+=，()f x在0 xx=处的切线方程为：()()()000yf xfxxx=，该切线经过点()1,0 x，则()()()0010f xfxxx=，即()()230100033310axxxaxax+=，联立得：()()2330100011333131axxxaxaxaxax+=+，()()()()()222010100011103330axxxa xxxx xxa xx+=，因为01,0 xx a，所以，()()()()22222000110011010133302020 xxx

15、 xxxx xxxxxx+=+=+=，所以0120 xx+=，即102xx=.2()32lnf xxaxax=(1)讨论()f x的单调性；(2)()()23g xf xxax=+，若()g x有两个极值点12,x x，且12xx，令()0fx=，得两根为3a和1a 当0a 时，令()0fx，得30 xa，令()0fx，于是()f x在30,a上单调递增，在3,a+上单调递减；当a，得1xa，令()0fx，得10 xa，则2222()2xaxg xaxxx=+令2()22h xxax=+，则()h x有两个不等正根12,x x，于是2160a=，且1202axx+=，121=x x，即4a，又

16、12xx，于是1201xx，且211xx=则()()222122211122ln4ln22g xg xxaxxxaxx=+21112111112ln4ln22axaxxxxx=+()2121112112112212ln4ln2 222xxxxxxxxxx+=+()221211211112211122116ln2 2226ln22xxxxxxxxxxxx+=+=+，令221()6ln22,(01)xxxxx=+，则202x，于是()x在20,2单调递增，在2,12单调递减，故2max22212()6ln223ln2122222x=+=+，即()()212g xg x的最大值为3ln2 1+.3已

17、知函数()()2ln 1f xxax=+，Ra(1)讨论函数()f x的单调性；(2)若函数()f x有两个极值点1x，2x，且12xx 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）函数()f x的定义域为()1，()222211axxafxxxx+=，设()222g xxxa=+，令()0g x=，48a=，当0 时，即12a，()()0,fxf x在()1，单调递减，当0 时，即，12a，令()0g x=，得11122ax=，21122ax+=，若0a，11x，21x，由()0fx即()0g x，得出()11xx，.当102a时，21x，由()0fx即()0g x，得出()12x

18、xx，.综上所述：当12a 时，函数()f x在(),1上单调递减，当0a 时，函数()f x在112,2a上单调递减，在112,12a上单调递增，当102a时，函数()f x在112,2a上单调递减，在112112,22aa+上单调递增；在112,12a+上单调递减.（2）由（1）可知：当102a时，11122ax=，21122ax+=是函数()f x两个极值点，有121xx=+，122ax x=，此时2112x，只要证明()1211f xxa ()()()221111221221122222222212222ln 11ln 1,111lnlnlnln,22222xaxxf xxxxxaaa

19、xxxxxxxxxxxx xxxx+=+=+=+=+=+设()111ln,1222h xxxxx=+，()22211221122xxh xxxx+=+=令()2221M xxx=+，当1,12x时，()112M x ，所以当1,12x时，()0h x=，即证()12f xaxa 4已知函数()()2exf xxaxa=+.(1)求函数()f x的单调区间；(2)若()21exf xx+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)2e,0【详解】（1）()()()()()()22222ee2xxxfxxaxaxaexaxaxax=+=+=+，当2a=时，()()22e0 xfxx+

20、=，此时函数()f x在 R 上单调递增，增区间是(,)+，没有减区间；当2a 或2x，()02fxxa 时，令 0fx可得2x 或xa，()02fxax ，当1lnxa且1x 时，有1e,12xxa+，可得()11 e221xa xaa+=，不合题意；当0a，可得2x ，可知函数()g x的减区间为(),2，增区间为()2,+，可得函数()g x的最小值为()212eg=，故有211ea，解得2e0a，故若()21exf xx+恒成立，则实数a的取值范围为2e,0.5已知函数2()1lnef xxax=，0a (1)求函数()f x的单调区间；(2)当 a=1 时，若关于 x的方程()f x

21、m=（m 为实数）有两个不相等的实数根12,x x，且12xx，求证：()21e1xxm 当 a恒成立，所以()f x在(0,)+上单调递增；当 a0 时，令()0fx，解得e2ax；令()0fx，解得e02ax，所以()f x在e0,2a上单调递减，在,2ae+上单调递增 综上所述，当 a0 时，()f x的单调递减区间为e0,2a，单调递增区间为e,2a+（2）方法一：当 a=1 时，2()1lnef xxx=，由（1）可知，()f x的单调递减区间为e02,，单调递增区间为e,2+，因为方程()f x=m（m为实数）有两个不相等的实数根1x，2x，且12xx，因此12e02xx，则ee(

22、)1xh xxx=，令()0h x，解得ex；令()0h x，解得ee2x 0 x，因此21e(1)0mxx+，即21e(1)xxm 令()0g x=，解得ex=，令()0g x，解得ex；令()0g x，解得0ex，所以()g x在(0,e)上单调递减，在(e,)+上单调递增，所以e()(e)lne0eg xg=，因此1()1ef xx 因为()f x=m（m为实数）有两个不相等的实数根1x，2x，且12xx 0 x，所以10 x，所以21e(1)xxm)对xD恒成立，则只需max()af x；若()af x对xD恒成立，则只需min()af x能成立min()af x；xD，使得()af

23、x能成立max()af x，e是自然对数的底数(1)若()()f xg x在(0,)+上恒成立，求实数a的取值范围；(2)设ln()xh xx=，在（1）的条件下，讨论关于x的方程()()h f xh g x=在(0,)+上解的个数【答案】(1)0ea(2)当0ea，所以()t x在(0,)+上单调递增，所以()()11e0022xt xxt=，即11e022xx，故当01x时，()0 x时，()0 x，()x单调递增，所以()(1)ex=，所以0ea，()e10 xfx=+，即()f x，()g x均单调递增；此时(1)(1)efg=，有(1)(1)h fh g=()i当(0,1)x时，()

24、()(1)eg xf xf；()ii当(1,)x+时，()()(1)ef xg xg=，()h x在(e,)+上单调递减，所以()()h f xh g x；所以ea=时，方程有唯一解 当0ea，令()ef x=得1x=，令()eg x=得22011e2e1122xaxxaa+=+，()i当(0,1x时，()()(1)eg xf xf；()ii当()01,xx时，()e()f xg x，由复合函数单调性可知()h f x单调递减,()h g x单调递增，令()()()m xh g xh f x=，则()m x单调递增，又(1)(1)(1)()(e)0mh gh fh ah=，所以存在唯一的()0

25、1,xx，满足()()h f xh g x=；()iii当)0,xx+时，()0()()ef xg xg x=，则()()h f xh g x；所以0ea时，方程有唯一解 综合可得：当0ea时，关于x的方程()()h f xh g x=在(0,)+上有唯一解 7设()exf x=，()lng xx=，()sincosh xxx=+.(1)求函数()()h xyf x=，()0,3x的单调区间和极值；(2)若关于 x不等式()()2f xh xax+在区间)0,+上恒成立，求实数 a 的值；(3)若存在直线yt=，其与曲线()xyf x=和()g xyx=共有 3 个不同交点()1,A x t，

26、()2,B x t，()3,C x t（123xxxy，得sin0 x，解得(21)2(Z)kxkk，函数()()h xyf x=在区间(21),2),Zkkk上单调递增；由0，解得()()2 21 Zkxkk，从而()()h xf x在)0,+上的最大值为 1，即sincos1exxx+在)0,+上恒成立，于是()esincos0 xGxxx=在)0,+上恒成立，则()yFx=在)0,+上单调递增，从而()()02FxFa=，当2a 时，()0Fx，当且仅当2,0ax=时等号成立，因此()yF x=在)0,+上单调递增，从而()()00F xF=在)0,+上恒成立，则当2a 时，()0F x

27、 在)0,+上恒成立；当2a 时，令()e1,0 xu xxx=，则()e10 xu x=，即函数()u x在(0,)+上递增，()(0)0u xu=，即当0 x 时，e1xx+，于是()11ecos(1)sin(1)22cos(2)04aFaaaaaaa+=+，又()020Fa=，则存在(0,1)a+，使得()0F=，当()0,x时，()0Fx，函数()yF x=在()0,上单调递减，又()00F=，即当()0,x时，()0F x，函数()1yF x=在(),1上单调递增；当()1,x+时，()10Fx，函数()1yGx=在()0,e上单调递增；当()e,x+时，()10Gx，即证明方程2l

28、n0exxx=有唯一实数根，因为当(0,1x时，()10F x，()10Gx，则曲线()1yF x=与()1yGx=在区间(0,1上没有交点，即方程2ln0exxx=在(0,1上没有实根，令()2ln(0)exxxx x=，求导得()()()222e1e?exxxxxxxxxx=，令2()(2)e,1xm xxxx=，求导得2()43exm xxx=，令2()43e,1xv xxxx=，求导得()46exv xx=，显然()v x在(1,)+上递减，()(1)0v xv，函数()()m xv x=在(1,)+上递减，()(1)1 e0m xm=，函数()m x在(1,)+上递减，()(1)1

29、e0m xm=时，()0 x，()2eee10e=，从而函数()yx=在()1,e上存在唯一零点，则方程()0 x=在()1,+上有唯一实数根，且()1,e，由于直线yt=与曲线()1yF x=，()1yGx=共有 3 个不同交点，则直线yt=必过点(),t，且()()()()11121213F xF xGxGxt=，12301exxx，10et，等价转化为eln1xxxax，即1lnexxaxx在0 x 时恒成立，所以min1lnexxaxx，令()1lnexxh xxx=，则()222211 lnelnexxxxxh xxxx+=+=，令()2elnxxxx=+，则()212 ee0 xx

30、xxxx=+，所以函数()x在0 x 时单调递增，211221111elneln1602224=+=，01,12x，使得()00 x=，当00 xx时，()0 x，即()()0,h xh x时，()0 x，即()()0,h xh x单调递增，故()min0()h xh x=，由()02000eln0 xxxx=+=，得001ln0000000ln111elneln,(0,1),xxxxxxxxx=在()e(01)xg xxx=，函数()exg xx=在()0,1上单调递增，001lnxx=，即00lnxx=与001exx=，()0000min0000000lnlnln111()e1xxxxh

31、xh xxxxxxx=，1a，即实数a的取值范围为(,1.解法二：因为函数()eln1xf xxx=，故有(),0f xax x，等价转化为：eln1(0)xxxax x，构造()e1tG tt=，()e1tG t=，所以可知()G t在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增，()()00G tG=，即e1+tt成立，令lnln,eeln1xxxtxxxxx+=+=+，令()()1ln,10h xxx h xx=+=+，()h x在()0,+单调递增，又()1110,110eehh=，所以存在()00,1x，使得()00h x=，即00ln0 xx+=，可知eln1xxxx，当1a 时，可

32、知eln1xxxxax 恒成立，即此时不等式成立；当1a 时，又因为0000001ln0lnexxxxxx+=，所以000000eln1lnxxxxxax=(1)求曲线()()yf xg x=在 x1 处的切线方程；(2)求使得()()()f xh xg x在()0,x+上恒成立的 k的最小整数值【答案】(1)(ln)ln20kkk xykkk+=(2)k的最小整数值为 2【详解】（1）曲线()()lnxyf xg xkkx=，lnxkykkx=，当1x=时，lnykkkyk=，故切线方程为(ln)(1)ykkkkx=，整理得：(ln)ln20kkk xykkk+=.（2）先设()()()1l

33、nF xh xg xkxkx=，()()1k xkFxkxx=当1x 时，()0F x，()F x在()1,+上单调递增，当01x时，()0F x.令2k=，有()()()221xH xf xh xx=+，()2 ln22xHx=，易知()Hx在()0,+上单调递增，令02 ln220 x=，有022logln2x=.有()02222log1ln2ln2H x=+=()()2222lnln22ln2ln ln2ln2ln2+=.由2322 ln23e，故()229lnln2ln2=，所以()0H x.故符合条件的k的最小整数值为 2.10已知函数()1xf xeax=.(1)当1a=时，求()

34、f x的单调区间与极值；(2)若()2f xx在)0,x+上有解，求实数 a的取值范围.【答案】(1)在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增，函数()f x有极小值0，无极大值(2)2ae【详解】（1）当1a=时，()1xf xex=，所以()1xfxe=当0 x 时()0fx时 0fx，所以()f x在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增，所以当0 x=时函数()f x有极小值()00f=，无极大值.（2）因为()2f xx在)0,+上有解，所以210 xexax 在)0,+上有解，当0 x=时，不等式成立，此时aR，当0 x 时1xeaxxx+在()0,+上有解，令()1xeg

35、 xxxx=+，则()()()()22221111xxxexexxgxxxx+=由（1）知0 x 时()()00f xf=，即()10 xex+，当01x时()0gx时()0gx，所以()g x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以当1x=时，()min2g xe=，所以2ae，综上可知，实数 a的取值范围是2ae.类型类型 3 3：利用导函数研究函数零点问题：利用导函数研究函数零点问题 秒杀技巧：秒杀技巧：1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()yf x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()yf x=的零点（2）三个等价关系 方程0)(=xf有实数根函数)(xfy=

36、的图象与x轴有交点的横坐标函数)(xfy=有零点 2、函数零点的判定 如果函数()yf x=在区间,a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f af b时，问()f x有几个零点，请说明理由【答案】(1)0y=(2)三个【详解】（1）解：当1a=时，()21ln1exxf xx=，则()10f=，()2121exxxfxx=，则()10f=，故当1a=时，曲线()yf x=在1x=处的切线方程为0y=.（2）解：令()0f x=，可得()22ln0lnln eeeax ax axxxaxax=+=，即()2eln eeaaxxx=，即()ln eeeaxaxxx=，即()ln el

37、neeeaxxaxx=，令()()ln0tttt=，则上述方程转化为()()eexax=（*）()f x的零点个数即为方程（*）的根的个数.则()21 lnttt=，令()0t=可得et=，列表如下：t()0,e e()e,+()t+0 ()t 增 极大 减 所以，et=为函数()t的唯一极大值点，且()()max1eet=，令()()()eexah xx=，当1a 时，eea，eeaxx，当1x 时，eex，eeeaxx，且函数()t在()e,+上单调递减，为解方程()()eexax=，只需解方程eexax=，令eexax=，其中1x，即eexax=，令()exm xx=，其中0 x，则()

38、()2e1xxm xx=，令()0m x=，可得1x=，列表如下：x()0,1 1()1,+()m x 0+()m x 减 极小 增 所以，函数()m x在()1,+上单调递增，则()()min1eeam xm=，故()eeeexxm xxx=，()1eeam=，根据零点存在定理，存在唯一的()01,x+，使得()000eexam xx=，即00eexax=，所以，()()00eexax=，故方程（*）在()1,+上有唯一解0 x；当1x=时，()()eea=不成立，故1x=不是方程（*）的解；当01x时.（i）当11,1eax时，eex，所以，()ex单调递增，()eax单调递减，故()()

39、()eexah xx=在11,1ea上单调递增，因为()()()()11eee0eaah=，()1111ee111eee0eeaaah=，根据零点存在定理，函数()h x在11,1ea上存在唯一零点；（ii）当110,eax时，eex，eeax，而()t在()0,e上单调递增，为解方程()()eexax=，只需解方程eexax=，令()eexag xx=，其中110,eax，因为()ee0 xagx=，所以，函数()g x在110,ea上单调递减，因为11e11ee0eaag=，故存在唯一的1110,eax，使得()10g x=，即11eexax=，即()()11eexax=，故方程()()e

40、exax=在区间110,ea上也存在唯一解1x.综上所述，当1a 时，方程()()eexax=存在三个解，即函数()f x有三个零点.12已知函数()12exf xax=，aR.(1)若()f x的图象在1x=处的切线与直线123yx=+垂直，求a的值及切线方程；(2)若0a，函数()()()lng xf xaxax=+在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)1a=，31yx=(2)1,+【详解】（1）解：（1）()1e2xfxax=，()112fa=，()f x的图象在1x=处的切线与直线123yx=+垂直，()11 23fa=，解得1a=，()12exf xx=+，()12

41、f=，故所求切线方程为()231yx=，即31yx=.（2）（2）由0a，0ax，可知其定义域为()0,+，令()0g x=，则()12eln0 xaxaxax+=.又0ax，所以()()()()()n1n11lleelnlneln0exxaxaxxxaxxaxxaxax+=+=.令()lntxax=，即可转化为1e0tt=有解.设()1eth tt=，则由()1e10th t=可得1t 可得1t 则()h t在(),1t 上单调递减，在()1,t+上单调递增.又()10h=，所以()1eth tt=有唯一的零点1t=.若()g x在区间()0,+上存在零点，则()1lnxax=在()0,+上

42、有解，整理得1 lnlnaxx+=.设()lnl xxx=，由()110lxx=得1x，由()0lx得01x+(1)当21e=a时，求()f x的单调区间；(2)若函数1()yf xax=+有两个不同的零点，求 a的取值范围【答案】(1)f（x）的单调递增区间为()20,e，单调递减区间为()2e,+(2)()2e,+【详解】（1）由题意，知()f x的定义域为(0,)+，当21e=a时，22e ln()exf xx=+，()2222ee1ln()exxfxx+=，令2e()1lng xxx=+，则221e()0g xxx=，从而()0fx，当()2e,x+时，()0g x，从而()0fx，所

43、以当210,ex时，()0h x，所以()h x在210,e上单调递减，在21,e+上单调递增，所以min221()1eeah xh=，当210ea，即20ea时，()h x至多有一个零点，不符合题意，当210ea时，210eh，由单调性和函数零点存在定理，知()h x在21,e+上有且只有一个零点 因为2ea，所以22111eaa，所以()x在(2,)+上单调递增，因为2e2a，所以()(2)3ln40a=，所以210ha，由单调性和函数零点存在定理，知()h x在210,e上有且只有一个零点 所以，当2ea 时，()h x有两个不同的零点，即1()yf xax=+有两个不同的零点，符合题意

44、，综上，a的取值范围是()2e,+14已知函数()()lnf xxxaax a=+R(1)若 a1，求函数()f x的极值；(2)若函数()f x在区间1,e上有且只有一个零点，求实数 a的范围【答案】(1)()0f x=极小值，无极大值(2)1a 或ee 1a.【详解】（1）由题可得，函数()f x的定义域为()0,+，()ln1fxxa=+.若1a=，()lnfxx=，当01x，()0fx，0fx，()f x在()1,+上单调递增.所以()()11110fxf=+=极小值ln，无极大值.（2）()lnf xxxaxa=+，易知()10f=，所求问题等价于函数()lnf xxxaxa=+在区

45、间(1,e上没有零点，因为()ln1fxxa=+，当10eax，()0fx，0fx，在()1e,a+上单调递增.当1e1a，即1a 时，函数()g x在区间(1,e上单调递增，所以()()10f xf=，此时函数()f x在区间(1,e上没有零点，满足题意.当11eea，即12a时，()f x在区间()11,ea上单调递减，在区间(1e,ea上单调递增，要使()f x在(1,e上没有零点，只需()e0f，即ee0a a，所以e2e 1a.当1eea，即2a 时，函数()f x在区间(1,e上单调递减，在()f x区间(1,e上满足()()10f xf.15已知函数()1eln1xf xax=，

46、Ra.(1)若1a=，求函数()f x的单调区间；(2)若()f x有且只有 2 个不同的零点，求a的取值范围.【答案】(1)函数()f x的单调减区间是()0,1，单调增区间是()1,+(2)()0,1.【详解】（1）()11exfxx=，()10f=，()()11exg xfxx=，()121e0 xgxx=+恒成立，所以()fx在()0,+递增.所以当()0,1x，()0fx；()1,x+，0fx 所以函数()f x的单调减区间是()0,1，单调增区间是()1,+.（2）()11exfxax=，当1a=时，由（1）知()f x有且只有一个零点.当0a 时，()11e0 xfxax=时，1

47、1e10afaa=，又因为()yfx=的图象在区间()0,+上连续不间断，所以01,1xa，使得()00fx=，即0101e0 xax=.令()11exg xax=，()121e0 xagxx+=，所以()()fxg x=在区间()0,+上单调递增，所以当()00,xx时，()()00fxfx=，函数()f x单调递增.所以()()01000min01eln1ln11 10 xff xaxxxx=，所以()f x无零点.令()()ln1h xxx=，当1x 时，()110h xx=，有()()10h xh=，所以ln1xx.当01a时，()110fa=，又因为()yfx=的图象在区间()0,+

48、上连续不间断，所以011,xa，使得()00fx=，即0101e0 xax=.令()11exg xax=，()121e0 xagxx+=，所以()()fxg x=在区间()0,+上单调递增，所以当()00,xx时，()()00fxfx=，函数()f x单调递增.所以()()01000min01eln1ln11 10 xf xf xaxxx=.()()1111112442e2ln1211210 xff xaxaxxaaa=+，又因为函数()f x在区间()00,x上单调递减，在区间()0,x+上单调递增，且()yf x=的图象连续不间断，021141exaa，所以()f x有且只有 2 个零点.

49、综上，若函数()f x有且只有 2 个零点，则实数a的取值范围是()0,1.类型类型 4 4：利用导函数研究函数的隐零点问题：利用导函数研究函数的隐零点问题 1 1、不含参函数的隐零点问题不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数)(xf，导函数方程0)(=xf的根存在，却无法求出，设方程0)(=xf的根为0 x，则有：关系式0)(0=xf成立；注意确定0 x的合适范围.2 2、含参函数的隐零点问题含参函数的隐零点问题 已知含参函数),(axf，其中a为参数，导函数方程0),(=axf的根存在，却无法求出，设方程0)(=xf的根为0 x，则有 有关系式0)(0=xf成立，该关系式给出了ax,0的关

50、系；注意确定0 x的合适范围，往往和a的范围有关.3 3、函数零点的存在性、函数零点的存在性 （1）函数零点存在性定理：设函数()fx在闭区间,a b上连续，且()()0f a f b，那么在开区间(),a b内至少有函数()fx的一个零点，即至少有一点()0,xa b，使得()00f x=.若()()0f a f b，那么()fx在,a b不一定有零点 若()fx在,a b有零点，则()()f a f b不一定必须异号(3)若()fx在,a b上是单调函数且连续，则()()()0f a f bf x，所以()()()()222211111(0)axaxaxxaaxaxxxxx+=+=，当0a