江苏省南京师范大学附属中学2023届高三下学期5月模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、南 京 师 大 附 中 2 023 届 高三 年级 模 拟 考 试数 学 2 0 2 3.5(总 分 150 分，考试 时 间 120 分钟)注 意 事 项：1 本 试 卷 考 试 时 间 为 1 2 0 分 钟，试 卷 满 分 1 5 0 分，考 试 形 式 闭 卷 2 本 试 卷 中 所 有 试 题 必 须 作 答 在 答 题 卡 上 规 定 的 位 置，否 则 不 给 分 3 答 题 前，务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 填 写 在 试 卷 及 答题 卡 上 第 I 卷（选择 题 共 6 0 分）一、单 项 选 择 题(本 大

2、 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的)1 已 知 全 集 N U A B x A 3 个 B 4x 6,A UB 1,3,5，则 B 中 元 素 个 数 为（）个 C 5 个 D 6 个2 已 知 复 数 3 i z，则23 z z）A 5 B 2 5 C 10 D 2 1 03 将 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 投 掷 两 次，则 第 一 次 掷 得 的 点 数 能 被 第 二 次 掷 得 的 点 数 整 除 的 概率 为）A 71 8B 51 2C29 D 134 已 知

3、 A B C 的 边 B C 的 中 点 为 D，点 E 在 A B C 所 在 平 面 内，且 3 2 C D C E C A，若A C x A B y B E，则x y（）A 5 B 7 C 9 D 1 15 圆 锥 曲 线 具 有 光 学 性 质，如 双 曲 线 的 光 学 性 质 是：从 双 曲 线 的 一 个 焦点 发 出 的 光 线，经 过 双 曲 线 反 射 后，反 射 光 线 是 发 散 的，其 反 向 延 长线 会 经 过 双 曲 线 的 另 一 个 焦 点 如 图，一 镜 面 的 轴 截 面 图 是 一 条 双 曲线 的 部 分，A P 是 它 的 一 条 对 称 轴，F

4、是 它 的 一 个 焦 点，一 光 线 从 焦点 F 发 出，射 到 镜 面 上 点 B，反 射 光 线 是 B C，若 1 2 0 P F B，9 0 F B C=，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于）A 2B 5 C 3 1 D 5 126 等 比 数 列 na 的 公 比 为q，前n项 和 为nS，则“1 q”是“对 任 意 的 N nn n n n nS S S S S2 3 2，构 成 等 比 数 列”的）A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 条 件 也 不 必 要 条 件7 已 知 实 数a，b 满 足2e e

5、aa，3el nebb=，其 中e是 自 然 对 数 的 底 数，则 a b 的 值 为）A 2e B 3e C 32 e D 4e8 在 三 棱 锥 P A B C 中，1 P A P B P C，2 A B B C C A，圆 柱 体1O O 在 三棱 锥 P A B C 内 部（包 含 边 界），且 该 圆 柱 体1O O 的 底 面 圆 O 在 平 面 P B C 内，则 当 该圆 柱 体1O O 的 体 积 最 大 时，圆 柱 体1O O 的 高 为）A 13B 69C 12D 23二、多 项 选 择 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 在 每 小 题

6、 给 出 的 四 个 选 项 中，有多 项 符 合 题 目 要 求 的 全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分)9 某 校 对 参 加 高 校 综 合 评 价 测 试 的 学 生 进 行 模 拟 训 练，从 中 抽 出 N 名 学 生，其 数 学 成 绩 的频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 已 知 成 绩 在 区 间 9 0，1 0 0 内 的 学 生 人 数 为 2 人 则）A x的 值 为 0.0 1 5，N 的 值 为 4 0B 平 均 分 为 7 2，众 数 为 7 5C 中 位 数 为 7 5D 已 知 该 校 共 1 0

7、 0 0 名 学 生 参 加 模 拟 训 练，则 不 低 于 9 0 分 的 人 数 一 定 为 5 0 人1 0 已 知 函 数2()c o s(0)3f x x 在,2 上单 调，且()f x 的 图 象 关 于 点,03 A()f x 的 最 小 正 周 期 为 4对 称，则（）B 2 1 0()()9 9f f C 将()f x 的 图 象 向 右 平 移4 3个 单 位 长 度 后 对 应 的 函 数 为 偶 函 数D 函 数5()4 y f x 在 0,上 有 且 仅 有 一 个 零 点1 1 如 图，由 正 四 棱 锥 P A B C D 和 正 方 体1 1 1 1A B C

8、D A B C D 组 成的 多 面 体 的 所 有 棱 长 均 为 2 则）A/P A 平 面1 1C B DB 平 面 P A C 平 面1 1C B DC P B 与 平 面1 1C B D 所 成 角 的 余 弦 值 为66D 点 P 到 平 面1 1C B D 的 距 离 为2 3 631 2 点 P 是 直 线 3 y 上 的 一 个 动 点，A，B 是 圆2 24 x y 上 的 两 点 则（）A 存 在 P，A，B，使 得9 0 A P B B 若 P A，P B 均 与 圆 O 相 切，则 弦 长 A B 的 最 小 值 为4 53C 若 P A，P B 均 与 圆 O 相

9、切，则 直 线 A B 经 过 一 个 定 点D 若 存 在 A，B，使 得7c o s9A P B，则 P 点 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是 3 3,3 3 第 I I 卷（非选 择题 共 9 0 分）三、填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分)1 3 已 知*n N，312nxx 的 展 开 式 中 存 在 常 数 项，则 n 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _.1 4 某 班 有 4 5 名 同 学，一 次 考 试 后 的 数 学 成 绩 服 从 正 态 分 布2(8 0,5)N，则 理 论 上 在 8 5 分到 9 0 分 的 人 数

10、约 是 _ _ _ _ _ _ _.（按 四 舍 五 入 法 保 留 整 数）附：P(X)0.6 8 2 7；P(2 X 2)0.9 5 4 5；P(3 X 3)0.9 9 7 3 1 5 已 知 曲 线 21:C f x x 与 曲 线 12:e)0(xC g x a a 有 且 只 有 一 条 公 切 线，则a _ _ _ _ _.1 6 设 0 1 a b，3()()()f x x a x b，()()()kf x f kg xx k 若 对 任 意 的 Z k，()kg x 均 为(,)k 上 的 增 函 数，则ba的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _.1 7.（本 小 题 满

11、分 1 0 分）已 知a、b、c分 别 为 A B C 的 三 个 内 角 A、B、C 的 对 边 长，2 a，且(2)(s i n s i n)(s i n s i n)b A B c B C（1）求 角 A 的 值；（2）求 A B C 面 积 的 取 值 范 围 1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）设nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和，已 知11 a，且 满 足 2(1)n nS a n（1）求 数 列 na 的 通 项 公 式；（2）设nT 为 数 列 nb的 前n项 和，当 2 n 时，1 11nn n nba a a 若 对 于 任 意N n，有 1nT，求1b 的

12、取 值 范 围 四、解 答 题(本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤)甲，乙，丙 三 个 厂 家 生 产 的 手 机 充 电 器 在 某 地 市 场 上 的 占 有 率 分 别 为 2 5%，3 5%，4 0%，其 充 电 器 的 合 格 率 分 别 为 7 0%，7 5%，8 0%（1）当 地 工 商 质 检 部 门 随 机 抽 取 3 个 手 机 充 电 器，其 中 由 甲 厂 生 产 的 手 机 充 电 器 数 目 记为 X，求 X 的 概 率 分 布 列，期 望 和 方 差；（2）现 从 三 个 厂 家

13、生 产 的 手 机 充 电 器 中 随 机 抽 取 1 个，发 现 它 是 不 合 格 品，求 它 是 由 甲厂 生 产 的 概 率 1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）22b已 知 椭 圆C12x y:a2（2）以 点 P 为 切 点 作 椭 圆 C2的 切 线 l，l 与 椭 圆 C1交 于 C，D 两 点，问：四 边 形（1）求 椭 圆 C1P 4直 线 O P 与 椭 圆 C1交 于 A，B 两 点，且O y2 1 点P为 椭 圆 C2x2 1(a b 0)，椭 圆C2:上 的 动 点，A O 2 的 标 准 方 程；A C B D的 面

14、 积 是 否 为 定 值？若 是，求 出 该 定 值；若 不 是，求 出 面 积 的 取 值 范 围 2 2.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数21 3()l n(1)(0)2 2f x a x x a x a（1）求 函 数()f x 的 单 调 区 间；（2）当 1 a 时，若1 2()()0,f x f x 求 证：1 22 x x；（21()ninii 1 3）求 证：对 于 任 意 n N都 有 2 l n(n 1)高三 数学 第 页（共 4 页）1南 京师 大附 中 2023 届 高三 年级 模 拟考 试2 0 2 3.学参考 数 5注 意 事 项(总分 150 分，

15、考试 时间 120 分钟)：1 本 试 卷 考 试 时 间 为 1 2 0 分 钟，试 卷 满 分 1 5 0 分，考 试 形 式 闭 卷 2 本 试 卷 中 所 有 试 题 必 须 作 答 在 答 题 卡 上 规 定 的 位 置，否 则 不 给 分 3 答 题 前，务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 填 写 在 试 卷 及 答题 卡 上 第 I 卷（选择题 共 6 0 分）一、单 项 选 择 题(本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合

16、题 目 要 求 的)1 已 知 全 集 N 6,1,3,5UU A B x x A B，则 B 中 元 素 个 数 为（B）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个2 已 知 复 数 3 i z，则23 z z（C）A 5 B 2 5 C 10 D 2 1 03 将 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 投 掷 两 次，则 第 一 次 掷 得 的 点 数 能 被 第 二 次 掷 得 的 点 数 整 除 的 概率 为（A）A 71 8B 51 2C29 D 134 已 知 A B C 的 边 B C 的 中 点 为 D，点 E 在 A B C 所 在 平 面 内，且 3 2 C D C E

17、C A，若A C x A B y B E，则x y（D）A 5 B 7 C 9 D 1 15 圆 锥 曲 线 具 有 光 学 性 质，如 双 曲 线 的 光 学 性 质 是：从 双 曲 线 的 一 个 焦点 发 出 的 光 线，经 过 双 曲 线 反 射 后，反 射 光 线 是 发 散 的，其 反 向 延 长线 会 经 过 双 曲 线 的 另 一 个 焦 点 如 图，一 镜 面 的 轴 截 面 图 是 一 条 双 曲线 的 部 分，A P 是 它 的 一 条 对 称 轴，F 是 它 的 一 个 焦 点，一 光 线 从 焦点 F 发 出，射 到 镜 面 上 点 B，反 射 光 线 是 B C，若

18、 1 2 0 P F B，9 0 F B C=，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于（C）A 2B 5 C 3 1 D 5 126 等 比 数 列 na 的 公 比 为q，前n项 和 为nS，则“1 q”是“对 任 意 的 N nn n n n nS S S S S2 3 2，构 成 等 比 数 列”的（C）A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 条 件 也 不 必 要 条 件7 已 知 实 数a，b 满 足2e eaa，3el nebb=，其 中e是 自 然 对 数 的 底 数，则 a b 的 值 为（B）A 2e B 3e

19、 C 32e D 4e8 在 三 棱 锥 P A B C 中，1 P A P B P C，2 A B B C C A，圆 柱 体1O O 在 三棱 锥 P A B C 内 部（包 含 边 界），且 该 圆 柱 体1O O 的 底 面 圆 O 在 平 面 P B C 内，则 当 该圆 柱 体1O O 的 体 积 最 大 时，圆 柱 体1O O 的 高 为（A）A 13B 69C 12D 23二、多 项 选 择 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有多 项 符 合 题 目 要 求 的 全 部 选 对 的 得 5 分，部

20、 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分)9 某 校 对 参 加 高 校 综 合 评 价 测 试 的 学 生 进 行 模 拟 训 练，从 中 抽 出 N 名 学 生，其 数 学 成 绩 的高三 数学 第 页（共 4 页）2频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 已 知 成 绩 在 区 间 9 0，1 0 0 内 的 学 生 人 数 为 2 人 则（A B）A x的 值 为 0.0 1 5，N 的 值 为 4 0B 平 均 分 为 7 2，众 数 为 7 5C 中 位 数 为 7 5D 已 知 该 校 共 1 0 0 0 名 学 生 参 加 模 拟 训 练，则 不 低 于 9

21、 0 分 的 人 数 一 定 为 5 0 人1 0 已 知 函 数2()c o s(0)3f x x 在,2 上单 调，且()f x 的 图 象 关 于 点,03 A()f x 的 最 小 正 周 期 为 4对 称，则（A C D B 2 1 0()()9 9f f C 将()f x 的 图 象 向 右 平 移4 3个 单 位 长 度 后 对 应 的 函 数 为 偶 函 数D 函 数5()4 y f x 在 0,上 有 且 仅 有 一 个 零 点1 1 如 图，由 正 四 棱 锥 P A B C D 和 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 组 成的 多 面 体 的 所 有

22、棱 长 均 为 2 则（B D）A/P A 平 面1 1C B DB 平 面 P A C 平 面1 1C B DC P B 与 平 面1 1C B D 所 成 角 的 余 弦 值 为66D 点 P 到 平 面1 1C B D 的 距 离 为2 3 631 2 点 P 是 直 线 3 y 上 的 一 个 动 点，A，B 是 圆2 24 x y 上 的 两 点 则（B C D）A 存 在 P，A，B，使 得90 A P B B 若 P A，P B 均 与 圆 O 相 切，则 弦 长 A B 的 最 小 值 为4 53C 若 P A，P B 均 与 圆 O 相 切，则 直 线 A B 经 过 一 个

23、 定 点D 若 存 在 A，B，使 得7c o s9A P B，则 P 点 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是 3 3,3 3 第 I I 卷（非选择题 共 9 0 分）三、填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分)1 3 已 知*n N，312nxx 的 展 开 式 中 存 在 常 数 项，则 n 的 最 小 值 为 _ _ _ 4 _ _ _.1 4 某 班 有 4 5 名 同 学，一 次 考 试 后 的 数 学 成 绩 服 从 正 态 分 布2(80,5)N，则 理 论 上 在 8 5 分到 9 0 分 的 人 数 约 是 _ _ _ 6 _ _ _

24、 _.（按 四 舍 五 入 法 保 留 整 数）附：P(X)0.6 8 2 7；P(2 X 2)0.9 5 4 5；P(3 X 3)0.9 9 7 3 1 5 已 知 曲 线 21:C f x x 与 曲 线 12:e)0(xC g x a a 有 且 只 有 一 条 公 切 线，则a _ _ _34/e _ _ _.1 6 设 0 1 a b，3()()()f x x a x b，()()()kf x f kg xx k 若 对 任 意 的 Z k，()kg x 均 为(,)k 上 的 增 函 数，则ba的 取 值 范 围 是 _ _ _(1,3 _ _ _ _.四、解 答 题(本 大 题

25、共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤)高三数学 第 页（共 4 页）31 7.（本 小 题 满 分 1 0 分）已 知a、b、c分 别 为 A B C 的 三 个 内 角 A、B、C 的 对 边 长，2 a，且(2)(s i n s i n)(s i n s i n)b A B c B C（1）求 角 A 的 值；（2）求 A B C 面 积 的 取 值 范 围（1）解：1 1()(s i n s i n)(s i n s i n)2 2b a A B c B C 2 分由 正 弦 定 理 得()()()b a a b c

26、b c，得 到2 2 2b c a bc，所 以2 2 21c os2 2b c aAbc，因 为(0,)A，所 以2 3A 5 分（2）解：由 正 弦 定 理，可 知4 3s i n s i n s i n 3b c aB C A，21 1 4 3 4 3 4 3s i n s i n s i n s i n s i n s i n2 2 3 3 34 3 4 3 2 3s i n s i n s i n s i n c os c os s i n 2 s i n c os s i n3 3 3 3 3 33 2 3 3 1 3 2 3 3s i n 2(1 c os 2)s i n 2 c

27、 os 2 s i n 23 3 2 2 3 3 6 3S bc A B C A B CB B B B B B B BB B B B B+8 分5 30 2 03 6 6 6 3B B S，+，1 0 分1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）设nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和，已 知11 a，且 满 足 2(1)n nS a n（1）求 数 列 na 的 通 项 公 式；（2）设nT 为 数 列 nb的 前n项 和，当 2 n 时，1 11nn n nba a a 若 对 于 任 意N n，有 1nT，求1b 的 取 值 范 围（1）2 1n nS a n，1 12n nS a

28、n(n 2)，所 以 12 1n n na n a n a，11 2n nn a n a n，1 11 21 1n na a ann n 3 分 当 n 2 时，na n；当 n 1 时，也 符 合，所 以na n 5 分（2）1 1 1 11 1 2 1 1nbn n n n n n n，1 11 1 1 1 112 1 2 1 4 2 1nT b bn n n n，13 14 2 1bn n，7 分当134b 时，满 足 13 14 2 1bn n，1 0 分当134b 时，存 在11 134nb，使 得201134nb，则2 20 0 0112 234n n nb，所 以 10 03 1

29、4 2 1bn n，不 满 足 条 件，1 1 分所 以134b 1 2 分1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）高三数学 第 页（共 4 页）4甲，乙，丙 三 个 厂 家 生 产 的 手 机 充 电 器 在 某 地 市 场 上 的 占 有 率 分 别 为 2 5%，3 5%，4 0%，其 充 电 器 的 合 格 率 分 别 为 7 0%，7 5%，8 0%（1）当 地 工 商 质 检 部 门 随 机 抽 取 3 个 手 机 充 电 器，其 中 由 甲 厂 生 产 的 手 机 充 电 器 数 目 记为 X，求 X 的 概 率 分 布 列，期 望 和 方 差；（2）现 从 三 个 厂 家 生

30、 产 的 手 机 充 电 器 中 随 机 抽 取 1 个，发 现 它 是 不 合 格 品，求 它 是 由 甲厂 生 产 的 概 率 解：设“该 手 机 充 电 器 由 甲 厂 生 产”为 事 件 A，“该 手 机 充 电 器 由 乙 厂 生 产”为 事 件 B，“该 手 机 充 电 器 由 丙 厂 生 产”为 事 件 C，“该 手 机 充 电 器 是 合 格 品”为 事 件 D，“该 手 机 充 电器 是 不 合 格 品”为 事 件 E，则()0.2 5,()0.3 5,()0.4,P A P B P C(|)0.7,(|)0.7 5,(|)0.8,P D A P D B P D C(|)0.

31、3,(|)0.2 5,(|)0.2,P E A P E B P E C(1)X 的 取 值 为 0，1，2，332 7(0)(1 0.2 5)6 4P X,1 232 7(1)0.2 5(1 0.2 5)6 4P X C 2 239(2)0.2 5(1 0.2 5)6 4P X C,31(3)0.2 56 4P X 所 以 分 布 列 为X 0 1 2 3P2 76 42 76 496 416 4 4 分且(3,0.2 5)X B,故1 3 1 1 9()3,()3(1)4 4 4 4 1 6E X D X 答：X 的 期 望 是34，方 差 是91 6 6 分(2)()()(|)()(|)(

32、)(|)P E P A P E A P B P E B P C P E C 0.2 5 0.3 0.3 5 0.2 5 0.4 0.2 0.2 4 2 5 9 分()()(|)0.25 0.3 750 30(|)()()0.2425 2425 97P A E P A P E AP A EP E P E 答：它 是 由 甲 厂 生 产 的 概 率 是3 09 7 1 2 分2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图（1），平 面 四 边 形 A B C D 由 正 三 角 形 A B D 和 等 腰 直 角 三 角 形 B C D 组 成，其 中2 B D，90 B D C 现 将 三 角

33、 形 A B D 绕 着 B D 所 在 直 线 翻 折 到 三 角 形 P B D 位 置（如 图（2），且 满 足 平 面 P B D 平 面 P C D（1）证 明：C D 平 面 P B D；（2）若 点 Q 满 足 P Q P D（1(,1)2），当 平 面 B C Q 与 平 面 P C D 夹 角 的 余 弦 值 为3131时，求 的 值 高三数学 第 页（共 4 页）5图（1）图（2）（1）证 明：取 P D 的 中 点 M，连 结 B M，在 正 三 角 形 P B D 中，有 B M P D，又 因 为 平 面 P B D 平 面 P C D，平 面 P B D 平 面 P

34、 C D=P D，B M 平 面 P B D，所 以 B M 平 面 P C D，2 分又 因 为 C D 平 面 P C D，所 以 B M C D，在 等 腰 直 角 三 角 形 B C D 中，有 B D C D，又 因 为 B D B M B，且,B D B M 平 面 P B D，所 以 C D 平 面 P B D 4 分（2）取 B D 的 中 点 O，连 结 P O，在 正 三 角 形 P B D 中，有 P O B D，由（1）可 知 C D 平 面 P B D，又 因 为 P O 平 面 P B D，所 以 P O C D，又 因 为 B D C D D，且,B D C D

35、平 面 B C D，所 以 P O 平 面 B C D 取 B C 的 中 点 N，连 结 N O，因 为 点 O 是 B D 的 中 点，所 以 N O/C D，又 因 为 C D B D，所 以 N O B D，6 分因 为 P O 平 面 B C D，,B D N O 平 面 B C D，所 以 P O B D，P O N O，8 分以 O 为 坐 标 原 点，O B，O N，O P 所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴，z 轴 建 立 空 间 直 角 坐标 系，则(1,0,0)B，(1,0,0)D，(0,0,3)P，(1,2,0)C，因 为 P Q P D，所 以(1,0,3)O

36、 Q O P，所 以(,0,3 3)O Q，设 平 面 B C Q 的 法 向 量 为(,)m x y z，则0(1)(3 3)z 0(3 3,3 3,1)2 2 00Q B mxmx yB C m，设 平 面 P C D 的 法 向 量 为(,)n x y z，则03 z 0(3,0,1)2 00P D nxnyD C n，由 题 意 可 知，2 23 3 1 31c os,312(3 3)(1)m nm nm n，1 0 分整 理 得239 38 8 0(3 2)(13 4)0，所 以2 43 13，又 因 为1(,1)2，所 以23 1 2 分2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）已

37、 知 椭 圆2 21 2 2:1(0)x yC a ba b，椭 圆222:14xC y 点 P 为 椭 圆2C 上 的 动 点，直 线 O P 与 椭 圆1C 交 于 A，B 两 点，且2 O A O P（1）求 椭 圆1C 的 标 准 方 程；（2）以 点 P 为 切 点 作 椭 圆2C 的 切 线 l，l 与 椭 圆1C 交 于 C，D 两 点，问：四 边 形 A C B D的 面 积 是 否 为 定 值？若 是，求 出 该 定 值；若 不 是，求 出 面 积 的 取 值 范 围 高三数学 第 页（共 4 页）6解：（1）设0 0 1 1 2 2(,),(,),(,),P x y A x

38、 y B x y 因 为2 O A O P，所 以1 0 1 02,2 x x y y 因 为 点 P 为 椭 圆2C 上 的 动 点，所 以22 0014xy，从 而212 1()2()14 2xy 即2 21 1116 4x y，故 椭 圆1C 的 标 准 方 程2 2116 4x y；3 分（2）法 一：设3 3 4 4(,),(,)C x y D x y，当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时，设 为 k，则 直 线 l 的 方 程 为0 0()y y k x x 0 022()14y y k x xxy 2 20 04()4 0 x k x x y 0004xky，即00 y，代 入

39、 得 直 线 l 的 方 程 为0 04 4 0 x x y y 5 分联 立0 02 24 4 0116 4x x y yx y 消 去y得2 20 02 4 1 6 0 x x x y 2 22 2 0 03 4 0 0 2 20 0|1|1 4 4(4 16)16 16x xC D x x x yy y 注 意 到2 20 04 4 x y 化 简 得2 20 03(1 6)C D x y 7 分又0 0 0 0(2,2),(2,2)A x y B x y 所 以 点 A 到 直 线 l：0 04 4 0 x x y y 得 距 离 为2 2 2 20 0 0 02 20 0116 16

40、|2 8 4|4 x ydx y x y 8 分所 以 点 B 到 直 线 l：0 04 4 0 x x y y 得 距 离 为22 22 2 2000 020016 1|2 8 4|162 x ydx y x y 9 分故1 21 1|2 2A B C D A C D B C DS S S C D d C D d 13(4 1 2)8 32 1 0 分当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时，即00 y，若(2,0)P，则:2 l x，则(2,3),(2,3),(4,0),(4,0)C D A B,所 以1 21 1|8 32 2A B C D A C D B C DS S S C D d

41、 C D d 同 理 可 得，若(2,0)P，8 3A B C DS 综 上，四 边 形 A C B D 的 面 积 为 定 值8 3 1 2 分法 二：设3 3 4 4(,),(,)C x y D x y，当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 l 的 方 程 为 y k x m 2214y k x mxy 2 2 2 2 24()4 0(1 4)8 4 4 0 x k x m k x k m x m 2 2 2 2 20(8)4(1 4)(4 4)0 4 1 0 k m k m k m，5 分高三数学 第 页（共 4 页）72 211 6 4y k x mx y 2 2 2 2

42、 24()1 6 0(1 4)8 4 1 6 0 x k x m k x k m x m 3 4 223 4 281 44 161 4k mx xkmx xk 2 2 23 4 3 4 3 42 22 2 2 22 2 2|1|1()48 4 16 4 11()4 4 161 4 1 4 1 4C D k x x k x x x xk m m kk k mk k k 注 意 到2 24 1 m k 化 简 得224 3 1|1 4kC Dk，7 分原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 为22 2|1 41 1m kdk k，8 分又 因 为2 O A O P，点 P 是 O A 的 中 点，

43、所 以 点 A 到 直 线 l 的 距 离 等 于 点 O 到 直 线 l 的 距 离，由 对 称 性 可 知，2 O B O A O P，所 以 点 B 到 直 线 l 的 距 离 等 于 点 O 到 直 线 l 的 距 离 的三 倍，故1 1|3 2|8 32 2A B C D A C D B C DS S S C D d C D d C D d 1 0 分当 斜 率 不 存 在 时，同 法 一 1 2 分2 2.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数21 3()l n(1)(0)2 2f x a x x a x a（1）求 函 数()f x 的 单 调 区 间；（2）当 1 a

44、 时，若1 2()()0,f x f x 求 证：1 22 x x；（3）求 证：对 于 任 意 N n 都 有2112 l n(1)()niin ni 解：（1）函 数()f x 的 定 义 域 是(0,).由 已 知 得，2(1)(1)()()1a x a x a x x af x x ax x x.当 0 a 时，当 0 1 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 减，当 1 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增；当 0 1 a 时，当 0 x a 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增，当 1 a x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 减，当 1

45、 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增；当 1 a 时，当 0 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增；当 1 a 时，当 0 1 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增，当 1 x a 时，()0 f x，()f x 单 调 递 减，当x a 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增 综 上，当 0 a 时,函 数()f x 在(0,1)上 单 调 递 减，(1,)上 单 调 递 增；1 分 当 0 1 a 时，函 数()f x 在(0,)a 单 调 递 增(,1)a 上 单 调 递 减，(1,)上 单 调 递 增；2 分 当 1 a 时，函 数(

46、)f x 在(0,)单 调 递 增；3 分 当 1 a 时，函 数()f x 在(0,1)单 调 递 增，(1,)a 上 单 调 递 减，(,)a 上 单 调 递 增 4 分（2）当 1 a 时，21 3()l n 22 2f x x x x 由（1）知，函 数()f x 在(0,)单 调 递 增 且(1)0 f；高三数学 第 页（共 4 页）8令2 21 3 1 3()()(2)l n 2 l n(2)(2)2(2)2 2 2 2g x f x f x x x x x x x 2 2 2l n(2)2 1 l n(1(1)(1)x x x x x x 令2(1)(0,1 x t，从 而 l

47、n(1)1 1 0 t t t t 所 以()()(2)0 g x f x f x 恒 成 立，6 分设1 20 1 x x，1 1()(2)0 f x f x 1 1()(2)f x f x 2 1()(2)f x f x 2 12 x x 1 22 x x 8 分（3）由（2）知：1 x 时21 3()l n 2(1)02 2f x x x x f 即2 22 l n 4 3 2 l n(2)1 0 x x x x x 故22 l n(2)1 x x 在 1 x 时 恒 成 立；1 0 分所 以2 22 22 22 22 2 02 l n(2 2)2 l n()11 1 13 3 3 12 l n(2)2 l n()12 2 2 24 4 4 22 l n(2)2 l n()13 3 3 31 1 1 12 l n(2)2 l n()1n n n nn n n n 相 加 得：2112 l n(1)()niin ni 1 2 分