线性代数课件1-1n阶行列式的定义.ppt

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1、绪论绪论问题描述：问题描述：问题描述：问题描述：Lagrange Lagrange定理定理定理定理：给定：给定：给定：给定n+1n+1个不同点，插值这个不同点，插值这个不同点，插值这个不同点，插值这n+1n+1 当我们手里握着当我们手里握着当我们手里握着当我们手里握着n+1n+1个黄豆，随意抛到地平面上，个黄豆，随意抛到地平面上，个黄豆，随意抛到地平面上，个黄豆，随意抛到地平面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条n n次次次次多项式曲线插值这多项式曲线插值这多

2、项式曲线插值这多项式曲线插值这n+1n+1个点？个点？个点？个点？个不同点的个不同点的个不同点的个不同点的n n次多项式曲线存在且唯一次多项式曲线存在且唯一次多项式曲线存在且唯一次多项式曲线存在且唯一.比如：比如：比如：比如：100100个黄豆，个黄豆，个黄豆，个黄豆，9999次多项式曲线次多项式曲线次多项式曲线次多项式曲线.100100个黄豆：个黄豆：个黄豆：个黄豆：用高斯消元法求解麻烦！用高斯消元法求解麻烦！寻找新工具便于用计算机求解寻找新工具便于用计算机求解4个黄豆模拟个黄豆模拟绪论绪论一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定线性代数的中心内容：线性代

3、数的中心内容：线性方程组求解线性方程组求解解的存在性解的存在性解的结构解的结构由高斯消元法引入两个求解工具由高斯消元法引入两个求解工具行列式行列式矩阵矩阵一个中心方法：一个中心方法：矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换一次方程一次方程第一章第一章 1 行列式的定义行列式的定义本节我们将讨论：本节我们将讨论：方程个数和未知数个数相同方程个数和未知数个数相同，且，且系数满足特定条件系数满足特定条件的线性方程组的求的线性方程组的求解，从而得到行列式这个工具解，从而得到行列式这个工具.本节结构本节结构 二阶行列式的引出二阶行列式的引出 三阶行列式的引出三阶行列式的引出 n阶行列式的引出阶行列式的引出 四类

4、特殊行列式计算四类特殊行列式计算 克拉默（克拉默（Cramer）法则）法则我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律 一、一、二阶行列式的引出二阶行列式的引出用高斯消元法求其解：用高斯消元法求其解：方程组有唯一解方程组有唯一解 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？1、分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.2、分子分母都是两数乘积之差、分子分母都是两数乘积之差.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表的数表数数称为数表（称为数表（4）所）所确确定的定的二阶行列式

5、二阶行列式,记为记为用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差二阶行列式定义二阶行列式定义主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算系数行列式系数行列式于是于是方程组有唯一解方程组有唯一解例例1 1解解解解二、三阶行列式的引出二、三阶行列式的引出进行高斯消元可以得到：进行高斯消元可以得到：其中其中三阶行列式定义三阶行列式定义记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式.三阶行列式的计算三阶行列式的计算例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解由

6、于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式故方程组的解为故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的性方程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算例例3解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得又又得得故所求多项式为故所求多项式为三、三、n 阶行列式的引出阶行列式的引出由二元方程组（两个变量、两个方程）由二元方程组（两个变量、两个方程）求解得二阶行列式求解得二阶行列式由三元方程组（三个变量、三个方程）由三元方程组（三个变量、三个方程）求解得三阶行列式求解得三阶行列式由由n 元方程组（元方程

7、组（n 个变量、个变量、n 个方程）个方程）求解得求解得n 阶行列式阶行列式大胆猜测大胆猜测当当时时,是用是用替换替换 而得而得.中中的第的第i列列但是但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则四阶及以上阶行列式没有对角线法则-正确求解线性方程组的解正确求解线性方程组的解说明说明:观察二阶与三阶行列式的计算观察二阶与三阶行列式的计算n阶行列式的计算原则阶行列式的计算原则共同特性之一是对角线法则；共同特性之一是对角线法则；并试图推广到并试图推广到n阶行列式，阶行列式，且能正确求解方程组且能正确求解方程组.于是寻找二阶和三阶行列式计算的于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性其它共性,预备知识预备知识-全

8、排列及其逆序数全排列及其逆序数元素的元素的全排列全排列把把n个不同的元素排成一列，个不同的元素排成一列，叫做这叫做这n个个标准次序：由小到大的次序标准次序：由小到大的次序时，时，就说有一个就说有一个逆序逆序。当某两个元素的先后次序与当某两个元素的先后次序与标准次序不同标准次序不同一个排列中的所有逆序的总数一个排列中的所有逆序的总数叫做这个叫做这个排列的逆序数排列的逆序数.例如排列例如排列 54231 t=95前面比前面比5大的数有大的数有0个；个；4前面比前面比4大的数有大的数有1个；个；2前面比前面比2大的数有大的数有2个；个；3前面比前面比3大的数有大的数有2个；个；1前面比前面比1大的数

9、有大的数有4个个.t=0+1+2+2+4=95 4 2 3 1自然排列自然排列若一个排列中的所有元素若一个排列中的所有元素按标准次序按标准次序排列，则称之为排列，则称之为标准排列标准排列或或自然排列自然排列.逆序数为奇数的排列叫做逆序数为奇数的排列叫做奇排列奇排列；逆序数为偶数的排列叫做逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列.观察二阶行列式观察二阶行列式 不同行不同列不同行不同列2个元素的乘积；个元素的乘积；1项为正项为正,1项为负；项为负；2！项的代数和；！项的代数和；观察二阶行列式观察二阶行列式当行标调成标准排列时当行标调成标准排列时列标排列列标排列逆序数逆序数t1 22 10+-1观察三阶行

10、列式观察三阶行列式3!项代数和项代数和不同行不同列不同行不同列三个元素的乘积三个元素的乘积三项为正三项为正,三三项为负项为负.观察三阶行列式观察三阶行列式当行标调成标准排列时当行标调成标准排列时列标排列列标排列逆序数逆序数t1230+2312+3122+3213-2131-1321-n 阶行列式定义阶行列式定义将将n2个数排成个数排成n行行n列的数表，列的数表，按下列规按下列规称为称为n阶行列式阶行列式,其中其中t为列标排列的逆序数。为列标排列的逆序数。则计算出的数，即则计算出的数，即n 阶行列式定义的三个要点阶行列式定义的三个要点（1）是）是n!项的代数和；项的代数和；如果一个行列式有一行（

11、或一列）的元素如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。全为零，则此行列式的值必为零。（2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；（3）每一项是取自不同行不同列的）每一项是取自不同行不同列的n个元素的个元素的乘积（这样的项恰有乘积（这样的项恰有n!项）项）.由行列式的定义不难看出：由行列式的定义不难看出：四、思考与讨论四、思考与讨论=-24or 24?五、四类特殊行列式计算五、四类特殊行列式计算1）主对角行列式）主对角行列式2）副对角行列式）副对角行列式的逆序数为的逆序数为3）下三角行列式）下三角行列式4）上三角行列式）上三角行列式n 阶

12、行列式也可以定义为：阶行列式也可以定义为：行行行行标标标标逆逆逆逆序序序序六、关于克拉默（六、关于克拉默（Cramer）法则）法则非齐次线性方程组非齐次线性方程组（），（），定理定理 非齐次线性方程组（），当非齐次线性方程组（），当,有唯一解有唯一解 非齐次线性方程组非齐次线性方程组定理定理 非齐次线性方程组（）非齐次线性方程组（）,（），（），可能无解，可能有无穷多解可能无解，可能有无穷多解时时有无穷多解有无穷多解无解无解齐次线性方程组齐次线性方程组（）（）定理定理 齐次线性方程组（），齐次线性方程组（），定理定理 齐次线性方程组（），齐次线性方程组（），时有非零解时有非零解时只有零解时只有零解思考题：思考题：当当取何值时取何值时有唯一解？有唯一解？有唯一解有唯一解解解练习：判断下面各方程组解的存在情况练习：判断下面各方程组解的存在情况小结小结 二阶行列式二阶行列式 三阶行列式三阶行列式 n阶行列式阶行列式 四类特殊行列式计算四类特殊行列式计算 克拉默（克拉默（Cramer）法则）法则