线性代数课件03.向量空间.ppt

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1、第三章第三章向量空间向量空间Rn3.5 欧氏空间欧氏空间Rn3.3 向量组的秩向量组的秩3.2 一个一个n元向量组的线性相关性元向量组的线性相关性3.1 向量及其线性组合向量及其线性组合3.4 向量空间向量空间13.1 向量及其线性组合向量及其线性组合三维空间的向量三维空间的向量:有向线段。有向线段。建立标准直角坐标系后，建立标准直角坐标系后，它由一点它由一点 P 或一个三元数组或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。唯一确定。我们还定义了向量的我们还定义了向量的加法加法(即平行四边形法则即平行四边形法则)和向量的和向量的数数乘乘两种运算。两种运算。2建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数建立

2、坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标坐标)的运算的运算.由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广向量进行推广(把几何向量代数化把几何向量代数化)。直接把。直接把 n 元的数组叫做元的数组叫做(代数中的代数中的)向量向量向量向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。量坐标的运算。3定义定义定义定义n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个 n n 维行向量维行向量维行向量维行向量或或 n n 维列向量维列向量维列向量维列向量,其中其中 称为该行称为该

3、行(列列)向量的第向量的第 i 个个分量分量分量分量.行向量与列向量统称为行向量与列向量统称为向量向量向量向量.分量全是实数分量全是实数(复数复数)的向量称为实的向量称为实(复复)向量向量,n 维实维实(复复)向量的全体记为向量的全体记为 .以后如无特殊说明以后如无特殊说明,向量均指实向量均指实向量向量.约定约定约定约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量而行向量用列向量的转置表示用列向量的转置表示.向量的向量的加法加法加法加法运算和运算和数乘数乘数乘数乘运算同矩阵的这两种运算一样运算同矩阵的这两种运算一样.或或4 由若干个同维数的列由若干个同维数的

4、列(行行)向量组成的集合称为一个向量组成的集合称为一个向量组向量组向量组向量组.如无特殊说明如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组向量组总是指含有限个向量的向量组.例如例如例如例如:mn 的矩阵的矩阵 A 全体列向量是含全体列向量是含 n 个个 m 维列向量的向量维列向量的向量组组,简称简称 A A 的列组的列组的列组的列组;全体行向量是含全体行向量是含 m 个个 n 维的行向量组维的行向量组,简称简称 A A 的行组的行组的行组的行组.再如再如再如再如:解的全体是一个含无穷多个解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组维列向量的向量组.定义定义定义定义5观察观察观察观察如图三维空

5、间中的向量如图三维空间中的向量,必有必有不可能不可能再观察再观察再观察再观察下面方程组增广矩阵的行组下面方程组增广矩阵的行组有如下关系有如下关系这说明第这说明第(4)和第和第(5)个方程都是多余的个方程都是多余的,可以去掉可以去掉.6 向向量量是是矩矩阵阵的的特特例例，向向量量的的相相等等、加加、减减、数数乘乘运算对应于矩阵的相应运算。运算对应于矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算。在在Rn中的向量满足以下中的向量满足以下8 8条规律：条规律：其中其中 a a、b b、g g 都是都是n维向量维向量，k、l为实数为实数。向量的线性

6、运算向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算7解解，求，求使使 例例18对于向量组对于向量组 ,表达式表达式则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示线性表示线性表示.通常写成通常写成称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合线性组合线性组合.又如果又如果 是向量组是向量组 A 的一个线的一个线性组合性组合,即存在数即存在数 使使向量的线性表示向量的线性表示向量的线性表示向量的线性表示91零向量可由任一组向量线性表示。零向量可由任一组向量线性表示。中每个向量都可由向量组本身中每个向量都可由向量组本身2向量组向量组线性表示，线性表示，注意注意3任一任一n元向量元向

7、量都可由都可由n元单位向量组元单位向量组线性表示，即线性表示，即10 n元线性方程组元线性方程组 可以用向量形式表示为可以用向量形式表示为a11x1a21x1 am1x1a12x2a22x2 am2x2 a1nxna2nxn amnxnb1b2 bm=+(1)其中其中对应齐次方程组对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为可用向量形式表示为 ,，线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示11向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示存在数存在数 使使即即有解有解学会这种转换就可以了学会这种转换就可以了学会这种转换就可以了学会这种转换就可以了!注意注意:符号混用符号混用另外另外,如果解唯一如果解

8、唯一,则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的.如果如果(按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵的秩用矩阵的秩)方程组方程组定理定理定理定理3.1.13.1.112例例2解解记记 不能由不能由 A 线性表示线性表示;能由能由 A 唯一表示唯一表示;能由能由 A 有有无穷多种表示无穷多种表示,并求所有表示方法并求所有表示方法.设向量组设向量组 A:问问 为何值时为何值时,向量向量只需讨论只需讨论解的情况解的情况.具体解方程组过程略。具体解方程组过程略。时时,方程组无解方程组无解,不能由不能由 A 表示表示.时时,方程组有唯一解方程组有唯一解,可由可由 A 唯一表示唯一表示.13时时,方程

9、组有无穷多解方程组有无穷多解,可由可由 A 无穷多种表无穷多种表示示.通解为通解为所有表示方法所有表示方法:其中其中 k 为任意实数为任意实数.即即14第三章第三章3.5 欧氏空间欧氏空间3.3 向量组的秩向量组的秩3.2 一个一个n元向量组的线性相关性元向量组的线性相关性3.1 向量及其线性组合向量及其线性组合3.4 向量空间向量空间向量空间向量空间Rn153.2 一个一个n元向量组的线性相关性元向量组的线性相关性看看三维空间中的向量看看三维空间中的向量(如图如图)设设 可表为可表为,说明说明这三个向量任何一个都不能由其它两个这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示向量线性表示,说明它

10、们是异面的说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内这三个向量在一个平面内(共面共面).16 我们把上面这种向量之间的最基本我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广的关系予以推广,并换一种叫法并换一种叫法.定义定义定义定义向量可由其余的向量线性表示向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关线性相关线性相关;否则否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示如果任一向量都不能由其余向量线性表示,则称则称该向量组该向量组线性无关线性无关线性无关线性无关(或独立或独立).设向量组设向量组,如果其中一个如果其中一个定理定理定理定理3.2.13.2.1线性相关与线性相关与线性表示

11、之线性表示之间的关系间的关系(证明略证明略)17当当m2时，向量组时，向量组线性无关线性无关 向量组向量组 中任一个向量都不能用其余中任一个向量都不能用其余m-1个向量线性表示。个向量线性表示。定理定理定理定理3.2.13.2.1逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题等价定义等价定义等价定义等价定义 如果存在如果存在不全为零不全为零不全为零不全为零的数的数使得使得则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关线性相关线性相关.否则否则,如果设如果设便能推出便能推出则称该向量组则称该向量组线性无关线性无关线性无关线性无关.如何用数学式子表达如何用数学式子表达如何用数学式子表达如何用数学式子表达,以便理论推导

12、向量组的相关性以便理论推导向量组的相关性以便理论推导向量组的相关性以便理论推导向量组的相关性?定义定义118存在不全为零的数存在不全为零的数 使使即即有非零解有非零解.还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)齐次齐次方程组方程组(用矩阵的秩用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理定理定理定理3.2.33.2

13、.3证明向量组线性相关性的基本方法证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）（向量方程）19问向量组问向量组和和的线性相关性的线性相关性?线性相关线性相关.线性无关线性无关.例例120例例2设向量设向量 可由线性无关的向量组可由线性无关的向量组线性表示线性表示,证明表法是唯一的证明表法是唯一的.证证证证 设有两种表示方法设有两种表示方法设有两种表示方法设有两种表示方法由由 线性无关线性无关21 证明向量组证明向量组 线性无关线性无关.证证利用条件设法推出利用条件设法推出即可即可.设设(1)(1)式左乘式左乘得得(1)式成式成为为(2)(2)式左乘式左乘同理推出同理推出例例322(参见参见P.9

14、9101)(1)“部分相关部分相关,则整体相关则整体相关.等价地等价地”观察知观察知 相关相关,从而从而 相关相关.设设相关相关,要证要证相关相关.使用方便的一些推论使用方便的一些推论书书P.98例例223(2)“个数大于维数必相关个数大于维数必相关”A 的列组是的列组是 4 个个 3 维向量维向量,必相关必相关.设设要证要证 A 的列组线性相关的列组线性相关.P.101推论推论1如：如：24(3)无关无关,相关相关则则 可由可由 A 唯一表示唯一表示.这由这由有唯一解有唯一解.为以后引用方便为以后引用方便,给它起个名子叫给它起个名子叫唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理.P.99

15、 定理定理25写成矩阵乘积写成矩阵乘积:从而从而(4)向量向量 组组 B 可由向量组可由向量组 A 表示表示,则则(后者的后者的 A,B是矩阵是矩阵)存在矩阵存在矩阵 C 使得使得 B=AC为以后引用方便为以后引用方便,给它起个名子叫给它起个名子叫表示不等式表示不等式表示不等式表示不等式.也体现在也体现在P.108 性质性质326(5)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关（则必相关（SteinitzSteinitz定理定理定理定理）.则则必相关必相关如果如果可由可由表示表示,又又 mn,由表示不等式由表示不等式从而从而 B 必相关必

16、相关.P.107 引理引理1 27(6)“短的无关短的无关,则长的也无关则长的也无关.等价地等价地”是无关的是无关的.也是无关的也是无关的.P.101推论推论3再如：再如：28(7)含有含有n个向量的个向量的n元向量组线性相关（无元向量组线性相关（无关）关）P.101推论推论2由它构成的由它构成的n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性相关?解解解解记记当当 t=5 时时,上面上面向量组线性相关向量组线性相关.例例429A,B 为非零矩阵且为非零矩阵且 AB=O,则则(A)A 的的列列组线性相关组线性相关,B 的的行行组线性相关组线性相关(B)A 的

17、的列列组线性相关组线性相关,B 的的列列组线性相关组线性相关(C)A 的的行行组线性相关组线性相关,B 的的行行组线性相关组线性相关(D)A 的的行行组线性相关组线性相关,B 的的列列组线性相关组线性相关 设设 说明说明 Ax=0 或或 AX=O 有非零解有非零解,故故r(A)0,r(B)0,得得 r(A)n 和和 r(B)n,从而从而 A 的列组线性相关的列组线性相关,B 的行组线性相关的行组线性相关.例例5解解30设设 线性无关线性无关,问问 满足什么条件满足什么条件,线性相关线性相关.向量组向量组:分析分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘

18、法的关系。就是矩阵乘法的关系。P.104则则例例631设设(要讨论上面方程组何时有非零解要讨论上面方程组何时有非零解)(由由 )32线性相关线性相关33另证另证另证另证:由于由于 是列满秩矩阵是列满秩矩阵,故故线性相关线性相关上面秩上面秩 3殊途同归殊途同归殊途同归殊途同归34例例7重要结论重要结论重要结论重要结论设向量组设向量组 能由向量组能由向量组线性表示为线性表示为且且A组线性无关。证明组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是组线性无关的充要条件是证法一证法一证法一证法一(适用于一般的线性空间适用于一般的线性空间)设设35上面方程组只有零解上面方程组只有零解即即由由 线性无关线性无关,上

19、式成立的充要条件是上式成立的充要条件是36证法二证法二证法二证法二由由 线性无关线性无关与上例一样与上例一样与上例一样与上例一样37证明：证明：例例838第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.5 欧氏空间欧氏空间3.3 向量组的秩向量组的秩3.2 一个一个n元向量组的线性相关性元向量组的线性相关性3.1 向量及其线性组合向量及其线性组合3.4 向量空间向量空间393.3 向量组的秩向量组的秩 对于给定的向量组对于给定的向量组(可以含无穷多向量可以含无穷多向量),如如何把握向量之间的线性关系何把握向量之间的线性关系?(即哪些向量可由即哪些向量可由另外一些向量线性表示另外一些向量线性

20、表示)，它们的本质不变量是，它们的本质不变量是什么？什么？希望希望希望希望:在一个向量组中能找到个数最少的一在一个向量组中能找到个数最少的一些向量些向量,而其余的向量都可由这些向量线性表示而其余的向量都可由这些向量线性表示.由由P.102 例例7，我们来研究向量组之间的关系，我们来研究向量组之间的关系40 如果向量组如果向量组 中的每个向量都可由向量组中的每个向量都可由向量组 线性表示线性表示,则称则称向量组向量组向量组向量组 B B可由向量组可由向量组可由向量组可由向量组 A A 线性线性线性线性表示。表示。表示。表示。有解有解(改写为矩阵改写为矩阵)(转换为矩阵方程转换为矩阵方程)(用矩阵

21、的秩用矩阵的秩)一个向量组表示另一向量一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系组就是矩阵乘法的关系!设设B由由A表示如下：表示如下：定义定义定义定义1 1向量组的等价向量组的等价41 如果向量组如果向量组 与向量组与向量组 可以相互表示可以相互表示,则称这两个则称这两个向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价.向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价等价向量组的向量组的等价关系等价关系是不是是不是等价关系等价关系?矩阵的等价与矩阵的行、列向量组等价有何关系？矩阵的等价与矩阵的行、列向量组等价有何关系？(用矩阵的秩用矩阵的秩)定理定理定理定理3.3.13.3.1设矩阵设矩阵A经过有限次初等

22、行（列）经过有限次初等行（列）变换为变换为B，则，则A，B的行（列）向量组等价。的行（列）向量组等价。42证明：证明：注：注：43在在 中中,能表示所有的能表示所有的3维向量维向量而且个数是最少的而且个数是最少的.因为因为,如果有如果有 也能表示所有的向量也能表示所有的向量,那么那么 也能表示也能表示,这与这与 线性无关矛盾线性无关矛盾(Steinitz).这样这样 就可以作为就可以作为 的坐标系的坐标系.极大无关组，向量组的秩极大无关组，向量组的秩44 假设向量组假设向量组 A 的部分组的部分组 A0 是所找的是所找的,即即A0是是A中所含向中所含向量个数最少的又能表示量个数最少的又能表示A

23、中所有向量的向量组中所有向量的向量组.首先首先首先首先 A0 要是线性无关的要是线性无关的.否则否则,A0中至少有一个向量可中至少有一个向量可由其余的向量表示由其余的向量表示,说明说明 A0 中向量个数不是最少的中向量个数不是最少的;其次其次其次其次 A0 中无关向量个数还要是最多的中无关向量个数还要是最多的.否则否则,如果还有如果还有无关的部分组无关的部分组B0 所含向量个数比所含向量个数比 A0 多多,那么因那么因B0可由可由A0 表表示示,B0 必相关必相关,这就矛盾了这就矛盾了.我们把我们把A中满足上面两个条件的向量组叫做中满足上面两个条件的向量组叫做A的一个的一个最大最大最大最大无关

24、组无关组无关组无关组，容易证明，容易证明(稍后稍后)最大无关组一定可以表示最大无关组一定可以表示A中所有中所有向量且表法是唯一的。向量且表法是唯一的。45(1)线性无关线性无关,(2)A 中任意中任意 r+1 个向量个向量(如果有的话如果有的话)都线性相关都线性相关.定义定义定义定义2 2如果在向量组如果在向量组 A 中找到中找到 r 个向量个向量 满足满足则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组最大无关组最大无关组.(2)A 中任一向量都可由中任一向量都可由 A0 表示表示.定义定义定义定义(1)线性无关线性无关,如果在向量组如果在向量组 A 中找到

25、中找到 r 个向量个向量 满足满足则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组最大无关组最大无关组.P.106P.10746 向量组向量组 A 的最大无关组所含向量的个数的最大无关组所含向量的个数 r(显显然是唯一的然是唯一的)称为称为向量组向量组向量组向量组 A A 的秩的秩的秩的秩.仍记为仍记为 r(A).只含只含零向量的向量组无最大无关组零向量的向量组无最大无关组,规定其秩为规定其秩为0.定义定义定义定义3 347例例1求向量组求向量组的一个最大无关组和该向量组的秩的一个最大无关组和该向量组的秩.同理同理,等也是最大无关等也是最大无关组组.易求得易求

26、得说明说明 A 中有一个中有一个 2 阶子式不为零阶子式不为零.如取前两列前两行如取前两列前两行:那么那么 ,从而从而 线性无关线性无关.再看再看 A 的任意三列的任意三列 ,因为因为所以任意三列都是线性相关的所以任意三列都是线性相关的.根据定义根据定义 就是一个最就是一个最大无关组大无关组 48阅读极大无关组秩的基本性质阅读极大无关组秩的基本性质阅读极大无关组秩的基本性质阅读极大无关组秩的基本性质P.107-108，回答，回答，回答，回答(以下向量组可无限以下向量组可无限)(1)最大无关组所含向量个数不会超过多少？最大无关组一最大无关组所含向量个数不会超过多少？最大无关组一定存在吗？定存在吗

27、？(2)最大无关组唯一吗最大无关组唯一吗?它含向量个数唯一吗？它含向量个数唯一吗？(3)如果向量组的秩为如果向量组的秩为 r,则其任一则其任一 r 个线性无关的向量都是个线性无关的向量都是其最大无关组吗其最大无关组吗?(4)向量组与其任一最大无关组等价吗向量组与其任一最大无关组等价吗?(5)向量组的任意两个最大无关组等价吗向量组的任意两个最大无关组等价吗?(6)等价向量组的秩相等吗等价向量组的秩相等吗?(7)相互等价的向量组中所含向量个数最少的是哪个向量组相互等价的向量组中所含向量个数最少的是哪个向量组？49极大无关组的求法极大无关组的求法例例2求向量组求向量组的一个最大无关组并把其余向量用该

28、最大无关组表出的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.接例接例1,已求得一个最大无关组为已求得一个最大无关组为要求要求 用用 表出表出,这相当于要解方程组这相当于要解方程组解解50你能将求最大无关组和把其余向量你能将求最大无关组和把其余向量你能将求最大无关组和把其余向量你能将求最大无关组和把其余向量用该最大无关组表出一步完成吗用该最大无关组表出一步完成吗用该最大无关组表出一步完成吗用该最大无关组表出一步完成吗?类似类似 可求可求 用用 表出表出.解解51例例3求向量求向量一个最大无关组一个最大无关组,并把其余并把其余向量用该最大无关组表出向量用该最大无关组表出.矩阵的秩矩阵的秩=?线性

29、无关吗线性无关吗?是最大无关组吗是最大无关组吗?阅读书阅读书P.例例35253是右边的最大无关组是右边的最大无关组是左边的最大无关组是左边的最大无关组总结总结总结总结矩阵的矩阵的行行初等变换不改变矩阵的初等变换不改变矩阵的列向量组列向量组的线性关系。的线性关系。引理引理254定理定理定理定理3.3.23.3.2 注注注注:以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组的秩与矩阵秩的

30、关系向量组的秩与矩阵秩的关系三秩相等定理三秩相等定理55例例4P.110 例例4注：注：56第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.5 欧氏空间欧氏空间3.3 向量组的秩向量组的秩3.2 一个一个n元向量组的线性相关性元向量组的线性相关性3.1 向量及其线性组合向量及其线性组合3.4 向量空间向量空间573.4 向量空间向量空间集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及数对于加法及数乘乘两种运算封闭，那么就称两种运算封闭，那么就称集合集合 为为向量空间向量空间向量

31、空间向量空间定义定义定义定义 维向量的全体是一个向量空间维向量的全体是一个向量空间,记作记作只含零向量的集合是一个向量空间只含零向量的集合是一个向量空间(称为零空间称为零空间)向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量58证明下列集合是向量空间证明下列集合是向量空间证证例例1所以所以 构成了向量空间构成了向量空间.59证证例例2证明齐次方程组的解集证明齐次方程组的解集是一个向量空间是一个向量空间.以后称为齐次方程组的以后称为齐次方程组的解空间解空间解空间解空间.60例例3证明非齐次方程组的解集证明非齐次方程组的解集不是向量空间不是向量空间.证证设设 ,而而

32、 S 对加法运算不封闭对加法运算不封闭.或或S 对数乘运算不封闭对数乘运算不封闭.61是向量空间是向量空间.例例4证证62定义定义定义定义设设 是一向量组是一向量组,称称为由该向量组为由该向量组生成的生成的生成的生成的(或张成的或张成的或张成的或张成的)向量空间向量空间向量空间向量空间.记为记为63例例5设向量组设向量组 与向量组与向量组 等价等价,证明证明同理同理证证64 向量空间向量空间 V 的一个最大无关组的一个最大无关组,又称又称 V 的一的一个个基基基基(或坐标系或坐标系).基所含向量的个数基所含向量的个数 r 又称为又称为 V 的的维数维数维数维数.记为记为 dim(V)=r.此时

33、称此时称 V 是是 r r 维的向量空间维的向量空间维的向量空间维的向量空间.设有向量空间设有向量空间 及及 ，若，若 ，就称，就称 是是的的子空间子空间子空间子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，则维向量所组成的向量空间，则定义定义定义定义定义定义定义定义65 设向量空间设向量空间 V 的一个基为的一个基为 ,则则对对 V 中的任一向量中的任一向量 可唯一地表示为可唯一地表示为定义定义定义定义数组数组 或向量或向量 称为称为向量向量 在基在基 下的下的坐标坐标坐标坐标.的一个基显然就是向量组的一个基显然就是向量组 的一个最的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。大无关组，其维数就是

34、该向量组的秩。66例例6证明证明都是都是 V 的基的基.dim(V )=?,并求向量并求向量在这两个基下的坐标在这两个基下的坐标.证证显然线性无关显然线性无关,又又 V 中的任一向量中的任一向量所以所以 是是 V 的一个基的一个基.dim(V )=2.V 中任意两个线性无关的向量都是中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基的一个基,也是也是 V 的一个基的一个基所以所以67所以所以 在基在基 下的坐标为下的坐标为(3,5)为求为求 在基在基 下的坐标下的坐标,需解方程组需解方程组 求得坐标为求得坐标为(1,2).68第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.5 欧氏空间欧氏空间3.

35、3 向量组的秩向量组的秩3.2 一个一个n元向量组的线性相关性元向量组的线性相关性3.1 向量及其线性组合向量及其线性组合3.4 向量空间向量空间69 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线但是只定义了线性运算性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三它们构成了三维空间丰富的内容维空间丰富的内容.3.5 欧氏空间欧氏空间我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中.在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积数量积)建立标准的

36、直角坐标系后建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积设设则则70内积内积内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质定义定义定义定义令令71性质性质性质性质著名的著名的Cauchy-Schwarz不等式不等式即即这由这由的判别式的判别式 易知易知.72长度长度长度长度范数范数范数范数二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质定义定义定义定义性质性质性质性质(三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证不等式易证)73单位向量单位向量夹角夹角.三、单位向量和三、单位

37、向量和三、单位向量和三、单位向量和 n n 维向量间的夹角维向量间的夹角维向量间的夹角维向量间的夹角正交正交74四、正交向量组四、正交向量组四、正交向量组四、正交向量组 若一个不含零向量的向量组若一个不含零向量的向量组 中的向中的向量两两正交量两两正交:,则称该向量组为则称该向量组为正正交向量组交向量组.又如果这些向量都是单位向量又如果这些向量都是单位向量:,则称该向量组为则称该向量组为规范正交向量组规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基的基,又分别称又分别称为向量空间为向量空间 V 的的正交基正交基和和规范正交基规范正交基.75例如例如例如例如:是向量空间

38、是向量空间R3的一个规范正交基的一个规范正交基(通常称为自然基通常称为自然基).再如再如再如再如:是下面向量空间是下面向量空间V的一个规范正交基的一个规范正交基.76性质性质性质性质(P114 定理定理1)证证证证设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.77五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程 设设 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基(坐标系坐标系),如何在向量空间如何在向量空间 V 中建立中建立(规范规范)正交基正交基(坐标系坐标系)?这个问题就是这个问题就是找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组78设设 线

39、性无关线性无关令令则则 两两正交两两正交,且与且与 等价等价.是与是与等价的规范正交组等价的规范正交组施密特正交化过程施密特正交化过程79例例1求求 的一个规范正交基的一个规范正交基,并求向量并求向量解解解解 易知易知 线性无关线性无关,由施密特正交化过程由施密特正交化过程在该规范正交基下的坐标在该规范正交基下的坐标.80再单位化再单位化 当建立规范正交基后当建立规范正交基后,求一个向量的坐标就特别方便求一个向量的坐标就特别方便两边分别与两边分别与 内积内积81思考思考:求求的规范正交基的规范正交基.82六、正交矩阵六、正交矩阵六、正交矩阵六、正交矩阵定义定义定义定义正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵.A 是正交矩阵是正交矩阵定理定理定理定理A 的列组是规范正交组的列组是规范正交组A 的行组是规范正交组的行组是规范正交组83证证 (只证第三条只证第三条)84性质性质性质性质(1)A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 和和 都是正交矩阵；都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ；(4)P是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ，即即正交变换正交变换正交变换正交变换保持向量的长度不变。保持向量的长度不变。85