线性代数第五章第4节.ppt

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1、用相似变换将实对称阵的对角化用相似变换将实对称阵的对角化4 实对称阵的相似矩阵实对称阵的相似矩阵下页关闭 并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵的几个特征，说明它一定能相似对角化。的几个特征，说明它一定能相似对角化。证证 定理定理6上页下页返回定理定理5 5 实对称阵的特征值是实数。实对称阵的特征值是实数。定理定理7 设设A为为 n 阶对称阵，阶对称阵，是是 A 的特征方程的特征方程的的 r 重根，则方阵重根，则方阵 AE 的秩的秩 R(AE)=nr,从而对

2、应特征值从而对应特征值恰有恰有 r 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理8 设设 A 为为 n 阶实对称阵，则必有正交阵阶实对称阵，则必有正交阵 P，使，使 P1AP=,其中其中是以是以 A 的的 n 个特征值为对角个特征值为对角元素的对角阵。元素的对角阵。证证 设设 A 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为 1,2,s,它们的重数依次是它们的重数依次是 r1,r2,rs (r1+r2+rs=n).上页下页返回 根据定理根据定理 5 及定理及定理 7 知，对应特征值知，对应特征值i(i=1,2,s),恰有恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们正个线性无关的实特征向量，把

3、它们正交并单位化，即得交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由个单位正交的特征向量，由(r1+r2+rs=n),知这样的特征向量共可得知这样的特征向量共可得 n 个。个。按定理按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正知，对应于不同的特征值的特征向量正交，故这交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为个单位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成的矩阵列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有是正交阵，并有其中对角阵其中对角阵的对角元素含的对角元素含 r1 个个1,rs 个个s，恰是，恰是的的 n 个特征值个特征值。上页下页返回解解例例11上页下页返回上页下页返回上页下页返回于是

4、得正交阵于是得正交阵上页下页返回综上所述，求正交矩阵综上所述，求正交矩阵P，使，使成为对角矩阵成为对角矩阵 的具体步骤如下：的具体步骤如下：(1).求求A 的特征值；的特征值；(2).求求A 的特征值对应的的特征值对应的n 个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；(3).将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量；向量；(4).将将(3)中中 n 个特征向量单位化，得到个特征向量单位化，得到 n 个两两个两两正交的单位特征向量；正交的单位特征向量；(5).以

5、这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有正交矩阵，且有上页下页返回 注意：注意：(1).对角矩阵对角矩阵 的对角元要与的对角元要与P 的列向量按顺序的列向量按顺序排列；排列；(2).在求重特征值的特征向量时，应尽可能避免在求重特征值的特征向量时，应尽可能避免正交化过程。即求解齐次线性方程组正交化过程。即求解齐次线性方程组的基础解系时，取两两正交的基础解系。的基础解系时，取两两正交的基础解系。上页下页返回Ex.8设矩阵设矩阵求一个正交矩阵求一个正交矩阵P，使，使为对角矩阵。为对角矩阵。解解上页下页返回上页下页返回上页下页返回上页下页返回上页下页返回上页返回