偏微分方程初步介绍精.ppt

《偏微分方程初步介绍精.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分方程初步介绍精.ppt（43页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、偏微分方程初步介绍第1页，本讲稿共43页参考书目参考书目工程技术中的偏微分方程，工程技术中的偏微分方程，潘祖梁，浙江大学出版社。潘祖梁，浙江大学出版社。数学物理方程，数学物理方程，王明新，清华大学出版社。王明新，清华大学出版社。第2页，本讲稿共43页一一.偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式第3页，本讲稿共43页PDE的阶PDE的解 古典解广义解一些概念是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时用满足方程。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE第4页，本讲稿共43页线性线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。

2、线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导数组成的部分，称为线性方程的主部主部。半线性半线性PDE：拟线性拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。第5页，本讲稿共43页举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：第6页，本讲稿共43页4.3.解为：变换解为：第7页，本讲稿共43页5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程第8页，本讲稿共43页7.拟线性拟线性PDE8.拟线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线

3、性PDE11.非线性非线性PDE第9页，本讲稿共43页举例举例(多元函数多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程第10页，本讲稿共43页二二.定解问题的适定性定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题第11页，本讲稿共43页经典的定解问题举例经典的定解问题举例波动方程的初值问题（一维）第12页，本讲稿共43页经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）第13页，本讲稿共43页经典的定解问题举例经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第

4、三边值问题（Robin）第14页，本讲稿共43页经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题第15页，本讲稿共43页何为适定性？何为适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依赖性（稳定性）连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的适定的。第16页，本讲稿共43页三三.物理模型与定解问题的导出物理模型与定解问题的导出 弦振动方程第17页，本讲稿共43页弦振动方程与定解问题 一长为一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置

5、垂直的外力作用时，开始作微小横振动。平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。位置，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。第18页，本讲稿共43页取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻 t，弦线在 x 点的位移为 u(x,t)OUXPQ此为上图中PQ的放大图示第19页，本讲稿共43页假设弦

6、线是均匀的，弦作微小振动，故可认为即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。第20页，本讲稿共43页根据牛顿第二运动定律根据牛顿第二运动定律(*1)(*2)OUXPQ表示弦的质量密度（单位长度的质量）很小时第21页，本讲稿共43页(*1)这表明张力的大小与 x 也无关，即常数(*2)微分中值定理第22页，本讲稿共43页令，可得微分方程方程弦是均匀的，故 为常数，记方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。弦振动方程。表示速度，因为T的单位是质量

7、*长度/时间的平方单位长度是时间/质量第23页，本讲稿共43页为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件或者边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直于弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合第24页，本讲稿共43页四四.二阶线性方程的分类二阶线性方程的分类两个自变量情形主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。非奇异（1）第25页，本讲稿共43页复合求导第26页，本讲稿共43页系数之间的关系（2）（1）（3）第27页，本讲稿共43页考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作

8、变换从而有（4）第28页，本讲稿共43页两个引理两个引理引理引理1.假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（4）（5）的一般积分。引理引理2.假设是常微分方程（5）的一般积分，则函数是（4）的特解。第29页，本讲稿共43页 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。定义：定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程特征方程（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。特征曲线。（6）第30页，本讲稿共43页记定义定义方程(1)在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有第31页，本讲稿共43页双曲型双曲型PDE右端为两相异的实函数它们的一般

9、积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型第32页，本讲稿共43页抛物型抛物型PDE由此得到一般积分为由此令，其中与独立的任意函数。第33页，本讲稿共43页由于由此推出为什么会为0？第34页，本讲稿共43页因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而第35页，本讲稿共43页椭圆型椭圆型PDE右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为其中第36页，本讲稿共43页由此令从而方程（1）可改写为，满足方程（4）椭圆型方程的标准型第37页，本讲稿共43页总结总结（双曲型PDE）（抛物型PDE）（椭圆型PDE）或第38页，本讲稿共43页例1抛物型方程令第39页，本讲稿共43页例2双曲型方程第40页，本讲稿共43页例3Tricomi方程椭圆型双曲型第41页，本讲稿共43页第42页，本讲稿共43页例例4第43页，本讲稿共43页