统计量与抽样分布).ppt

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1、 6.3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 在在利利用用样样本本推推断断总总体体的的性性质质时时，往往往往不不能能直直接接利利用用样样本本，而而需需要要对对它它进进行行一一定定的的加加工工，这这样样才才能能有有效效地地利利用用其其中中的的信信息息，否否则则，样样本本只只是是呈呈现现为一堆为一堆“杂乱无章杂乱无章”的数据的数据 对对样样本本的的加加工工是是十十分分重重要要的的对对样样本本加加工工，主主要就是构造统计量要就是构造统计量6.3.1 6.3.1 统计量统计量定定义义6.1 设设X1，X2，Xn为为来来自自总总体体X的的样样本本，称称不不含含未未知知参参数数的的样样本本的的函函数数g(X

2、1，X2，Xn)为为统统计计量量若若x1，x2，.，xn为为样样本本观观测测值值，则则称称g(x1，x2，.，xn)为为统统计计量量g(X1，X2，Xn)的观测值的观测值.统统计计量量是是处处理理、分分析析数数据据的的主主要要工工具具对对统统计计量量的的一一个个最最基基本本的的要要求求就就是是可可以以将将样样本本观观测测值值代代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数入进行计算，因而不能含有任何未知的参数 6.36.3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布【例例】设设X1，X2，Xn是是来来自自总总体体X的的样样本本，XN(，2)，其中，其中 、2为未知参数，则为未知参数，则X1，min X1，X2

3、，Xn 均为统计量，均为统计量，但诸如但诸如等均不是统计量，因它含有未知参数等均不是统计量，因它含有未知参数 或或 下面介绍几种常用的统计量下面介绍几种常用的统计量 6.3.1 6.3.1 统计量统计量 设设X1，X2，Xn为为总总体体X的的样样本本，x1，x2，.，xn为样本观测值，为样本观测值，(1)样本均值样本均值 常常用用来来作作为为总总体体期期望望（均均值值）的的估估计计量量，其其观观测测值为值为 6.3.26.3.2常用的统计量常用的统计量 (2)样本方差样本方差 (3)样本标准差样本标准差 样样本本方方差差和和样样本本标标准准差差刻刻画画了了样样本本数数据据的的分分散散程度，常用

4、来作为总体方差和标准差的估计量程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量.观测值分别为观测值分别为 6.2.16.2.1 统计量统计量 (4)样本样本k阶原点矩（简称样本阶原点矩（简称样本k阶矩）阶矩），(k=1，2，)(5)样本样本k阶中心矩阶中心矩 ，(k=2，3，)显然显然Ak和和Bk的观测值分别记为的观测值分别记为 6.2.16.2.1 统计量统计量 6.3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布6.3.3 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 统统计计量量的的分分布布称称为为抽抽样样分分布布为为了了研研究究抽抽样样分分布，先研究数理统计中三种重要的分布布，先研究数理统计中三种重要的分

5、布 一一.2分布分布 定定义义6.3 设设X1，X2，Xn为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量，它们都服从标准正态它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量分布，则称随机变量服从服从自由度自由度为为n的的 2分布分布，记为，记为 2 2(n)此处自由度指的是此处自由度指的是 2中包含独立变量的个数中包含独立变量的个数 2(n)的概率密度为的概率密度为其中其中()称为伽马函数，称为伽马函数，6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 2分布概率密度分布概率密度 图图6-1 2(n)分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线可可以以看看出出，随随着着n的的增增大大，的的图图形形趋趋于于“平平

6、缓缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 2分布具有下面性质：分布具有下面性质：(1)(可可加加性性)设设 是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量，且且 (2)设设 证明证明 (1)由由 2分布的定义易得证明分布的定义易得证明 (2)因为因为 相互独立、同分布于相互独立、同分布于N(0，1)的随机变量的随机变量X1，X2，Xn，使，使则则 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布由于由于Xi独立，且注意到独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为的四阶矩为3，可得，可得 6.3.3 统计中的常用分布统计中

7、的常用分布【例】设总体XN（0,1），X1，X2，X6是来自总体X的样本。又假设 试确定c,使得cY服从 分布。解：由已知条件及正态分布的独立可加性，有且 与 相互独立，显然应有c0,且于是当3c=1，即c=1/3时，cY是两个相互独立且服从N(0,1)的随机变量的平方和，由定义得故当c=1/3时，cY服从 分布。二二.t分布分布定定义义6.4 设设X N(0，1)，Y 2(n)，X与与Y独独立立，则则称称随随机机变变量量 服服从从自自由由度度为为n的的t分分布布，又称为学生氏分布又称为学生氏分布(Student distribution)，记为记为T t(n)t(n)的概率密度为的概率密度为

8、 图图6-3 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 图图6-3 t分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线 显显然然t分分布布的的概概率率密密度度是是x的的偶偶函函数数，图图6-3描描绘绘了了n=1，3，7时时t(n)的的概概率率密密度度曲曲线线作作为为比比较较，还还描绘了描绘了N(0，1)的概率密度曲线的概率密度曲线 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布可看出，随着可看出，随着n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲线与的概率密度曲线与N(0，1)的概率密度曲线越来的概率密度曲线越来越接近越接近可以证明可以证明t分布具有下面性质：分布具有下面

9、性质：即即当当n趋趋向向无无穷穷时时,t(n)近近似似于于标标准准正正态态分分布布N(0,1)一一般般地地，若若n 45，就就可可认认为为t(n)基基本本与与N(0，1)相相差无几了差无几了 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布三三.F分布分布定定义义6.5 设设X 2(n1)，Y 2(n2)，且且X与与Y独独立立，称称随随机机变变量量 服服从从自自由由度度为为(n1，n2)的的F分分布布，记为记为FF(n1，n2)可以证明的概率密度函数为可以证明的概率密度函数为 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 6.3.3 6.3.3 统计中的常用分布统计中的常用分布 图图6-5 F分布

10、的概率密度曲线分布的概率密度曲线 由由F分布的定义分布的定义容易看出，容易看出，若若F F(n1，n2)，则，则1/F F(n2，n1)【例】设总体 ，而X1，X2，X15是来自总体X的简单随机样本。求 的分布解：因为 ，且两者相互独立，利用F分布的定义有分位数分位数 设设X为为一一随随机机变变量量，我我们们知知道道对对于于给给定定的的实实数数x，PX x是是事事件件X x的的概概率率在在统统计计中中，我我们们常常常常需需要要利利用用给给定定事事件件X x的的概概率率，由由此此确确定定的的x是是一一个临界点个临界点,称为分位数称为分位数(点点),有如下定义：有如下定义：定定义义 设设X为为随随

11、机机变变量量，若若对对给给定定的的 (0，1)，存存在在x 满满足足 PX x =，则则称称x 为为X的的上上 分分位位数数(点点)若若X具有密度具有密度f(x)，PX x =说明分位数说明分位数x 右边的一块阴影面积为右边的一块阴影面积为，即即 容易看出，容易看出，X的上的上 分位数分位数x 是是关于关于 的减函数，即的减函数，即 增大时增大时x 减少减少.下面给出几种常用分布的上下面给出几种常用分布的上 分位数的求法：分位数的求法：分位数分位数1.设设Z N(0，1)，记记N(0，1)的的上上 分分位位数数为为z，即有即有PZ z =.由于由于(z)=PZ z =1 PZ z=1 ，由由标

12、标准准正正态态分分布布函函数数表表（附附表表3,P185）反反过过来来查查，即可以得到即可以得到z 的值的值.为为使使用用方方便便，表表6-1列列出出了了标标准准正正态态分分布布的的几几个个常用分位数常用分位数z 的值的值表表6-1 常用的标准正态分布的分位数常用的标准正态分布的分位数 0.0010.0010.0050.0050.010.010.0250.0250.050.050.100.10z z 3.0903.0902.5762.5762.3262.3261.9601.9601.6451.6451.2821.282 分位数分位数由由N(0，1)的概率密度的对称性（见图的概率密度的对称性（见

13、图6-6）可知）可知所以所以 z1-=z 图图6-6 z1-与与z 分位数分位数2.设设 2 2(n)，记记 2(n)的的上上 分分位位数数为为 2(n)，即有即有P 2 2(n)=.附附表表5(p189)中中给给出出了了时时 2(n)的的值值，当当n45时时，由由 2(n)的渐近性质，有的渐近性质，有 分位数分位数3.设设T t(n)，记，记t(n)的上的上 分位数为分位数为t(n)，即有，即有PT t(n)=；由由t(n)的概率密度的对称性的概率密度的对称性t1-(n)=t(n)图图6-7 t1-(n)与与t(n)附附表表6(p192)中中给给出出了了t(n)的的值值，当当n45 时时，由

14、由于于t(n)近似近似N(0，1),所以所以t(n)z 分位数分位数4.设设F F(n1，n2)，记，记F(n1，n2)的上的上 分位数为分位数为F(n1，n2)，即有，即有 PF F(n1，n2)=附表附表7(p194)中给出部分中给出部分F(n1，n2)的值的值.另外，由于另外，由于FF(n1,n2)时时,1/F F(n2,n1)，所以所以故故 分位数分位数【例】【例】求下列分位数：求下列分位数：(1)z0.025；20.05(20)；t0.1(25)；F0.05(10，15)；(2)t0.975(4)；(3)t0.05(55)；(4)F0.9(14，10)；(5)20.975(200).

15、解：解：(1)查表查表6-1知知z0.025=1.96也也可可由由标标准准正正态态分分布布函函数数表表（附附表表3），对对函函数数值值(z0.025)=1 0.025=0.975反查表得反查表得z0.025=1.96 分位数分位数 分别查附表分别查附表5、附表、附表6、附表、附表7得到得到 20.05(20)=31.410、t0.1(25)=1.3163、F0.05(10，15)=2.54;(2)在在附附表表6中中没没有有 =0.975，可可先先查查出出t0.025(4)=2.7764，利用对称性得到，利用对称性得到t0.975(4)=t0.025(4)=2.7764 (3)在附表在附表6中查

16、不到中查不到t0.05(55)，用近似公式，用近似公式t0.05(55)z0.05=1.645 分位数分位数(4)在附表在附表7中，查不到中，查不到F0.9(14，10)，但可查出，但可查出F0.1(10，14)=2.10，故故(5)在附表在附表5表中查不到表中查不到 20.975(200)，先查出，先查出z0.975=z0.025=1.96，再作如下近似计算再作如下近似计算 分位数分位数正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理 在在数数理理统统计计问问题题中中，正正态态分分布布占占据据着着十十分分重重要要的的位位置置，一一方方面面因因为为在在应应用用中中，许许多多随随机机变变量量的的分分

17、布布或或者者是是正正态态分分布布，或或者者接接近近于于正正态态分分布布；另另一一方方面面，正正态态分分布布有有许许多多优优良良性性质质，便便于于进进行行较较深深入入的的理理论论研研究究因因此此，我我们们着着重重讨讨论论正正态态总总体体下下的的抽抽样样分分布布，给给出出有有关关最最重重要要的的统统计计量量样样本本均均值和样本方差值和样本方差S2的抽样分布定理的抽样分布定理 6.3.4 6.3.4 正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定定理理6.1 设设X1，X2，Xn为为来来自自总总体体N(，2)的的样样本本，则有则有 推论：推论：定定理理6.2 设设X1，X2，

18、Xn为为来来自自总总体体N(，2)的样本，的样本，S 2分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有 (1)(2)与与S 2相互独立。相互独立。定定理理6.3 设设X1，X2，Xn为为来来自自总总体体N(，2)的样本，的样本，S 2分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有 证明：证明：由由 ，进而，进而 且且 根据根据t分布的定义分布的定义【例例】某某厂厂生生产产的的灯灯泡泡寿寿命命近近似似服服从从正正态态分分布布N(800，402)，抽抽取取16个个灯灯泡泡的的样样本本，求求平平均均寿寿命命小于小于775小时的概率小时的概率.解：解：设灯泡寿命总体为设灯泡

19、寿命总体为X，因为因为XN(800,402),n=16,所以样本均值所以样本均值 故故【例例】设设总总体体XN(62，102)，为为使使样样本本均均值值大大于于60的概率不小于的概率不小于0.95，样本容量，样本容量n至少应该取多大？至少应该取多大？解：解：设所需的样本容量为设所需的样本容量为n,由于由于又又查表得查表得 即即从而取从而取n=68即可满足条件。即可满足条件。【例例】设设X1，X2，Xn为为总总体体X N(，2)的样本，求样本方差的样本，求样本方差的均值和方差的均值和方差 解解：本本题题可可以以通通过过 2分分布布的的均均值值和和方方差差简简单单求求出出由定理由定理6.2,所以有

20、所以有 于是于是 定定理理6.4 设设 ，分分别别为为来来自自N(1,12)和和N(2,22)的的样样本本，且且它它们们相相互互独独立立，设设 ，S12，S22，分分别别为为相相应应样样本本的的样样本本均均值值和和样本方差，则样本方差，则 (1)(2)证证：(1)由由于于 ,，又又 与与 独立，故由正态分布的性质知独立，故由正态分布的性质知所以所以 证证(2)由定理由定理6.2，且且来来自自两两个个总总体体的的样样本本是是独独立立的的，由由F分分布布的的定定义义知知 【例例】设设X1，X2，X25，Y1，Y2，Y25分分别别为来自两个独立总体为来自两个独立总体N(0，16)和和N(1，9)的样本，的样本，和和 分别表示相应的样本均值，求分别表示相应的样本均值，求 解解：因因为为 ，且且相相互互独独立，所以立，所以故故 =1 0.8413=0.1587【例例】若若从从方方差差相相等等的的两两个个正正态态总总体体中中分分别别抽抽出出n1=8和和n2=12的的独独立立样样本本，样样本本方方差差分分别别为为S12和和S22，求，求 解：解：由于由于 ，n1=8，n2=12，所以所以因此因此 查查表表知知F0.01(7，11)=4.89，即即PF 4.89=0.01，故，故作业：P130 习题6.3 5、9