多目标规划52594.pptx

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1、主讲人主讲人:穆学文穆学文西安电子科技大学数学系西安电子科技大学数学系数学建模讲义数学建模讲义最优化模型最优化模型 -多目标规划多目标规划第七讲第七讲 多目标规划方法多目标规划方法 l多目标规划解的讨论多目标规划解的讨论非劣解非劣解 l多目标规划及其求解技术简介多目标规划及其求解技术简介效用最优化模型效用最优化模型 罚款模型罚款模型约束模型约束模型 目标规划模型目标规划模型目标达到法目标达到法l多目标规划应用实例多目标规划应用实例 多目标规划是数学规划的一个分支。多目标规划是数学规划的一个分支。研研究究多多于于一一个个的的目目标标函函数数在在给给定定区区域域上上的的最最优优化化。又又称称多多目

2、标最优化。通常记为目标最优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在在很很多多实实际际问问题题中中，例例如如经经济济、管管理理、军军事事、科科学学和和工工程程设设计计等等领领域域，衡衡量量一一个个方方案案的的好好坏坏往往往往难难以以用用一一个个指指标标来来判判断断，而而需需要要用用多多个个目目标标来来比比较较，而而这这些些目目标标有有时时不不甚甚协协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年年法法国国经经济济学学家家V.帕帕雷雷托托最最早早研研究究不不可可比比较较目目标标的的优优化化问问

3、题题，之之后后，J.冯冯诺诺伊伊曼曼、H.W.库库恩恩、A.W.塔塔克克、A.M.日日夫夫里里翁翁等等数数学学家家做做了了深深入入的的探探讨讨，但但是是尚尚未未有有一一个个完全令人满意的定义完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一一种种是是化化多多为为少少的的方方法法，即即把把多多目目标标化化为为比比较较容容易易求求解解的的单单目目标标或或双双目目标标，如如主主要要目目标标法法、线线性性加加权权法法、理理想想点点法法等；等；另另一一种种叫叫分分层层序序列列法法，即即把把目目标标按按其其重重要要性性给给出出一一个个序序列列，每每次次都都在

4、在前前一一目目标标最最优优解解集集内内求求下下一一个个目目标标最最优优解解，直直到到求出共同的最优解。求出共同的最优解。对对多多目目标标的的线线性性规规划划除除以以上上方方法法外外还还可可以以适适当当修修正正单单纯纯形形法法来来求求解解；还还有有一一种种称称为为层层次次分分析析法法，是是由由美美国国运运筹筹学学家家沙沙旦旦于于70年年代代提提出出的的，这这是是一一种种定定性性与与定定量量相相结结合合的的多多目目标标决决策策与与分分析析方方法法，对对于于目目标标结结构构复复杂杂且且缺缺乏乏必必要要的的数数据据的情况更为实用。的情况更为实用。多目标规划模型多目标规划模型（一）任何多目标规划问题，都

5、由两个基本部分组成：（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1 1）两个以上的目标函数；）两个以上的目标函数；（2 2）若干个约束条件。）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：写为如下形式：一一一一 多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解 式中：为决策变量向量。缩写形式：缩写形式：有有n个决策变量，个决策变量，k个目标函数，个目标函数，m个约束方程，个约束方程，则：则：Z=F(X)是是k维函数向量，维函数向量，(X)是是m维函数向量；维函数向量；G是是

6、m维常数向量；维常数向量；（1）（2）对于线性多目标规划线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：式中：式中：X X 为为n n 维决策变量向量；维决策变量向量；C C 为为k kn n 矩阵，即目标函数系数矩阵；矩阵，即目标函数系数矩阵；B B 为为m mn n 矩阵，即约束方程系数矩阵；矩阵，即约束方程系数矩阵；b b 为为m m 维的向量，即约束向量。维的向量，即约束向量。多目标规划的非劣解多目标规划的非劣解多目标规划的非劣解多目标规划的非劣解 多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：每一个

7、目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？在在图图1中中，max(f1,f2).就就方方案案和和来来说说，的的f2目目标标值值比比大大，但但其其目目标标值值f1比比小小，因因此此无无法法确确定定这这两两个个方方案的优与劣。案的优与劣。在在各各个个方方案案之之间间，显显然然：比比好好，比比好好,比比好好,比比好好。非劣解非劣解可以用图1说明。图图1 多目标规划的劣解与非劣解多目标规划的劣解与非劣解 而而对对于于方方案案、之之间间则则无无法法确确定定优优劣劣，而而且且又又没没有有比比它它们们更更好好的的其其他他方方案案，所所以以它它们们就就被

8、被称称为为多多目目标标规规划划问问题的题的非劣解非劣解或或有效解有效解，其余方案都称为其余方案都称为劣解劣解。所所有有非非劣劣解解构构成成的的集集合合称为称为非劣解集非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解非支配解或帕累托解）。）。效用最优化模型效用最优化模型 罚款模型罚款模型 约束模型约束模型 目标达到法目标达到法 目标规划模型目标规划模型二二二二 多目标规划求解技术简介多目标规划求解技术简

9、介多目标规划求解技术简介多目标规划求解技术简介 为为了了求求得得多多目目标标规规划划问问题题的的非非劣劣解解，常常常常需需要要将将多多目目标标规规划划问问题题转转化化为为单单目目标标规规划划问问题题去去处处理理。实实现现这种转化，有如下几种建模方法。这种转化，有如下几种建模方法。是与各目标函数相关的是与各目标函数相关的效用函数的效用函数的和函数和函数。方法一方法一效效用最优化模型用最优化模型（线性加权法线性加权法）（1 1）（2 2）思想思想：规划问题的各个目标函数可以通过：规划问题的各个目标函数可以通过一定一定的的方式方式进行进行求和求和运算。这种方法将一系列的运算。这种方法将一系列的目标函

10、数目标函数与与效用效用函数函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：在在用用效效用用函函数数作作为为规规划划目目标标时时，需需要要确确定定一一组组权权值值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，i 应满足：向量形式：方法二方法二方法二方法二 罚款模型罚款模型罚款模型罚款模型（理想点法）（理想点法）（理想点法）（理想点法）思想思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所规划决策者对每一个目标函数都能提

11、出所期望的值期望的值（或称（或称满意值满意值）；）；通过比较实际值通过比较实际值fi与期望值与期望值fi*之间的偏差来选择问题的之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：解，其数学表达式如下：或写成矩阵形式：式中，式中，是与第是与第i个目标函数相关的个目标函数相关的权重权重；A是由是由(i=1,2,k)组成的组成的mm对角矩阵。对角矩阵。理论依据理论依据 ：若规划问题的：若规划问题的某一目标某一目标可以给出一个可供选可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以择的范围，则该目标就可以作为约束条件作为约束条件而被排除出目标而被排除出目标组，进入约束条件组中。组，进入约束条件组中。假如，除第一个目

12、标外，其余目标都可以提出一个可供选假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：问题：方法三方法三 约束模型约束模型（极大极小法极大极小法）方法四方法四 目标达到法目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：首先将多目标规划模型化为如下标准形式：在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标化的期望目标fi*(i=1,2,k),每一个目标对应的权重系数为每一个目标对应的权重系数为 i*(i=1,2,k)，再设再设 为一

13、松弛因子。为一松弛因子。那么，多目标规划问题就转化为：那么，多目标规划问题就转化为：方法五方法五 目标规划模型（目标规划法）目标规划模型（目标规划法）需要预先确定各个目标的期望值需要预先确定各个目标的期望值fi*，同时给每一个，同时给每一个目标赋予一个目标赋予一个优先因子优先因子和和权系数权系数，假定有，假定有K个目标，个目标，L个个优先级优先级(LK)，目标规划模型的数学形式为：，目标规划模型的数学形式为：式中：式中：di+和和di分别表示与分别表示与fi相应的、与相应的、与fi*相比的目标相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；超过值和不足值，即正、负偏差变量；pl表示第表示第l个优先

14、级；个优先级；lk+、lk-表示在同一优先级表示在同一优先级pl 中，不同目标的正、中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。负偏差变量的权系数。投资的收益和风险投资的收益和风险二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即 max qixi|i=1，2,n三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析4.模型简化模型简化：四、模型四、模型1 1的求解的求解 由于由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不

15、同的风险度。我们从则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以开始，以步长步长a=0.001进行循环搜索，编制程序如下进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);a x=x Q=-val plot

16、(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)To Matlab（xxgh5）计算结果：计算结果：五、五、结果分析结果分析3.3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。2 2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.1.风险大，收益也大。返 回4 4.在a=0.006=0.006 附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。

17、在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x40.00600.201900.24000.40000.10910.22129、静夜四无邻，荒居旧业贫。5月-235月-23Monday,May 22,202310、雨中黄叶树，灯下白头人。01:26:1501:26:1501:265/22/2023 1:26:15 AM11、以我独沈久，愧君相见频。5月-2301:26:1501:26May-2322-May-2312、故人江

18、海别，几度隔山川。01:26:1501:26:1501:26Monday,May 22,202313、乍见翻疑梦，相悲各问年。5月-235月-2301:26:1501:26:15May 22,202314、他乡生白发，旧国见青山。22 五月 20231:26:15 上午01:26:155月-2315、比不了得就不比，得不到的就不要。五月 231:26 上午5月-2301:26May 22,202316、行动出成果，工作出财富。2023/5/22 1:26:1501:26:1522 May 202317、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。1:26:15 上午1:2

19、6 上午01:26:155月-239、没有失败，只有暂时停止成功！。5月-235月-23Monday,May 22,202310、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。01:26:1501:26:1501:265/22/2023 1:26:15 AM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。5月-2301:26:1501:26May-2322-May-2312、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。01:26:1501:26:1501:26Monday,May 22,202313、不知香积寺，数里入云峰。5月-235月-2301:26:1501:26:15Ma

20、y 22,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。22 五月 20231:26:15 上午01:26:155月-2315、楚塞三湘接，荆门九派通。五月 231:26 上午5月-2301:26May 22,202316、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2023/5/22 1:26:1501:26:1522 May 202317、空山新雨后，天气晚来秋。1:26:15 上午1:26 上午01:26:155月-239、杨柳散和风，青山澹吾虑。5月-235月-23Monday,May 22,202310、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。01:26:1501:26:1501:

21、265/22/2023 1:26:15 AM11、越是没有本领的就越加自命不凡。5月-2301:26:1501:26May-2322-May-2312、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。01:26:1501:26:1501:26Monday,May 22,202313、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。5月-235月-2301:26:1501:26:15May 22,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。22 五月 20231:26:15 上午01:26:155月-2315、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。五月 231:26 上午5月-2301:26May 2

22、2,202316、业余生活要有意义，不要越轨。2023/5/22 1:26:1501:26:1522 May 202317、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。1:26:15 上午1:26 上午01:26:155月-23MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.感感 谢谢 您您 的的 下下 载载 观观 看看专家告诉