全国自考 线性代数历年考试真题与答案.pdf

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1、全国高等教育线性代数（经管类）自学考试 历年（2009年07月2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，4,表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵;R（A）表示矩阵A的秩；表示A的行列式；E表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设4,3,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不感坐的是（）A.（A+B）T=AT+BT B.L4BI=L4ICA（B+C）=BA+CA D.（AB）T=BT

2、ATa2 a22 a23a3 3 2 3 32alia2一 2旬2。1 2 2。3a22 a23一 2%2 2%33.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（B.|A|=OC.（A2）-,=（A_,）D.（3A）-1=3A-13 1-2 0 2-14.若 让i 5 2,-2 3,C=3；i 2,则下列矩阵运算的结果为3X2矩阵的A.ABCBACTBTC.CBAD.CTBTAT5.设有向量组A：a i，a2,其中a1，a2,线性无关，则（）A.a i，a 3线性无关B.a p a?,a 线性无关C.a i，a 2,a 3,a 4线性相关D.a 2,a 3,a 4线性相关6.若四阶方阵的秩为3,贝 北

3、）A.A为可逆阵C.齐次方程组Ax=O只有零解B.齐次方程组A x=O有非零解D.非齐次方程组A x=8必有解7.设A为mx矩阵，则元齐次线性方程Ax=O存在非零解的充要条件是（）A.A的行向量组线性相关C.A的行向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是（）B.A的列向量组线性相关DA的列向量组线性无关1 0 0A.0-1 00 0-1cos。一 sin，V.一 sin。cos。1I 0 1B忑1 1 00 1 1工2D.0旦 叵2633337 339.二次型f=为实对称阵）正定的充要条件是（）A.A可逆C.A的特征值之和大于0B.L4l0D 4的特征值全部大于0A.k0C.kl人 0 01（

4、）.设矩阵4=0 k-2正定,则（0-2 4)B.k0D.k 1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设 A=（1,3,-1）,B=（2,1）,则 ATB=2 1 012.若 1 3 1 =0,则=。k 2 11 213.设 A=2 00 100,则 A*=_314.已知屋24-8=0,则(A+E)-=1 5 .向量组4=(1,1,0,2),1 2 =(1,0,1,0)。3=(0，1，-1,2)的秩为。1 6.设齐次线性方程Ax=O有 解 而 非 齐 次 线 性 方 程 且A x=b有解，则4 +是方程组的解。1 7.方程组

5、5+=的基础解系为巾 +%3=1 8.向量a =(3,2,r,1),)0 =(r,-1,2,1)正交，贝 加=。1 9.若矩阵4=1 与矩阵8=3 b相似，则x=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。0 4J _a x2 0 .二次型f(xl,x2,x3)=x+2岩-3 x 3 +西工2 -3为 戈3对应的对称矩阵是。三、计 算 题(本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)1-3 4 02 1.求行列式0=4 ，3 的值。2 0 2 -27 6-2 22 2.已 知A=2 2 3 1 一 3 ,C=0 -1 1 1 ,。=12(uT 矩 阵x满 足 方 程_ 1 O j -2 1 J

6、 口2 0 1 0 1 JA X+B X=D-C,求 X。2 3.设向量组为a,=(2,0-1,3)ct2=(3,-2,1,-1)a3=(-5,6-5,9)%=(4,-4,3,-5)求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。2 4.求4取何值吐齐次方程组(2 +4)司 +3X2=0“（T in 0 1-3 2a：a；a：a：=-0 0 0 0.6分0 0 0 0.改向量出的帙为2,段大无关级为 明 必（或写成明明 必a，6，9,4邵町）.全国2009年10月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵,A表示

7、方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.一、单项选择题(本大题共1 0 小题，每小题2分，共 2 0 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。5.向量组4,a 2,%(S 2 2)的秩不为零的充分必要条件是()1.行列式0-11-110-11-1 11 -10 1-1 0第二行第一列元素的代数余子式&产()A.2B.-1C.D.22.设 A为 2 阶矩阵，若 1 3 A l=3,则|2 A|=()A.j _2B.C.43D.23.设阶矩阵A、B、C 满足 A 8 C =E ,则=()A.A BB.B AC.A-BD.4.已知

8、2阶矩阵A的行列式|A=T,则(A*)T=()A.-b、d)B.(d-b c a)C.-d、cD.1：TA.%,4.中没有线性相关的部分组 B.a.,中至少有一个非零向量C.%,。2,.a,全是非零向量 D.%,。2,全是零向量6.设 A为机x 矩阵，则元齐次线性方程组A x =0 有非零解的充分必要条件是()A.r(A)=n B.r(A)=mC.r(A)n D.r(A)A.z：+z +z；B._ Z：_ Z；_ z；二、填空题(本大题共10 小题，每小题2分，请在每小题的空格中填上正确答案。错填./一 a,+b,a.-h,a,11.已 知 行 列 式1111=-4,则1a2+b2 a2-b2

9、 a212 .已知矩阵 A =(1,2,7),3=(2,1,1),且。=f1 0。r i V13 .设矩阵 A=2 2 0,贝 IJ=_3 3)1，14 .已知矩阵方程X4 =3,其中A =(；15 .已知向量组4=(1,2,3):a?=(2,2,2)，出共 2 0 分）不填均无分。h _b2AB ,贝 I jc 2=_.T 1,贝|J X=_.U o j=（3,2,a），线性相关，则数a =_16.设向量组 Z =(1,0,0)。=(0,1,0)J月 一 月|=四-。2,尸2 =。2，则向量组月|,尸2的秩为 1 -117 .已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为0 a+、0 02 ;1、0

10、-1 -若该方程组无解，则。a +1;0,的取值为.18 .已知3阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则I E+A I=.19 .已知向量a =(3,k,2)7与夕=(1,1,k),正交，贝擞=.2 0 .已知3元二次型,572，叼)=(1-。赭+云+S+3)=正 定，则数a的最大取值范围是三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)x+1-1 1 -11 Y-1 1 -12 1.计算行列式。=的值.1 -1 X 4-1 -11 -1 1 X-12 2 .设矩阵4=(：E为2阶单位矩阵，矩阵5满足5 A=5 +E,求18 1.Xj X?(1 2 3 .已知线性方程组.x2-x3=a2x

11、3-xt=a3(1)讨论常数为,出，%满足什么条件时，方程组有解.(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).2 4 .设向量组=(l,4,l,0)7,a2=(2,1,-1,-3)，,%=(1，0,-3,-1)，=(0 2-6,3)J求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1 2、(5 0、2 5 .设矩阵 A=，存在 a =(1,2)7,%=，使得 4a=5%,(4 3J 12 -)4 a2 =-a2：存在=(3,1)，,62 =(0，1/，使 得 即=5 氏上5=-自试求可逆矩阵尸，使得/尸=8.2 6 .已知二次型/(

12、占“2，匕)=2占 欠2+2与+22为，求一正交变换=了,将此二次型化为标准形.四、证明题（本题6分）2 7 .设 向 量 组,%，。3线性无关，且尸=&1%+2。2 +*3。3 ,证 明:若 占 用,则 向 量 组尸,如，%也线性无关.全国2010年4月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共2 0小题，每小题1分，共2 0分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知2阶行列式%02=m,bbi b2 G2=n，则 2=(c2 a 4-C a2)A.m-nB.n-mC.m+n D.-(

13、m+)2.设 A,5,C 均为阶方阵，A B=B A,A C=C Af 则 ABC=()A.AC BB.C ABC.C B A D.B C A3.设4为3阶方阵，8为4阶方阵，且行列式=1,因=-2,则行列式118之值为()A.-8B.-2A.PA B.APC.2D.812 a l 3 卜113 a l 2。13、1 0 0、/1 0 04.已知A=a2a22a23/3 1。3 2 3 3/,B=2|3 2 2 2 3(。3 13 3 2。3 3,p=0 3 00 0 1 7,。二3 1 00 0 1,贝U B=()C.QAD.AQ5.已知A是一个3X 4矩阵，下列命题中正确的是（）A.若矩阵

14、A中所有3阶子式都为0,则 秩U）=2B.若A中存在2阶子式不为0,则 秩U）=2C.若 秩（4）=2,则A中所有3阶子式都为0D.若 秩（A）=2,则A中所有2阶子式都不为06.下列命题中惜送的是（）A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已 知 向 量 组 线 性 无 关，万线性相关，则()A.%必能由。2,。3，万线性表出 B.。2必能由线性表出C.。3必 能 由 线 性 表 出 D.3必能由。3线性表出8.设A为wX”矩阵，则齐次线性方程组A x=O只有零解的充分必要条件

15、是A的秩()A.小于机 B.等于机C.小于”D.等于“9.设4为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为()A 4 TB.A2C.A D.A*1 0.二次型A xi/2 X3)=X：+君+龙；+2”2的正惯性指数为()A.O B.1C.2 D.3二、填空题(本大题共1 0小题，每小题2分，共2 0分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1 1.行列式2 0 0 7 2 0 0 82 0 0 9 2 0 1 0的值为(1 -1 3)(2 0)T 2.设矩阵.B=厕 3=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

16、_.(2 0 1 J 1 0 1 J1 3.设 4 维向量 a =(3,-l,0,2)T,=(3,l,-l,4)T,若向量，满足 2 a+丫=3 8,贝U，=.1 4.设4为“阶可逆矩阵，且=-L则 心1=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.n1 5.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组A x=O的解，则=.1 6.齐 次 线 性 方 程 组+2 +*3 =的基础解系所含解向量的个数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2芭一 出+3巧=01 7.设阶可逆矩阵A

17、的一个特征值是-3,则矩阵 必有一个特征值为1 -2 -21 8.设矩阵4=-2 x 0 的特征值为4,1,-2,则数x=-2 0 0I 7r 1),0V 21 9.已知4=4=b 0V 2是正交矩阵,则a+b=0 0 1k J2 0.：次型X2,X3）=-4X|X2+2X 1 X3+6X2 X3 的矩阵是三、计 算 题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 5 4 分）ab c2 1.计算行列式正 一9b2C2 的值。a+a3b+b3c+c32 2 .已知矩阵 B=(2,1,3),C=(1,2,3),求(1)A=BTC；(2)A2.2 3 .设向量组 c q =(2,1,3,l)T,a 2 =

18、(1,2,0,1 尸,(1 3 =(-1,1,-3,0)T,a 4 =(1,1,1,1),求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。1 2 3(-1 42 4.已知矩阵A=01 2,B=2 5.求 T；（2）解矩阵方程4 X=8。00 11 -31JL J西 +2X2+3 与=42 5.问。为何值时，线性方程组 2 +=2 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出2x1+2X2+3 巧=6其 解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。c、2 0 02 6.设矩阵4=0 3a的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数。的值及可逆矩阵尸,0 a

19、 31 00使 PAP=0 200 05四、证 明 题（本 题6分）2 7.设A,B,A+B均 为”阶正交矩阵，证 明（4+B）2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共2 0分）1.B2.D3.A4.B5.C6.C7.D8.D9.A1 0.C二、填 空 题（本大题共1 0小题,1 1.-21 3-（3,5,-3,8）T1 5.01 7.-31 9.0三、计 算 题（本大题共6小题，a b c|l a2 1.解/=a2 b2 c2+a2a b c|a3 I1 1 H-abc a h

20、ca2 b2 c2=abc（b-a）（c-a）（c每小题2分，共2 0分）2 2、1 2.-2 06 1 /1 4.f1 6.11 8.2 0 -2 02 0.-2 0 31 3 0每小题9分，共5 4分）b C/c2.（3 分）（利用范德蒙行列式）.（6分）-f t）.（9 分）(24266392 2.解(1)/1=8丁。=1 (1,2,3)=1.（5 分）33(2)z42=/4=(BTC)(BTC)=职(CBr)C=3A.（9 分）2 1 -1 1、ri 1 o r1 1 0 1、1 2 1 12 1-1 10-1-1-12 3.解由于60）二3 0-3 1 1 2 1 1T0 1101

21、1 0 13 0-3 10-3-3-2k/0、010i!i o r1 0-10 1 1 00 1 1TT0 0 0 10 0 00 0 0 00 0 0.(5 分)因此向量组的秩为3,名,生,色是一个极大线性无关组（答案不惟一,4 ,6,4 ；生,6也是极大线性无关组）.（7分）6=f +a2.（9 分）2 4.解 由于卜|=1*0,所以矩阵4可逆，经计算.（4 分）因此 X=A-Bf-4 9、=0 111 -3/.（6 分）.（9 分）2 5.解对方程组的增广矩阵作初等行变换，有0 02 a 20 3-at 0.（3 分）线性代数（经管类）试题答案及评分参考第2页（共3页）当时,r(4)=r

22、(/)=3,有惟一解*=25=1.(6 分)Xj=0当。=3时,r(/l)=r(N)=2 3,有无穷多解，全I解为H=（2,1,0）T+*（0,3,-2）T,*为任意常数.（9 分）26.解 由 卜|=2（9-）=lx 2 x 5,得a=2.（4 分）解方程组（E-4 ）x=0得基础解系$=-1,1；.（5 分）解方程组（2 E-4 ）x=0得基础解系&=（1,0,07;.（6 分）解方程粗（5E-Z ）x=0得基础解系&=（O,l,if .（7 分）所求的可逆矩阵P 可取为0 1 0、P=（品曷，）=-1 0 1，1 0 1/1 0 0、则有 PAP=0 2 0.(9 分)0 0 5/四、证

23、明题（本题6 分）27.证 由于4 艮 4+8 均为正交矩阵，所以AT=A,8T=8，（A+B=（A+B.（2分）因 此 +5 尸=+町+.（4 分）=A+B.（6 分）线性代数（经管类）试题答案及评分参考第3 页（共 3 页）全国2010年10月自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明:在本卷中,A 表示矩阵A 的转置矩阵,A*表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵JAI表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2 分，共 20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分

24、。1.设 A 为 3 阶矩阵,IAI=1,则l-2Ail=()A.-8C.22.设矩阵 则 AB=()A.03.设A 为 n 阶对称矩阵,B 为 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BA B.AB+BAC.ABD.BAB.-2D.81 1D.-1-14.设矩阵A 的伴随矩阵A*=(；j),则 A=()A.-，4 22B.4：-3112)1(42、c.D.-2、34j213b5.下列矩阵中不呈初等矩阵的是()1 0n0 0rA.0 10B.0 100 0J 00,q0 0、1 00、C.03 0D.0 106.设A,B均为n 阶可逆矩阵，则必有()A.A+B可逆 B.AB

25、可逆C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7.设向量组 a 尸(1,2),a 2=(0,2),6=(4.2),则()A.a i,a*B线性无关B.B不能由a i,a 2线性表示C.8可 由&1,a 2线性表示，但表示法不惟一D.6可由a 1，a 2线性表示,且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=O的基础解系所含解向量的个数为()A.O B.1C.2 D.32 x,-x2+x3=09.设齐次线性方程组1 X|-X2 -X 3=0有非零解，则九为()XxI+x2+x3=0A.-1 B.0C.l D.21 0.设二次型f(x)=xTAx正定，则下

26、列结论中正确的是()A.对任意n维列向量X,XTAX都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零二、填空题(本大题共1 0小题，每小题2分，共2 0分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。行 列 式 的 值 为 一(1 2、1 2.已知A=，则IA I中第一行第二列元素的代数余子式为_ _ _ _ _ _ _ _ _.2 31 3.设矩阵 A=-3 1 P=1口,则 APM_.1-2*1 0 I)1 4.设A,B都是3阶矩阵，且IA I=2,B=-2E,则IABI=.1 5.己知向量组 a b=(l,2,3),a 2=(3,-1,2),

27、a 3=(2,3,k)线性相关，则数 k=.1 6.己知I Ax=b为4元线性方程组,K A)=3,a a 2,a 3为 该 方 程 组 的3个 解，且,则该线性方程组的通解是1 7.已知3 3P是3阶正交矩，向量a=3 ,p=0，则内积(P a,P|3)=_ _ _ _ _ _ _ _.力1 2,1 8.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为.1 9.与矩阵A=，相 似 的 对 角 矩 阵 为.20.设矩阵A=(_；若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是,三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)21.求行列式D=()120101221010210的值.0-1

28、0、-1 -2 0 22.设矩阵人=1 00.B=2-1 0 ,求满足矩阵方程X A-B=2 E的矩阵X01;、0 0 0,rn,1、,2、1 2、23.若向量组a 1=1，。2=-1，=6,a 4=0的秩为2,求k的值.22 3 224.设矩阵人=1-1 0,b=、T2 b1。求A；(2)求解线性方程组A x=b，并将b用A的列向量组线性表出.25.己知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A?+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.X i =2 y1+2 y2+y326.求二次型 f(X|,X 2,X 3)=-4 X 1 X 2+2X|X 3

29、+2X?X 3 经可逆线性变换，x2=2y,-2 y2+y3 所得的标.x3 =2y3准形.四、证明题(本题6分)27.设n阶矩阵A满足A、E,证明A的特征值只能是 12010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填 空 题（本大题共10小频，每小题2分，共20分）12.-21 0-2-2234,上为任意常数（答案不惟一）2 0.%4(或(4,+8)三、计 算 题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）0 1 2 02 1.解 D=1 00 10 2 1 01 2 01 -2

30、-3=2 1 0线性代数（经管类）试题答案及评分参考第1页（共4页）22.解 由 4-B =2E 得4=8+2E,，2分因为卜|=lw O,所以彳可逆，且 0 1 0、A-1=-1 0 0.0 0 171-2 0、又 S+2E=2 1 0 0 0 2/所以 X=(8+2E)dT4分5分,7分2 1 0、=-1 2 00 0 279分112-2、-0-2 4 20 0 2-七 4-21/所以 当后=2时，向量组的秩为2.6分9分2 4.解（1）由于卜|=-1.0,故“可逆.且4分（2）线性方程组Ax=。的解为 设)=(%,%,6),则有。-四-3%+40,.9分线性代数（经管类）试题答案及评分参

31、考第2页（共4页）25.解（1）由于4 的特征值为-1,1,2,故M =(-1)X1X2=-2 92分因为|彳卜0,所以r（=3.4分（2）B的三个特征值分别为=(-1)2+2X(-1)-1=-2：=12+2X1-1=2；A,=22+2X2-1=7.7分所以,26.可逆线性变换为279分2分代入二次型0/（五,与当）=（斗巧,均）一21-20分10 2=&，%，必）212-210、020-2-201 Jr2202-2012力7分=-16 y：+16 y：+4y.9分线性代数（经管类）试题答案及评分参考第3页（共4页）四、证明题（本题6分）2 7.证 设J为（的对应于特征值久的特征向量，则有/6

32、 =芯.2分于 是 由=E,得4=明=松=矛，4分从而（I-矛H=0.而f w O,所以有1-矛=0,；i=l.6分线性代数（经管类）试题答案及评分参考第4页（共4页）全国2011年1月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A”表示方阵A的逆矩阵，/4）表示矩阵A的 秩（a,表示向量a与的内积，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。a ai2 a3 2an 2Q131.设行列式a2 a 22。23 3，则行列

33、式。2 1 a22。23 =（）0 3 1 a32。3 3 3 g 1 3 g 2 3 a 3 3A.1 2B.24C.3 6D.4 82.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵，且A,可逆，AXB=C,则矩阵X=（）A.AlCBlC.BiAlC3.已知T+A-EW,则矩阵A/=()B.C A%D.C B A 1A.A-EB.-A-ECA+E4.设21,。2，。3，。4，。5是四维向量，则（A.%,%,如,%，a5 一定线性无关C.a5 一定可以由电,，。4线性表示D.-A+E）B.一定线性相关D.O 1 ,定可以由。2，。3,。4，。5线性表出5.设A是阶方阵，若对任意的维向量x均满足4r=0,则（

34、）A.A=0BA=EC.r(A)=nD.0 4)()6.设A为九阶方阵，r（A）n,下列关于齐次线性方程组A r=0的叙述正确的是（）A.Ax=0只有零解CAx=0的基础解系含-r（4）个解向量B A r=0的基础解系含“4）个解向量D 4 x旬 没有解7.设小,%是非齐次线性方程组A斗的两个不同的解，则（）A.7+%是Ax=b的解C.3 -22是A x 4的解B.7-%是Ax=b的解D.2/3%是 AxH 的解3 9 08.设4,%，为矩阵A=0 4 5的三个特征值，则4/2 4 3=（）0 0 2A.20B.24C.28D.3 09 .设P 为正交矩阵，向量a,夕的内积为（a,夕）=2,则

35、（P a,P/?）=（）A.1B.123C.-D.221 0 .二次型段 丁2 3）=1 2+%2+x3+2马孙+2%工3+2 M 工3的 秩 为（）A.1B.2C.3D.4二、填 空 题（本大题共1 0 小题，每小题2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。l_k-21 1 .行列式=0,则心_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 k-1 2.设4=1 1,攵为正整数，则 4=.1 1 1 2-1 3 .设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A =，则矩阵4=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

36、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 41 4 .设向量。=（6,-2,0,4）,0=（-3,1 ,5,7）,向量/满足 2 a +y =3 夕，则/=-1 5 .设A是m x n矩阵，Ax=0,只有零解，则 r（A）=.1 6 .设%,%是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则 A（3%+7。2）=1 7 .实数向量空间V=（即用用）必-冷+=0 的维数是.1 8.设方阵A有一个特征值为0,则二.1 9 .设向量 =（-1,1,-3）,a2=（2,-L 4）正交，贝（I 丸二.2 0 .设+4 2 +2 x；+2txx2+2%冗3 是正定二次型,则 满足-三、计 算 题

37、（本大题共6 小题，每小题9分，共 5 4 分）2 1.计算行列式a-b-c2b b2c2a-a-2c2a-c 2bc-a-b A-122 2.设矩阵4=2 -1 25对参数/l 讨论矩阵A的秩.1 1 0 -6 1 1 3 f-1 4-2 3.求解矩阵方程2 5 1X=2 50 0 11 -3 _2 4.求向量组:的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.2 x 3X2+X 3 +5X4=02 5.求齐次线性方程组-3 X 1 +X 2 +2 x 3 -4 人=0 的一个基础解系及其通解.-X i -2X2+3X3+%=2 6.求矩阵2I-238-1 422-3的特征值

38、和特征向量.四、证 明 题（本大题共1 小题，6分）2 7.设向量的,a 2,a*线性无关，证明：1 +t t y ,0 2，.,由线性无关.1、B 2、A 3、C 4、B6、C 7、C 8、B 9、D 10、A0-211、-1,3k13、3L212.7,15,13)15、n 16、017、218、019、20s-72t 3)1 2=(-1,-3,5,1)1,a j=(3,2,-1,p+2)T,a=(3,2,-1,p+2)丁问0为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.2 x(+AX2-x3=12 4 .设3 元线性方程组 -5 X j=-1(1)确定当力取何值时，方程组

39、有惟一解、无解、有无穷多解？(2)当方程组有无穷多解时;求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).2 5 .已知2 阶方阵A的特征值为4 =1 及 4=-不 方 阵 5=4.(1)求 8 的特征值；(2)求 5的行列式.2 6.用配方法化二次型/(x,x2,x3)=Xf-2 X j-4 x,x2+1x?为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)2 7.设A是 3 阶反对称矩阵，证明|A|=0.如11年1 0月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）-单项选择期（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）1.

40、B 2.B6.A 7 D二、填空题（本大题共10小题，每小题2 分，共20分）0 00 015.rM$17 2+*1 A 为任意格数 18.0,-5,-53 1R (1,2 0-d+W T三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54分）2 1-解-一 耳=|（。,2%,3%）一（4 外,川|a一 2,，2.2yJ|，於，2 4 一卜4 2=/，2，?,3刀-可尸,2 M线性代数（经管类）试题答案及评分参考第1页（共 3 页）p-2时向总纽/线性相关，此时向工组的秩为3,0M6,%(或%,4,.)为其一个极大无关组24.解(】)设方程组的系数矩阵为4 则M=(52+4X4-1),所以当人

41、x l且久x 时，|/|工0,方程级有惟一解;4义=-1时，r(4)w r(Q,方 程 组 初；2=1时，r(A=r()=2 3,方程组有无穷多解(2)当4=1 时,线性代数(经管类)试题答案及评分参考第2页(共3页)2 5.解（D B的特征值为丛=产=1,国=陷=g2 6.解/（不，毛，/）=片-4%小-2尺+12刍匕-2*=（M-449+4g）-6g+12 5弓-坦=（玉 _ 劣）2 -6（芍一4七+片）+4学,=（x,-Zr2）2-6（-J1+4用=、_ 入 玉=%+2%+2为令 2 =马-芍，则经可逆线性变换，当=力+为.%=曰 1玉=为将二次型化为标准形y；-6*+4反四、证明题（本

42、期6分）2 7证因为彳=-/，所 以 斗.叫=（-叫 叫=-|同,因 此|M=0线性代数（经管类）试题答案及评分番考第3页（共3页）全国2012年1月自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷中，A“表示方阵A 的逆矩阵，44)表示矩阵4 的秩，IIa II表示向量a 的长度，表示向量a 的转置，E 表示单位矩阵，表示方阵A 的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2 分，共 20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设行列式=2,则3a12 3。3_32 _33a2 2 一 32 423

43、一 33A.-6B.-3)C.2.3D.6设矩阵A,X 为同阶方阵，且 A 可逆，若4 (XE)=E,则矩阵X=()A.E+A-B.E-AC.E+AD.E-A3.设矩阵A,5 均为可逆方阵，则以下结论正确的是A.可逆，且其逆为AC.可逆，且其逆为BB.D.不可逆可逆，且其逆为A-1BABAB37B()AAB)B4.设 a 1，。2，是维列向量，则 a i，。2，线性无关的充分必要条件是()A.向量组a i，a?，。人 中任意两个向量线性无关B.存在一组不全为0 的数小 ，心 使得2 a 2+人。m 0C.向量组。2，。人 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D.向量组a 1，a?,，a 人 中

44、 任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量 20+夕=(1,一 2,-2,-1y,3二 +2夕=(1,一 4,一 3,0与则。+/=()A.(0,-2,-1,1)T B.(-2,0,-1,1)TC.(1,-1,-2,0)T D.(2,-6,-5,-1)T6.实数向量空间VM(x,y,z)l3工+2y+5z=0 的维数是()A.B.2C.3 D.47.设 a 是非齐次线性方程组A x H 的解，夕是其导出组Ax=O的解，则以下结论正确的是()A.a +夕是Ax=Q的解 B.a +夕是Ax=b的解C.夕-a 是4 x 4 的解 D.a-4 是Ax=O的解8.设三阶方阵A 的特征值分别为，,

45、3,则A”的特征值为()2 4AA c/1 r.I l l-2 匕 B-了 C.-,-,3 D.2,4,32 419.设矩阵4=2,则与矩阵A 相似的矩阵是()-11 -1A.-1 23-2C.111 0.以下关于正定矩阵叙述正确的是(A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵C.正定矩阵的行列式一定大于零0 1B.1 021D.-21)B.正定矩阵的行列式一定小于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每空2 分，共 20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。1 1.设 det(A)=L det(3)=2,且 A,5 为同阶方阵，则 det(AB)3)=.1 2-

46、21 2.设 3 阶矩阵A=4/3,B 为 3 阶非零矩阵，且A B=0,则仁.3-1 113.设方阵A 满足A忆,这里k 为正整数，则矩阵A 的逆4 工.14.实向量空间K的维数是.15.设 A 是加义矩阵，r(4)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为.16.非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是.17.设 a 是 齐 次 线 性 方 程 组 A x=0的解，而 是非齐次线性方程组Ax斗 的解，则A(3a+2)=.1 8 .设方阵A有一个特征值为8,则d e t (-8 E+A)=.1 9.设尸为阶正交矩阵，x是维单位长的列向量，则I W x l l=

47、.2 0 .二次型/(士,犬2，毛)=X；+5 x；+6 x；+4X,X2-2xtx3-2x2x的正惯性指数是三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)1 1-1 2-1 -1-4 12 1.计算行列式2 4-6 11 24 222 2.设 矩 阵4=3,且矩阵8满足求矩阵852 3.设 向 量 组1=(3,1,2,0),%=(0,7,1,3),4=(-1,2,0,1),%=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.-14 32 4 .设三阶矩阵A=-2 5 3 ,求矩阵A的特征值和特征向量.2-4-22 5 .求下列齐次线性方程组的通解.+

48、x3-5X4=0 -r(4)17.2518.020.3三、计芹BI（木大建共6小题，将小 的3分.共5 4分）1-1221.第：总行列式一00-5 302430002-105 00010001400000000-5 722.阿：由条件AR4，伍-I IM”,得从4F1故2*3 01 7 223.A （a：a：aj a：）=2 1 00 3 I故 q,叫 是 被 大 级 性 无 关 组，且。=5+2，-3 6 24.第；矩阵A 的特征多项式为：计 1*4-3|AJE-A|=2 A-5-3=A U-D,-2 4 A+2故 A 的特征M 为 向=0,4=阳=|对于A=0,求解齐次线性方粒细(。岳A)

49、x=O r得一个为8 嚼系为=1 ,故属于1=0 的全部特征向最为.-1.”r瓦 叫=M 1 为#0).-1财特征位入=入=1,考忠齐次线性方程组C E A)x=0求鼎得.其一个*即解系为:故 属 于 特 征 值 1=%=1 的仝部特征向最为，其 中 4 晶 不 全 为 025.解:对该齐次统性方程组的系数矩咫实行初等行交换得原方程组等於于 q =y,十 出工”工，为自由未知量一Xi2xi-Tx-t令故原方程组的通解为:e g 为任意畲败.26.解：对 A 能行初等行变换将共化成阶梯形I t l卜的I I。6数为3.故A的收为3.（9分）四、江 期 效I本大毁共】小曲，5分I2 7.在则：设4

50、 f -f R数 扁，*：*,便4。；+分*+*=。.（2 分）注宜，；.心 0只力*嫡，用力人的H等十3-未如n的个数.t t M W 0.从而如，备如 穗愎无关.（5分）全国2012年10月自考线性代数（经管类）试题课程代码：04184请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。说明：在本卷中，AT表示矩阵A 的转置矩阵，A表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，IAI表示方阵A 的行列式，r（A）表示矩阵A 的秩。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题