多目标决策分析方法概述52637.pptx

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1、第五章第五章 多目标决策分析多目标决策分析例例1:学校的扩建学校的扩建满足入学要求：扩建费用最少：例例2:候选人选择候选人选择年龄和健康状况：工作作风：品德：才能例例3:学生毕业后的择业选择学生毕业后的择业选择收入：工作强度：发展潜力：学术性：社会地位：地理位置：个人偏好：多目标决策的概念多目标决策的概念 系统方案的选择取决于多个目标的满足程度，这类决策问题称为多多目目标标决决策策，或称为多目标最优化多目标最优化。反之，系统方案的选择若仅取决于单个目标，则称这类决策问题为单目标决策，或称单目标最优化。单目标决策只有决策目标的决策。第一节第一节 多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系1

2、 12 2第二节第二节 多维效用并合方法多维效用并合方法3 3第三节第三节 层次分析方法层次分析方法4 4第四节第四节 DEA DEA方法方法5 5第五节第五节 目标规划方法目标规划方法5.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系 在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层分解，或者依据决策主体要求和实际情况需要，形成多层次结构的子目标系统，使得在最低一层子目标可以用单一准则进行评价，称之为目标准则体系目标准则体系。目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为准则层准则层。5.1.1

3、 目标准则体系的意义目标准则体系的意义构建多目标决策问题的目标准则体系，是多目标决策分析的前提。构造目标准则体系应注意的原则：系统性原则可比性原则可操作性原则在决策信息量充分的前提下，尽量减少子目标的个数，决策分析方法思路清晰，便于在计算机上实现。5.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系 5.1.2 目标准则体系的结构目标准则体系的结构 多目标决策问题的目标准则结构是复杂的，根据不同的实际情况，结构也不尽相同。通常，可将目标准则体系分成以下三种类型：（1）单层次目标准则体系（如图5-1所示）5.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系 （2）序列型多层次目标准则体系）序

4、列型多层次目标准则体系（如图5-2所示）目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可以继续分解，这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。（3 3）非序列型多层次目标准则体系）非序列型多层次目标准则体系 （如图5-3所示）某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。这类目标准则体系称为非序列型多层次目标准则体系。5.1.3 评价准则和效用函数评价准则和效用

5、函数 在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度满意度是综合评价可行方案的依据。5.1.4 目标准则体系风险因素的处理目标准则体系风险因素的处理

6、多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多目标问题就转化为确定型多目标问题。第一节第一节 多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系1 12 2第二节第二节 多维效用并合方法多维效用并合方法3 3第三节第三节 层次分析方法层次分析方法4 4第四节第四节 DEA DEA方法方法5 5第五节第五节 目标规划方法目标规划方法a1a2：amr1r2rsu1(a1)u2(a1)us(a1)u1(a2)u2(a2)us(a2)u1(am)u2(am)us(am)方案方案评价准则评价准则各方案在评价

7、准则下的效用值各方案在评价准则下的效用值第二节第二节 多维效用并合方法多维效用并合方法5.2.1 多维效用合并模型多维效用合并模型一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型 在图5-2中，设H表示可行方案的总效用值，即满意度 ，表示第二层子目标的效用值，如此类推，表示倒数第二层各子目标的效用值；表示最低一层各准则的效用值。符号“”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到 图图 5-2 5-2 序列型多层次目标准则体系序列型多层次目标准则体系 一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型 第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合

8、效用值 最后，可行方案 的满意度 多维效用并合的最满意方案为 ，其满意度 （5-1）图图 5-2 5-2 序列型多层次目标准则体系序列型多层次目标准则体系 5.2.2 多维效用并合规则多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。（一）距离规则（一）距离规则 二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。设二维效用函数 ，（5-2）公

9、式(5-2)可以推广到多维情形，（5-3）成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数 （二）代换规则（二）代换规则 二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到最高水平一样。代换规则的二维效用并合公式为（5-4）推广到多维情形，维效用并合的代换规则公式为 (5-5)（三）加法规则（三）加法规则 二维效用并合的加法规则适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由

10、另一目标效用值的增加得到补偿。加法规则的二维效用并合公式为 （5-6）加法规则 的维并合效用公式为 （5-7）（四）乘法规则（四）乘法规则 乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。乘法法则效用并合更一般的计算公式是 乘法法则的二维效用并合公式为（5-8）（5-9）n维效用并合乘法规则的计算公式为 (5-10)更一般的计算公式为（5-11）也可以表示为对数形式（5-12）（五）混合规则（五）混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般的

11、情况。混合规则的二维效用并合公式（5-13）其中，1称为形式因子。当 0时，经过简单恒等变形，公式（513）可以化为较为规范的形式（5-14）混合规则的n维效用并合公式为 (5-15)5.2.3 5.2.3 多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法应用实例（一）问题（一）问题经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命70年。制定人口控制目年。制定人口控制目标，宜以标，宜以100年为时间范围。需要确定，在年为时间范围。需要确定，在100年内，我国人口控制最合理的年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。总目标是多少。（二）方案（二）方案对我国总人口

12、目标的对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为2亿、亿、3亿、亿、4亿、亿、5亿、亿、6亿、亿、7亿、亿、8亿、亿、9亿、亿、10亿、亿、11亿、亿、12亿、亿、13亿、亿、14亿、亿、15亿亿14个人口方案分别记为个人口方案分别记为 ，其满意度分别设为，其满意度分别设为 。（三）目标准则体系（三）目标准则体系目标准则体系为序列型多层次结构。为了叙述方便起见，对该体系作了适当目标准则体系为序列型多层次结构。为了叙述方便起见，对该体系作了适当的简化处理，共分为五个层次，如图的简化处理，共分为五个层次，如图5-3所示。所示。5.2

13、多维效用并合方法多维效用并合方法 5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 1.总目标总目标 100年内我国最合理的人口目标年内我国最合理的人口目标2.分目标分目标共设四个分目标。共设四个分目标。分目标分目标1：根据我国资源和环境条件，在决策的时间范围内，能承受的供全国：根据我国资源和环境条件，在决策的时间范围内，能承受的供全国人民吃和用的能力，简称人民吃和用的能力，简称“吃用吃用”。分目标分目标2：根据我国国民经济发展规划，与总人口目标相适应的经济实力，简：根据我国国民经济发展规划，与总人口目标相适应的经济实力，简称称“实力实力”。分目标分目标3：根据我国计划生育政策，人民群众所能接受的最低

14、总和生育率，大：根据我国计划生育政策，人民群众所能接受的最低总和生育率，大约等于一对夫妇一生中平均生育孩子数，简称为约等于一对夫妇一生中平均生育孩子数，简称为 。分目标分目标4：我国总人口增长要与世界各国人口增长相适应。一个国家人口太多，：我国总人口增长要与世界各国人口增长相适应。一个国家人口太多，将成为社会经济发展的承重负担。但人口毕竟是一二国家的重要资源，也不将成为社会经济发展的承重负担。但人口毕竟是一二国家的重要资源，也不宜太少。一国人口与世界各国人口对比，简称宜太少。一国人口与世界各国人口对比，简称“各国对比各国对比”。以上四个分目标，在计算并合效用时，将以上四个分目标，在计算并合效用

15、时，将“吃用吃用”和和“实力实力”并合为效用值为并合为效用值为 ，“最低总生育率最低总生育率”和和“各国对比各国对比”并合为效用值并合为效用值 。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 3.子目标子目标 分目标分目标“吃用吃用”和和“实力实力”还不能用单一准则进行评价，需要作进一步的分解还不能用单一准则进行评价，需要作进一步的分解 分目标分目标“吃用吃用”先分解为先分解为“吃吃”和和“用用”两个子目标。子目标两个子目标。子目标“吃吃”和和“用用”还需还需要再作分解。要再作分解。“吃吃”分解为人均粮食需求和人均鱼肉需求两个更低一层次的子分解为人均粮食需求和人均鱼肉需求两个更低一层次的子目标，简

16、称目标，简称“粮食粮食”和和“鱼、肉鱼、肉”。这两个子目标均可以用单一准则评价，无需。这两个子目标均可以用单一准则评价，无需继续分解。同样，继续分解。同样，“用用”也可以分解为人均土地需求、人均空气需求、人均用也可以分解为人均土地需求、人均空气需求、人均用水需求三个低一层子目标，简称水需求三个低一层子目标，简称“土地土地”、“空气空气”、“水水”，不必再继续分解。，不必再继续分解。这样，分目标吃用最后分解为这样，分目标吃用最后分解为5个最低一层子目标，其评价效用值分别为个最低一层子目标，其评价效用值分别为 分目标分目标“实力实力”可以分解为人均能源需求和人均国民生产总值两个子目标，可以分解为人

17、均能源需求和人均国民生产总值两个子目标，简称简称“能源能源”和和“”。这两个子目标均可以用单一准则评价，故不必再行分。这两个子目标均可以用单一准则评价，故不必再行分解，其评价效用值分别记为解，其评价效用值分别记为 。分目标分目标“最低总和生育率最低总和生育率”()和和“各国对比各国对比”均可以用单一准则评价，均可以用单一准则评价，故不必分解，其效用值分别记为故不必分解，其效用值分别记为 。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 （四）评价准则和效用（四）评价准则和效用 我国总人口目标问题的目标准则体系中，最低我国总人口目标问题的目标准则体系中，最低一层共有一层共有9个子目标或分目标，分别用个

18、子目标或分目标，分别用9个准则体系个准则体系度量，测定相应的效用函数，计算各人口方案的效度量，测定相应的效用函数，计算各人口方案的效用值。这里，各子目标效用函数测定和各方案效用用值。这里，各子目标效用函数测定和各方案效用值，仅以子目标值，仅以子目标“粮食粮食”、“土地土地”、“水水”、“能源能源”、“”为例加以说明，其余子目标效用值计算结果，为例加以说明，其余子目标效用值计算结果，请参见表请参见表5-1.5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 1.粮食粮食我国我国1949年粮食平均亩产量为年粮食平均亩产量为137斤，斤，1979年为年为332.1442.8斤斤（按耕地面积（按耕地面积12亿亩

19、或亿亩或15亿亩计算），平均年增长率为亿亩计算），平均年增长率为3.00%3.99%，平均年增长量为，平均年增长量为6.510.2斤斤/亩。亩。1979年世界各国粮农年世界各国粮农年亩产水平，日本为年亩产水平，日本为740斤斤/亩，法国为亩，法国为591斤斤/亩，美国为亩，美国为486斤斤/亩。如果按此增长速度测算，亩。如果按此增长速度测算，100年后我国年亩产量可达到年后我国年亩产量可达到982.11461.8斤斤/亩，其平均增长率为亩，其平均增长率为0.8%1.1%。根据这一预测数。根据这一预测数字，可计算出字，可计算出14个人口方案的人均粮食量。按照联合国粮农组个人口方案的人均粮食量。按

20、照联合国粮农组织有关人均耗粮标准资料测算，总人口数织有关人均耗粮标准资料测算，总人口数 12.6亿时，人均粮亿时，人均粮食需求量为最优值，取食需求量为最优值，取 =12.6亿，效用值亿，效用值 。总人口数。总人口数 64.8亿，人均粮食需求量为最劣值，取亿，人均粮食需求量为最劣值，取 =64.8亿，亿，。根据效用函数导出方法，可以求出根据效用函数导出方法，可以求出“粮食粮食”准则的效用函数准则的效用函数 （见图（见图5-4），并计算出），并计算出14个方案的效用值。个方案的效用值。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 图图5-4 粮食目标准则的效用函数粮食目标准则的效用函数5.2 多维效用

21、并合方法多维效用并合方法 2.土地土地我国现有耕地我国现有耕地20亿亩，占全国土地的亿亩，占全国土地的14%。由于社会经济不断。由于社会经济不断发展，非发发展，非发占用耕地的现象日趋突出，加之土地沙化现象严重，我国根底占用耕地的现象日趋突出，加之土地沙化现象严重，我国根底面积不断减少。我国森林面积面积不断减少。我国森林面积18.3亿亩。占全国土地亿亩。占全国土地12.7%，可，可耕荒地约耕荒地约15亿亩。根据有关资料分析，随着我国保护耕地的政亿亩。根据有关资料分析，随着我国保护耕地的政策法规不断完善，各级政府有关部分保护耕地管理工作力度加策法规不断完善，各级政府有关部分保护耕地管理工作力度加大

22、，大，100年后耕地面积可望达到占全国土地的年后耕地面积可望达到占全国土地的24%。按照人均。按照人均耕地增长和人口总数增长比例测算认定，总人口耕地增长和人口总数增长比例测算认定，总人口 10亿时，人亿时，人均土地占有量为最优值，取均土地占有量为最优值，取 =10亿。当总人口数亿。当总人口数 56.7时，人时，人均土地占有量为最劣值，取均土地占有量为最劣值，取 亿。导出亿。导出“土地土地”准则的效准则的效用函数用函数 （见图（见图5-5），并计算出），并计算出14个方案的效用值，即个方案的效用值，即5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 图图5-5 土地目标准则的效用函数土地目标准则的效用函

23、数5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 3.水水我国是一个缺水大国，特别是干旱的北方。由于环境和水资源我国是一个缺水大国，特别是干旱的北方。由于环境和水资源的污染，使得的污染，使得缺水问题日趋严重。缺水问题日趋严重。1979年，我国工农用水和生活用水，每年年，我国工农用水和生活用水，每年人均约人均约 400500 吨。而同期，美国人均用水量为吨。而同期，美国人均用水量为2880吨，日本吨，日本人均年用水量为人均年用水量为789吨，我国与一些发达工业国家的人均用水量吨，我国与一些发达工业国家的人均用水量还有相当的距离。根据我国人口增长、工农业生活用水增长和还有相当的距离。根据我国人口增长、工

24、农业生活用水增长和水资源开发利用等情况，结合世界各国用水资料对比分析，认水资源开发利用等情况，结合世界各国用水资料对比分析，认定总人口数定总人口数 4.5 亿时，人均用水需求量准则其效用为最优值，亿时，人均用水需求量准则其效用为最优值，取取 =4.5 亿。当总人口数亿。当总人口数 54 亿时，人均用水需求量准则其亿时，人均用水需求量准则其效用为最劣值，取效用为最劣值，取 亿，导出相应效用函数亿，导出相应效用函数 （见图（见图5-6），并计算各方案的效用值，即），并计算各方案的效用值，即 5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 图图5-6 水目标准则的效用函数水目标准则的效用函数5.2 多维效

25、用并合方法多维效用并合方法 4.能源能源我国能源以煤炭为主，其他能源包括水力、石油、天然气、太我国能源以煤炭为主，其他能源包括水力、石油、天然气、太阳能、原子阳能、原子能等。能等。1979年，我国人均能源消耗量折合年，我国人均能源消耗量折合1.472.24吨标煤吨标煤/人人年，而美国同期人均能耗为年，而美国同期人均能耗为11.574吨标煤吨标煤/人人年。根据我国的能年。根据我国的能源蕴藏量和人口增长情况，按世界各国人均能源需求标准测算，源蕴藏量和人口增长情况，按世界各国人均能源需求标准测算，认定总人口认定总人口 11.5 亿时，人均能源需求量的效用函数最优，取亿时，人均能源需求量的效用函数最优

26、，取 =11.5。随着总人口增加，其效用函数值逐渐减少，当总人口数。随着总人口增加，其效用函数值逐渐减少，当总人口数超过超过50亿时，其效用函数值接近于亿时，其效用函数值接近于0，导出能源目标准则效用函，导出能源目标准则效用函数数 （见图（见图5-7），计算各方案的效用值，即），计算各方案的效用值，即 5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 图图5-7 能源目标准则效用函数能源目标准则效用函数5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 5.人民群众可能接受的最低总和生育率人民群众可能接受的最低总和生育率 是人口规划的重要指标，是人口规划的重要指标，近似地等于一对夫妇一生中平均生育的孩子数。近似

27、地等于一对夫妇一生中平均生育的孩子数。1979年，我国年，我国总和生育率为总和生育率为2.2。按近几年情况测算，每年大约下降。按近几年情况测算，每年大约下降0.1。根据。根据我国城市一胎率为我国城市一胎率为90%，农村一胎率为，农村一胎率为40%测算，预计测算，预计100年后，年后，我国总人口数是我国总人口数是 6.037.77亿，这是完全可能实现的。因此，认亿，这是完全可能实现的。因此，认定总人口数定总人口数 7亿时，亿时，目标效用值最优，取目标效用值最优，取 =7亿。假设亿。假设100年内一胎率达到年内一胎率达到100%，预测，预测100年后总人口数为年后总人口数为2.333.07亿，根据

28、我国国情难以实现。因此，认定亿，根据我国国情难以实现。因此，认定 3 时，时，目标效用目标效用值最劣，取值最劣，取 ，导出，导出 目标效用函数目标效用函数 （见图（见图5-8），），各方案的效用值依次为各方案的效用值依次为5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 图图5-8 目标的效用函数目标的效用函数5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 （五）多维效用并合过程（五）多维效用并合过程按照目标准则体系层次结构（图按照目标准则体系层次结构（图5-3），从下至上逐层进行效用并合。），从下至上逐层进行效用并合。最低一层最低一层9个子目标和分目标分为四类进行并合。个子目标和分目标分为四类进行并合。（

29、1）（粮食）、（粮食）、（鱼、肉），两者强烈关联，对于解决（鱼、肉），两者强烈关联，对于解决“吃吃”的问的问题，题，“粮食粮食”和和“鱼、肉鱼、肉”不可缺一。即其中一种十分缺乏而另一种相当不可缺一。即其中一种十分缺乏而另一种相当充分，并合效用都是不满意的。因此，两者并合宜用乘法规则，并在充分，并合效用都是不满意的。因此，两者并合宜用乘法规则，并在层次结构图中层次结构图中 ，两分枝交叉处注明乘法规则记号两分枝交叉处注明乘法规则记号“”。（2）（土地），（土地），（空气），（空气），（水），这三个子目标效用并合，先（水），这三个子目标效用并合，先将将 ，并合，再与并合，再与 并合。并合。“空气空气

30、”和和“水水”二目标缺一不可，相互不二目标缺一不可，相互不能代换和补偿，宜用乘法规则并合。并合结果再与能代换和补偿，宜用乘法规则并合。并合结果再与“土地土地”的效用的效用 并并合，也宜用乘法规则。将并合规则记号注明在图上相应处。合，也宜用乘法规则。将并合规则记号注明在图上相应处。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 （3）（能源），（能源），（）两者缺一不可，相互不能代换和补偿，）两者缺一不可，相互不能代换和补偿，宜用乘法规则并合，再图上注明记号。宜用乘法规则并合，再图上注明记号。（4），（各国对比），二目标效用同样宜用乘法规则并，（各国对比），二目标效用同样宜用乘法规则并合，并注明记号。

31、合，并注明记号。上述四类目标效用并合结果，得到上一层次子目标并合效用结上述四类目标效用并合结果，得到上一层次子目标并合效用结果果 （吃），（吃），（用），（用），（实力），（实力），按乘法规则计算并合，按乘法规则计算并合效用值，故有效用值，故有5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 按照层次结构图按照层次结构图5-3，继续进行倒数第二层次目标效用并合，继续进行倒数第二层次目标效用并合，（吃），（吃），（用）二效用可以以线性地相互补偿，宜用加法规则，（用）二效用可以以线性地相互补偿，宜用加法规则，在上图相应处注明记号在上图相应处注明记号“+”。民以食为天，。民以食为天，“吃吃”和和“用用”的权

32、数分的权数分别取别取 ，于是，于是“吃用吃用”效用值效用值 （吃用），（实力）二标效用之间，相互可以线性地补偿而（吃用），（实力）二标效用之间，相互可以线性地补偿而不能替代，宜用加法规则，权系数分别取作不能替代，宜用加法规则，权系数分别取作 。于是。于是 最近，将上述功效系数并合为总效用值，即我国总人口方案的最近，将上述功效系数并合为总效用值，即我国总人口方案的满意度满意度 。将上述各层次目标效用值计算结果代入上式，得到。将上述各层次目标效用值计算结果代入上式，得到满意度满意度 计算公式计算公式 （5-16）5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 至此，全部效用并合过程完成，将至此，全部效用

33、并合过程完成，将14个目标方案各目标效用值个目标方案各目标效用值 代入（代入（5-16）式，得到）式，得到14个总人口方案的满意度，计算个总人口方案的满意度，计算结果如表所结果如表所5-1示。示。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 计算结果表明，我国总人口目标控制在计算结果表明，我国总人口目标控制在710亿时，满意度相对亿时，满意度相对较高，均在较高，均在0.82以上，其中方案以上，其中方案 （7亿）为最满意，其满意度亿）为最满意，其满意度其次满意的方案是方案其次满意的方案是方案 （8亿），亿），（9亿），亿），（10亿）。即亿）。即各方案满意度变化情况可以用图各方案满意度变化情况可以用

34、图5-9表示。表示。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 图图5-9 各方案满意度变化情况各方案满意度变化情况“我国总人口目标我国总人口目标”课题的研究结论，可以作为国家制定社会经课题的研究结论，可以作为国家制定社会经济发展战略和人口政策的重要参考。为使我国在济发展战略和人口政策的重要参考。为使我国在21世纪中期，世纪中期，综合国力达到中等发达国家水平，将我国总人口控制在综合国力达到中等发达国家水平，将我国总人口控制在710亿为适宜。亿为适宜。5.2 多维效用并合方法多维效用并合方法 第一节第一节 多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系1 12 2第二节第二节 多维效用并合方法多

35、维效用并合方法3 3第三节第三节 层次分析方法层次分析方法4 4第四节第四节 DEA DEA方法方法5 5第五节第五节 目标规划方法目标规划方法5.3 层次分析法（层次分析法（AHPAHP法）法）层次分析法概述层次分析法概述层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的应用层次分析法的应用层次分析法的发展层次分析法的发展(1)(1)层次分析法概述层次分析法概述 层层次次分分析析法法（Analytic Hierarchy Process，简简称称AHP）是是2020世世纪纪7070年年代代由由美美国国学学者者萨萨蒂蒂最最早早提提出出的的一一种种多多目目标标评评价价决策法。决策法。将将决决策

36、策者者对对复复杂杂系系统统的的评评价价决决策策思思维维过程数学化过程数学化,保持决策者思维的一致性。保持决策者思维的一致性。先分解后综合的系统思想先分解后综合的系统思想在决策中使用在决策中使用AHPAHP法的优点：法的优点：简洁性简洁性;应用只需掌握简单的数学工应用只需掌握简单的数学工具具 实用性实用性;定性与定量结合定性与定量结合,应用范围广应用范围广系统性系统性;解决复杂问题解决复杂问题,系统的各个组系统的各个组成部分与相互关系成部分与相互关系(2)层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤建立层次结构模型；建立层次结构模型；构造判断矩阵；构造判断矩阵；层次单排序及一致性检验；层次单排序及一

37、致性检验；层次总排序及一致性检验。层次总排序及一致性检验。建立层次结构模型建立层次结构模型多级递阶结构一般可以分成三层，即目标多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。层，准则层和方案层。目标层：目标层：解决问题要想达到的目标。解决问题要想达到的目标。准则层：准则层：针对目标，评价各方案时所考针对目标，评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。层细分。方案层：方案层：解决问题的方案。解决问题的方案。分解法：目的分解法：目的 分目标分目标(准则准则)指标指标(子准则子准则)方案方案 例：例：例：例：购买某型号设备购买某型号设备购

38、买某型号设备购买某型号设备在功能、价格、维护三个方面进行考虑在功能、价格、维护三个方面进行考虑在功能、价格、维护三个方面进行考虑在功能、价格、维护三个方面进行考虑例例例例 挑选合适的研究工作挑选合适的研究工作挑选合适的研究工作挑选合适的研究工作有三个单位表示愿意录用某毕业生，该生根据已有有三个单位表示愿意录用某毕业生，该生根据已有有三个单位表示愿意录用某毕业生，该生根据已有有三个单位表示愿意录用某毕业生，该生根据已有信息建立了一个层次结构模型。信息建立了一个层次结构模型。信息建立了一个层次结构模型。信息建立了一个层次结构模型。层次结构往往用结构图形式表示，图层次结构往往用结构图形式表示，图中标

39、明上一层次与下一层次要素之间中标明上一层次与下一层次要素之间的联系。的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为要素均有联系，称为完全相关结构。完全相关结构。如上一层每一要素都有各自独立的、完如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为全不相同的下层要素，称为完全独立性结完全独立性结构构由上述两种结构结合的由上述两种结构结合的混合结构混合结构完全相关结构完全相关结构完全独立性结构完全独立性结构混合结构混合结构 判断矩阵判断矩阵判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据算各要素

40、权重的重要依据。建立判断矩阵建立判断矩阵假设在准则假设在准则H下要素下要素 的权重分别的权重分别为为 ，即，即 表示以判断准则表示以判断准则H 的角度考虑要素的角度考虑要素 对对 的相对重要程度。的相对重要程度。对于准则对于准则H，对下一层的，对下一层的n个要素个要素进行两两比较，来确定矩阵的元素值进行两两比较，来确定矩阵的元素值 应该满足：应该满足：判断尺度判断尺度判断矩阵中的元素判断矩阵中的元素 是表示两个要素的相对重是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所示。示。选择选择19之间的整数及其倒数作为之间的整数及其倒数作为ai

41、j取值的主取值的主要原因是，它符合人们进行比较判断时的心理习要原因是，它符合人们进行比较判断时的心理习惯惯实验心理学表明，普通人在对一组事物的某种属实验心理学表明，普通人在对一组事物的某种属性同时作比较、并使判断基本保持一致时，所能性同时作比较、并使判断基本保持一致时，所能够正确辨别的事物最大个数在够正确辨别的事物最大个数在59 判断矩阵标度定义判断矩阵标度定义判断矩阵标度定义判断矩阵标度定义标度标度含义含义1两个要素相比，具有同样重要性两个要素相比，具有同样重要性3两个要素相比，前者比后者稍微重要两个要素相比，前者比后者稍微重要5两个要素相比，前者比后者明显重要两个要素相比，前者比后者明显重

42、要7两个要素相比，前者比后者强烈重要两个要素相比，前者比后者强烈重要9两个要素相比，前者比后者极端重要两个要素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8上述相邻判断的中间值上述相邻判断的中间值倒数倒数两个要素相比，后者比前者的重要性标度两个要素相比，后者比前者的重要性标度相对重要度及判断矩阵的最大特征相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算值的计算(单排序单排序)在应用层次分析法进行系统评价和决策在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道时，需要知道Ai关于关于H 的相对重要度，也的相对重要度，也就是就是Ai关于关于H 的权重的权重由于判断矩阵由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征的最大特征值所

43、对应的特征向量即为向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出处理，即可求出Ai i关于关于H的相对重要度的相对重要度.求求A的最大的最大特征值和特征值和其对应的其对应的特征向量特征向量单单位位化化权重权重向量向量W(a)求和法求和法(算术平均法算术平均法)A A的元素按列归一化的元素按列归一化将归一化后的各行相加将归一化后的各行相加将相加后的向量归一化将相加后的向量归一化（b b）方根法）方根法(几何平均法几何平均法)A A的元素按行相乘的元素按行相乘开开n n次方次方归一化归一化

44、(c)(c)特征根方法特征根方法 由由正正矩矩阵阵的的PerronPerron定定理理可可知知 存存在在且且唯唯一一，W W的的分分量量均均为为正正分分量量，可可以以用用幂幂法法求求出出 及及相相应应的的特特征征向向量量W W。该该方方法法对对AHPAHP的发展在理论上有重要作用。的发展在理论上有重要作用。(d)(d)最小二乘法最小二乘法 用拟合方法确定权重向量用拟合方法确定权重向量 ，使残差平方和为，使残差平方和为最小，这实际是一类非线性优化问题。最小，这实际是一类非线性优化问题。普通最小二乘法普通最小二乘法 对数最小二乘法对数最小二乘法 求特征值：求特征值：相容性（一致性）判断相容性（一致

45、性）判断根据矩阵理论，判断矩阵在满足上述一根据矩阵理论，判断矩阵在满足上述一致性的条件下，致性的条件下，n阶矩阵具有唯一非零的、阶矩阵具有唯一非零的、也是最大的特征值也是最大的特征值 ，其余特征，其余特征值均为零。值均为零。W 是矩阵是矩阵A 的对应于特征值的对应于特征值n 的特征向的特征向量。量。由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三个足，第三个“一致性一致性“则不易保证。如判断矩阵则不易保证。如判断矩阵A被判断为被判断为A有偏差，则称有偏差，则称A为不相容判断矩为不相容判断矩阵，这时就有阵，这时就有 若矩阵若矩阵A 完全相容，则有完全相容，

46、则有max=n，否则，否则maxn 这样就提示我们可以用这样就提示我们可以用max-n的关系来度量的关系来度量偏离相容性的程度。偏离相容性的程度。度量相容性的指标为度量相容性的指标为C.I.一般情况下，若一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判，就可认为判断矩阵断矩阵A有相容性，据此计算的有相容性，据此计算的W 是可是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。以接受的，否则重新进行两两比较判断。一致性检验：一致性检验：判断矩阵的维数判断矩阵的维数判断矩阵的维数判断矩阵的维数n n越大，判断的一致性将越差，越大，判断的一致性将越差，越大，判断的一致性将越差，越大，判断的一致性将越差，为为为为克服一

47、致性判断指标随克服一致性判断指标随克服一致性判断指标随克服一致性判断指标随n n增大而明显增大的弊增大而明显增大的弊增大而明显增大的弊增大而明显增大的弊端端端端，于是引入修正值，于是引入修正值，于是引入修正值，于是引入修正值R.I.R.I.，见下表：，见下表：，见下表：，见下表：n12345678910R.I.000.580.891.121.261.361.411.461.49R.I.是同阶平均随机一致性指标是同阶平均随机一致性指标C.R.作为衡量判断矩阵一致性的指标更为作为衡量判断矩阵一致性的指标更为合理的合理的 C.R.0.1时，便认为判断矩阵具时，便认为判断矩阵具有满意的一致性有满意的一

48、致性综合重要度的计算综合重要度的计算最终归结为最低层（方案、措施、指标最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣的次序。程度的权值或相对优劣的次序。层次分析法的步骤层次分析法的步骤:1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 将目标准则体系所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、方案层等，构建递阶层次结构模型。2.2.构造判断矩阵构造判断矩阵 按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过

49、归一化处理，即得层次单排序权重向量。4.4.层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。(3)层次分析法的应用层次分析法的应用 建立层次结构模型人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如：假期旅游，现有三个目的地可供选择（方案）：风光绮丽的杭州（），迷人的北戴河（），山水甲天下的桂林（）。有5个行动方案准则：景色、费用、居住、饮食、旅途情况。案例案例1:目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途 准则层 方案层 图5.1 选择旅游地的层次结构 构造判断矩阵 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩阵。设准则

50、层5个准则 景色，费用，居住，饮食 旅途。相对于目标层：选择旅游地，两两比较打分。相对重要程度定义解释135792，4，6，8同等重要略微重要相当重要明显重要绝对重要介于两重要程度之间目标i比j同样重要目标i比j略微重要目标i比j重要目标i比j明显重要目标i比j绝对重要选择旅游地景色费用居住饮食旅途相对于景色相对于费用相对于居住相对于饮食相对于旅途 层次单排序所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素的重要性的排序。具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足的特征根于特征向量，式中 为 的最大最大特征根，为对应于 的正规化的特征向量，的分量 即是相应元素单排序的权值。自上而下，先求判断矩