第二章复变函数的积分优秀课件.ppt

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1、第二章复变函数的积分1第1页，本讲稿共20页2.1 2.1 复变函数的积分复变函数的积分 1.1.定义及其计算定义及其计算:(1)(1)定义：设在复平面的某段光滑曲线定义：设在复平面的某段光滑曲线l l上定上定义了连续函数义了连续函数f(z)，在，在l上取一系列分点上取一系列分点,z,z0 0，z z1 1.z zn n 把把l分成分成n n个小段个小段.在每个小段在每个小段zzk k=z=zk-1k-1-z-zk k上任取点上任取点k k,作和作和 ：于于nn而而且且每每一一小小段段都都无无限限缩缩短短时时,如如果果这这个个和和的的极极限限存存在在,而而且且其其值值与与各各个个k k的的选选

2、取取无无关关,则则这这个个极极限限称称为为函函数数f(z)沿沿曲曲线线l从从A A到到B B路积分路积分,记作记作第2页，本讲稿共20页(2)(2)复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分 ：(3)(3)计算：设在计算：设在，上曲线上曲线 l 的方程是：的方程是：z(t)=x(t)+iy(t)例例1 1 证明证明 证：证：第3页，本讲稿共20页例例2 2 计算：计算：解：解：O1+iyxl1l2l2l1 可见可见,两个积分两个积分,虽然被积函数相同虽然被积函数相同,起点起点,终点亦相同终点亦相同,但由于积分路径但由于积分路径不同不同,其结果并

3、不相同其结果并不相同,一般来说一般来说,复变函数积分之不仅依赖与起点和终复变函数积分之不仅依赖与起点和终点点,同时还与积分路径有关同时还与积分路径有关.第4页，本讲稿共20页(4)(4)积分性质：积分性质：第5页，本讲稿共20页2.2 Cauchy 2.2 Cauchy 定理定理 1.1.单连通区域单连通区域Cauchy Cauchy 定理定理 证明：证明：单通区域：单通区域：是这样的区域是这样的区域,在在B B上作任何简单的闭合围线上作任何简单的闭合围线,围线内围线内的点都是属于该区域的点都是属于该区域B.B.单通区域柯西定理单通区域柯西定理:如果函数如果函数f(z)在闭单通区域在闭单通区域

4、 解析解析,则沿则沿 上任一分段光滑闭合曲线上任一分段光滑闭合曲线 l(也可以是也可以是 的边界的边界),),有有 由由于于f(z)f(z)在在 上上的的解解析析,因因而而 在在 上上连连续续,对对上上式式右右端端实实部部和和虚虚部部分别用格林公式分别用格林公式 dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzflll),(),(),(),()(+-=第6页，本讲稿共20页由于由于f(z)在上的解析在上的解析 ，其实部，其实部u 和虚部和虚部v 满足柯西黎曼条件满足柯西黎曼条件 ，代入之即，代入之即得结论。得结论。定理条件还可以减弱：定理条件还可以减弱：如果函数如果函数f(z)在单通区域在单通

5、区域B B上解析上解析,在闭在闭 单通区域单通区域 上连续上连续,则沿则沿 上任一段分光滑上任一段分光滑l(也可以是也可以是 的边界的边界),),有有 推论：推论：f(z)在在 上解析上解析 与积分路径无关。与积分路径无关。第7页，本讲稿共20页2.2.复连通区域复连通区域Cauchy Cauchy 定理：定理：(1)(1)复连通区域：复连通区域：有奇点的情况有奇点的情况l1l2(2)(2)区域围线正向：当观察者沿着这个方区域围线正向：当观察者沿着这个方向前进时向前进时,区域总在观察者的左边区域总在观察者的左边.(3)(3)定理：定理：如果如果f(z)是闭复通区域是闭复通区域 上单值解析函数上

6、单值解析函数,则则 式中式中:l 为区域外境界线为区域外境界线,诸诸 li 为区域内境界线为区域内境界线,积分均沿境界线的正积分均沿境界线的正方向进行方向进行.第8页，本讲稿共20页证明：作割线，化复连通区域为单连通区域证明：作割线，化复连通区域为单连通区域 1 1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。2 2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零 3 3）复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境）复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境 界线逆

7、时针方向积分。界线逆时针方向积分。DBABDCACl1lil第9页，本讲稿共20页例例1 1：证明：证明解解:若回路若回路l不不包围点包围点,则被积函数在则被积函数在l 在所在区在所在区域上是解析的域上是解析的,按照柯西定理按照柯西定理,积积分值为零分值为零.llRRl包围点包围点，应用，应用复连通区域复连通区域Cauchy Cauchy 定理得：定理得：第10页，本讲稿共20页解：解：应用复通区域应用复通区域Cauchy Cauchy 定理：定理：例例2 2：计算：计算01ll1l2第11页，本讲稿共20页F(z)在在B B上是解析的上是解析的,且且F(z)=f(z),即即F(z)是是f(z

8、)的一个原函数的一个原函数.2.3 2.3 不定积分不定积分 函数函数 f(z)在单通区域在单通区域 B B 上解析上解析,则沿则沿 B B 上任一路径上任一路径l 的积分的积分 的值的值只与起点和终点有关只与起点和终点有关,与路径无关与路径无关.因此因此,当起点当起点z z0 0 固定时固定时,这个积分就定义了这个积分就定义了一个单值函数：一个单值函数：证明：证明：我们只要对我们只要对B B上任一点上任一点z证明证明F(z)=f(z)就行了就行了.以以z为圆为圆心作一含于心作一含于B B小圆小圆.在小圆内取在小圆内取 点点 z0zz+z第12页，本讲稿共20页由于由于z z在在B B上连续上

9、连续,对于任意给定的正数对于任意给定的正数,必须存在正数必须存在正数使使得当得当 F(z)=f(z)的函数的函数F(z)称为称为f(z)在在B上的一个不定积分，或原函数，同实函数上的一个不定积分，或原函数，同实函数一样，一样，第13页，本讲稿共20页证明：证明：应用复连通应用复连通CauchyCauchy定理，得定理，得2.4 2.4 CauchyCauchy积分公式积分公式 1.1.单通区域单通区域CauchyCauchy积分公式积分公式 若若f(z)在在闭闭单单通通区区域域 上上解解析析,l 为为的的围围线线,为为 内内任任意意一一点点,则则有柯西公式有柯西公式:可见只要证明上式右端第一项

10、等于零即可。估计：可见只要证明上式右端第一项等于零即可。估计：ll 第14页，本讲稿共20页其中：其中：max|f(z)-f()|是是|f(z)-f()|在在 l 上的最大值上的最大值.令令 则则 ,由于由于 f(z)连续性连续性,因而有因而有即即,，于是，于是,一般写为：一般写为：解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。第15页，本讲稿共20页证明方法证明方法2 2第16页，本讲稿共20页2.2.复通区域复通区域CauchyCauchy积分公式积分公式 3.3.无界区域无界区域CauchyCauchy积分公式积分公式 ll1CRlz由由于于f(z)

11、在在无无限限远远处处连连续续,即即任任给给00总总能能找找到到相应的相应的R1,使得当使得当|z|R1时有时有,其中其中 有界有界,于是只要于是只要R R1,则有则有:第17页，本讲稿共20页既有：既有：所以：所以：特别特别f()=0：第18页，本讲稿共20页4.4.解析函数的无限次可微性：解析函数的无限次可微性：CauchyCauchy积分公式积分号下对积分公式积分号下对z z求导求导,得得 反复在积分号下求导反复在积分号下求导,得得 可以证明求导可以证明求导是合法的是合法的模数原理模数原理：设：设f(z)在某个闭区域上为解析在某个闭区域上为解析,则则|f(z)|只能在境界线只能在境界线l上取上取最大值最大值.刘维尔定理：刘维尔定理：如如f(z)平面上为解析平面上为解析,并且是有界的并且是有界的,即即 则则f f(z z)必为常数必为常数 5.5.推论：推论：第19页，本讲稿共20页例例1：例例2：i-ill1l2复连通柯西定复连通柯西定理理第20页，本讲稿共20页