2023年经济数学学习指导.pdf

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1、经济数学基础学习指导【学习进度安排表】（供参考，可酌情自行安排）每年上半年和下半年各安排一次考试,分别在6 月份和12月份,每各学期的学习时间为5 个月，分别安排如下（其中的（1.1 ）表 达 1 月 1 号，其它类似）第一章极限与连续1.1-1.2 0,7.1-7.20第二章导数与微分1.2 1-2.1 0,7.21-8.1 0第三章导数的应用2.1 1-3.1 ,8.11-8.3 1第四章不定积分3.2-3.2 0,9.1-9.20第 五 章 定 积 分3.2 1 -4.1 0,9.2 1 -10.10第六章多元函数微分学4.1 1-4.30,1 0.11-10.3 1复习，准备考试5.1

2、,11.1-希望同学们在学习的时候，认真看视频课件,每一章的最后几次课，都是对参考书（高等教育出 版 社 顾 静 相 经 济 数 学 基 础（上册）第 二 版）上的习题的讲解，希望大家在看完有关章节的内容后，自行完毕相应本节内容的习题,完毕习题后，对于有疑问的地方，可以直接看这部分课件的相应内容,对于这部分课件，不一定安顺序来看,可以作为大家查阅题目解法的资料来用，但是，规定大家一定要自己做过题目之后，再来看这一部分课件，即使作不出来，只要思考了，再看一下这部分课件,就可以起到事半功倍的效果。【章节知识点和重点难点】第 一 章 极 限 与 连 续【知识点】函数、极限【重点难点】本章重要讲述了函

3、数和极限两个问题。1 .函数理解函数概念一方面应当明确它是不同于相关关系的拟定性关系，另一方面要能对的拟定函数的定义域和判断它的值域，理解函数符号f 的含义。在理解函数概念的基础上，还要进一步掌握函数几种特性的表达式和几何意义，反函数的概念，分段函数的概念和求值得方法，六类基本初等函数的性质和图像，复合函数和初等函数的概念。2.极限在了解数列极限的定义、函数极限的定义(六种形式)、极限存在的充足必要条件的基础上，掌握极限的运算法则和下列求极限的方法：(1)运用函数的连续性求极限设f(x)是初等函数，定义域为(a,b),若X。e(a,b),则l i m f(x)=f(x 0)。X T X。我们知

4、道求函数值一般是不需要技巧的,因此这种求极限的方法是非常容易掌握的，它是求极限的首选方法。(2)当函数y=f(x)在点X。处连续时，可以互换函数符号和极限符号，即l i m f(x)=f(l i m x)X XQXT X。(3)运用无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小求极限。(4)运用无穷小量与无穷大量的倒数关系求极限。(5)运用以下两个重要极限及其推论求极限，即cin v f 1 V(i)l i m-=1；(i i)l i m 1 +=或1 1 0 1(1 +。；=e,及其推论：x f 0 x x y x-0 7l.i.m-s-i-n-k-x =k.,li m-t-a-n-k-x =k.(Zk1

5、 w O小)X TO x A-0 x.z xbx+cl i m l i mS i n a X=(a h 0,b H 0)和 l i m 1 +=ei l b(a,b,c 为常数)r w x fO s i n b x b x J对于有理分式的极限，可以按照下面归纳的方法来求。(l)Xf X。时，当分母极限不为零时，可直接运用函数的连续性求极限。当分母极限为零时，又分为两种情况:假如分子极限不为零，则由无穷小量与无穷大量的倒数关系可得原式的极限为无穷大;假如分子极限也为零，则分解因式，消去无穷小量因子后再求极限。(2)x f o o时,有下面的结论(a。*0,b0*0):0 n maoxn+aXn

6、 1 H-Fa a0l i m -：-=一 n=m.m函数概念和极限概念相结合的出的函数连续性的概念是本章的另一个重要概念，函数连续性这部分重要应掌握函数在点x 0 连续的两个等价定义、函数在点X。连续和在该店极限存在的关系、判断间断点的条件和初等函数的连续性。【课程自主学习规定】1、了解反函数、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念；左、右极限的概念;无穷小、无穷大的概念；闭区间上连续函数的性质。2、理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念;需求函数与供应函数的概念;函数极限的定义;无穷小的性质;函数在一点连续的概念；初等函数的连续性。3、掌握复合函数的复合过程；极限四

7、则运算法则。4、会用函数关系描述经济问题;对无穷小进行比较;用两个重要极限求极限；判断间断点的类型;求连续函数和分段函数的极限。【课程章节作业】1、求函数y =竿的定义域。y/2-X2、设/(x)=x +l ,求/(/(幻+1)。设/(无)=+1,则/(/(x)=(。).X3、下列函数中，哪两个函数是相等的函数：A./(X)=叱 与 g(f)=Mx2-1B./()=-1与 g(x)=x +lx-1x-1 X 14、设i ，求函数的定义域及/(2),/(0)。V l-x x 0(5)lim(xex+一)o x-19、填空、选择题(1)下列变量中，是无穷小量的为()A.In (x-01)B.In

8、1)xx-2C.e*(x 0)D.-(x-2)x-4(2)下列极限计算对的的是()。A.lim xsin =lim xlim sin =0 x-0 x X TO X-0tan 2x口rB.limt-an-2-x=lrim 2qx =11x-0 sin 2x sin 2x2xC.lim(Vx2+x-x)=lim 7x2+x-lim x=0JV00 JCoo JCooD.lim.x(-+-1 )=lim(-x-+-1 )lim(Z-X-+-1 )1 =-e-e _=eXT8 X-l 1 8 X-l XT8 X-l e-(6)lim(1 2 r-2X2-4)x+1 x 0(3)当人=()时，1 在x

9、=0处连续。x2-k x f(x+l),f(x2).1+X 2 X11、下列各函数对中，(。)中的两个函数相等._尤 2 _A./(x)=(4)2,g(x)=x B.f(x)=-,g(x)=x+1x-1C.y=In x2,g(x)=21nx D./(x)=sin2 x+cos2 x,g(x)=l(提醒：两个函数相等，就是它们的定义域、值域和相应法则都同样)1 2、下列结论中，(。)是对的的.A.基本初等函数都是单调函数。B.偶函数的图形关于坐标原点对称C.奇函数的图形关于坐标原点对称。D.周期函数都是有界函数13、下列函数中为奇函数的是(。).A.y-x -x B.y-e v+e-Jt C.y

10、=In-.。x+1D.y-xsinxx+3,-oox014、若函数/(x)=2、0 x 2，则(“)成立.ln(x-2),2 x 0,则下列不等式不对的的是(。)o(VC.C，二驾LD.(总，f M产(x)(5)若函数/(x)在 点X。处可导，则。)是错误的.A.函 数f (x)在 点xo处有定义B.l i m f(x)=A,但A w f(x0)C.函数/在点沏处连续D.函数“X)在 点 出 处可微第 三 章 导 数 的 应 用【知识点】罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则、运用导数判断函数的单调区间、凹向区间及求一元函数极值和作函数图形的方法【重点难 点】1、中值定理(见下面框图)罗尔定理

11、条件：(1)/(X)在 a,1 上连续(2)/(X)在(。,与内可导(3)fa)-f(b)结论：(a,。)内至少存在一点4,使 fe)=o拉格朗日条件：(1)/(X)在 a,。上连续(2)/(x)在(a,价内可导结论：(a,b)内至少存在一点4,使m )-/J 一 .b-a推 论 1 若 f(x)=0,则/(X)=C4柯西定理条件：(1)/(X),g(x)在 a,。上连续(2)f(x),g(x)在(a力)内可导 g (x)H()结论：(a,Z?)内至少存在一点J，使g(b)-g(a)g(g).2、洛必达法则:若分式强是 9 型或 双 型未定式，并且l i m5=4 或00),则有V(X)0 0

12、0 V(X)l i m=l i m =A(或c o)v(x)v(x)上述公式对X -和X-8都成立。3、导数在研究函数特性方面的应用及函数作图(1)判断函数的单调区间 设函数/(幻 在区间(。力)内可导。假如在(a,b)内，f(x)0,那么函数/(x)在区间(a,。)内单调增长;假如在(a,Z?)内，/,(X)0,那么函数/(%)在区间(a,b)内单调减少。(2)求函数的极值 设/(X。)=0,当x由小增大通过与点时，若f(x)由正变负，则%是极大值点；若f(x)由负变正，则与 是极小值点；若f(x)不改变符号，则/不是极值点。或用二阶导数的符号判断:若/”(/)0,则函数/(X)在点X。处取

13、得极小值。(3)求函数在闭区间上的最大值和最小值 用函数的极值(或驻点的函数值)和端点值相比较求得。(4)判断曲线的凹向区间和拐点 在某个区间内，假 如/”(x)(),则曲线上凹；假如/(x)0,则曲线下凹。f(x)改变符号的点为曲线的拐点.(5)求曲线的渐近线 若l i m/(九)=c,则y =c为曲线的水平渐近线;若l i m/(x)=o o,则x =x 0为曲线的铅锤渐近线。(6 )函数的作图问题是在以上(1),(2),(3),(4),(5)各问题讨论的基础上，列表、画图。4.导数在经济问题中的应用(1)边际成本，边际收入，边际利润。(2)需求弹性，供应弹性。【课程自主学习规定】了解罗尔

14、定理和拉格朗日中值定理.理解函数极值的概念.掌握求函数的极值，判断函数的增减与函数图形的凹向，求函数图形的拐点等方法.会用导数关系描述边际，弹性等概念；描绘函数的图形;用洛必达法则求未定式的极限.【课程章节作业】1 ,(1)在指定区间-1 0,1 0 内，函数y=()是单调增长的。A.s i n x。B.e-Jt C.x2 D.l n(x +2 0)(2)函数.f(x)=x In x的单调增长区间是()。（3）若/（%）=0,则X。是 函 数/的（）.A.极大值点 B.最大值点 C.极小值点 D.驻点（4）若某商品的需求量q对价格p的函数q=1 0 0 （1 ）p,则需求量对价格的弹性2EP=

15、.2、经济应用题1 .生产某种产品q台时的边际成本C（q）=2.54+1 0 0 0 （元/台），固定成本50 0 元 若已知边际收入为R（q）=2q+2 0 0 0,试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产1 0 0 台，利润有何变化？2 .设某产品的成本函数为1 ,。不夕+3 4+1 0 0（万元）其 中（7是产量，单位:台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？3.生产某种产品的固定费用是1 0 0 0 万元，每多生产1 台该种产品，其成本增长1 0 万元，又知对该产品的需求为9=1 2 0-2 p （其 中 q是产销量，单位：台；p是价格，单位:万元

16、）.求（1）使该产品利润最大的产量；（2 ）使利润最大的产量时的边际收入.第四章不定积分【知识点】不定积分、基本积分公式、换元积分法、分部积分法、一阶微分方程【重点难点】1,原函数与不定积分的概念设函数f（x）是定义在某区间上的已知函数，假如存在一个函数尸（x）,对于该区间上每一点都有尸（元）=/（X）或（X）=/（X）,则 称/（X）是/（X）在该区间上的一个原函数。/(X)的不定积分是/(X)的所有原函数。即J/(x)0 T T/=!这与不定积分的概念是完全不同。通过牛顿-莱布尼茨公式，可以运用不定积分来计算定积分，从而建立了两个概念间的联系。2.定积分的性质定积分的性质(见51.3性 质

17、17)在积分的理论和计算中具有重要的应用。除了上述性质外，以下结论在积分计算中也有重要应用：(1)定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的选取无关。即C f(x)dx=C f(t)dtJ a J a(2)互换定积分的积分上、下限，定积分变号，即rbJ f(x)dx=-f(x)dx特别地，当a=人时，有rbJj a f(x)cbc=0(3)对 于 定 义 在 上 的 连 续 奇(偶)函 数/(x),有=5 当/Xx）为奇函数;J/一 21/（幻公 当/（X）为偶函数.、Jo3.变上限的定积分假如函数/（x）在a,0 上连续，则函数（x）=J：/力 xea,b认为X 积分上限的定积分的导

18、数等于被积函数在上限X 处的值。即 3 =5/）=/（”）一般地，假如g（x）可导，则/）力=/（g（x）g（X）4 .牛顿-莱布尼茨公式设函数/（X）在 区 间 以 上 连 续，且 F（X）是/（X）的一个原函数，则J：x）公他）-尸 这一公式说明：只需计算/（X）的一个原函数或不定积分，就可以求得/（X）在区间目 上的定积分。5 .定积分的计算（1 ）定积分的换元积分法。用换元积分法计算定积分时，应注意定理5.3 的条件，特别是变换 x =（f）的单调性，并与不定积分的换元法相区别。（2）定积分的分部积分法。6 .无限区间上的广义积分无限区间上的广义积分，原则上是把它化为一个定积分，再通过

19、求极限的方法拟定该广义积分是否收敛 在广义积分收敛时,就求出了该广义积分的值。7 .定积分的应用定积分可应用于求平面图形的面积，或在已知某经济函数的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围内的增量。【课程自主学习规定】理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质掌握变上限定积分的导数计算方法。纯熟运用牛顿莱布尼茨(Ne w t o n-L e ib niz)公式计算定积分，纯熟掌握定积分的换元积分法和分布积分法。了解定积分在经济管理中的应用，会运用定积分计算平面图形的面积.【课程章节作业】1、填空、选择题(1 )积分=(2 )J x sin2 x d x =(3)若广义积分=；A.1 B.

20、(4 )r in(r2+l)d f=(d r人A.-1 n H+l)，C.1 n(x2+l)2 x(5汴列微分方程中(A、y +l ny =sin xC、xyl-y sin x =t a n x2、计算下列定积分(1 )J jdx 88(2 )J().L ,则 a =().21-C.2 D.-12).。B.l n(f+l)D.-l n(x2+l)2 x)为一阶线性微分方程.B y y+-y =exXD、yu+xy=%31 xe2dx0(3)j Jx|e d x3、求曲线y =/与直线y =4 x 及 x =l(x 1)所围成平面图形的面积.4、应用题已 知 某 产 品 的 边 际 成 本 C

21、(x)=2(元/件)，固 定 成 本 为 0,边际收益R (x)=1 2-0.0 2 x,其中x 为产量.求：(1)产量为多少时利润最大？(2)在最大利润产量的基础上再生产5 0 件，利润将会发生什么变化？5、方 程(y )3+e-2，y=O是 阶微分方程.y,-(3 x2-l)y =O6、求解初值问题 小、c X O)=27、求微分方程y+2=/+1满足初始条件x i)=-的特解.x4第六章多元函数微分学【知识点】空间直角坐标系、多元函数、二元函数的偏导数和全微分、隐函数和复合函数的微分法、二元函数极值【重点难点】1 .空间直角坐标系空间直角坐标系的引入，使空间中的点与有序实数组(x,y,z

22、),空间中的曲面与方程F(x,y,z )=0 建立了相应的相应关系。这为研究二元函数性质提供了直观的几何解释。2 .二元函数的极限和连续二元函数的定义与一元函数的定义类似，但更应注意它们之间的差异。一元函数的定义域是数轴上的点集，二元函数的定义域一般是平面上的点集。在讨论一元函数在/处的极限和连续性时，点 x趋于毛的方式仅有从点飞 的左、右两个方向沿数轴趋于飞；但在讨论二元函数在点(七,%)处的极限和连续性时，点(x,y)趋于(质,%),则可以有无穷多种方式和途径在平面上趋于(拓,为)。因此,对二元函数极限和连续问题的讨论要比一元函数负杂得多。3 .偏导数和全微分求二元函数偏导数时，只需将一个

23、自变量看作常数，对另一自变量运用一元函数求导公式和四则运算法则即可。但是，二元函数偏导数的存在不能保证二元函数连续。这与一元函数可导必连续是完全不同的。二元函数的全微分概念类似于一元函数。在一元函数微分学中，可导即可微.但是，在二元函数中，两个偏导数。存在，也不能保证函数f (X ,y)在 点(X ,y )处可微。而 f (x,y)在点(x,y )处可微时，则偏导数存在，并且全微分df(x,y)=fx x,y)dx+fy(x,y)dy二 元 函 数 的 高 阶 偏 导 数 是 相 应 的 低 一 阶 偏 导 数 的 偏 导 数，由此定义可求o2 o2三,0,三,二.但应注意:二阶混合偏导数不一

24、定相等，只有在某些条件下它们才是dx-dxdy dydx dy2相等的。可以证明:设函数z=f(x,y)在区域D内连续，并且存在一阶偏导数和二阶混合偏导数f三 和存，假如在点(工,为)处，二 和 头 连 续，则dxdy dydx v 0 07 dxdy dydxd2z _ d2zdxdy dydx注在本教材的例题和习题中，函数z=f(x,y)均满足这一结论的条件。4 .复合函数和隐函数的微分法在运用复合函数微分法时,应先分清变量间的关系:哪些是中间变量，哪些是自变量。一般，可画出变量关系图,明确复合关系，然后运用公式得到对的结果。运用公式法求隐函数的偏导数时，则应先把方程化为F(x,y,z)=

25、0(或 F (x,y)=O)的形式，在 计 算 空，迎,竺 要 把 x,y,z 看做独立的自变量，就可得到dx dy dzdF 6Fdz _ QX dz _ dydx 苑dy S Fdz dz5.二元函数的极值在求二元函数z=f （x,y ）的极值时,应按下述环节进行：（1）由函数极值存在的必要条件，求解f y）=0,f y（x,y）=O,得到所有的驻点。（2 ）对于每一驻点（%,%），计算z=f（x,y ）的二阶偏导数在该点的值：A=.，（%,），3 =八（%,。=八（,）（3）判断（%，%）是否为极值点:运用极值的充足条件，当 4 4。0 0 寸,（%,打）是 极 值 点。且A 0时,函数

26、有极小值/（%）,%）.当1 一 AC 0（3 寸,（小,%）不是极值点。当夕一4。=（寸，不能拟定（玉）,用）是否为极值点。【课程自主学习规定】了解空间直角坐标系的概念。理解二元函数的概念，了解二元函数的极限、连续的概念和性质。理解二元函数的偏导数、全微分的概念，掌握求二元函数偏导数和全微分的方法。掌握隐函数和复合函数的微分法。了解二元函数极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘子法求解简朴的条件极值问题。【课程章节作业】1 .求满足下列条件的点的坐标：（1）点（关于xy平面的对称点;(2)点(2,T,1)关于x z 平面的对称点；(3)点(2,-1,1)关于原点。的对称点。2 .判断下列各点是否在球面(x+l)2 +(y 2)2 +(z =9 上:(1)(1,1,-1)；(3)(3,2,3)3 .求下列函数的极值：(l)z =x2+xy-y1+x-y +(2)求z =孙在约束条件x +y =2 下的极值