人教版高中数学选修2-3全册教学案.pdf

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1、人教版高中数学选修2-3全册教学案目录1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理.1第一课时.1第二课时.3第三课时.5第四课时.71.2.1 排列.10第一课时.11第二课时.15第三课时.18第四课时.20第五课时.21第六课时.231.2.2 组合.25第一课时.25第二课时.27第三课时.29第四课时.31第五课时.331.3.1二项式定理.36第一课时.37第二课时.38第三课时.39第四课时.411.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质.44第一课时.44第二课时.47第三课时.502.1.1 离散型随机变量.542.1.2 离散型随机变量的分布列.572.2.1条件概率.622.

2、2.2 事件的相互独立性.652.2.3 独立重复实验与二项分布.722.3 离散型随机变量的均值与方差.782.3.1离散型随机变量的均值.782.3.2离散型随机变量的方差.8 82.4正态分布.9 63.1独立性检验(1).10 3 3.1 独立性检验(2).10 73.2 回归分析(1).10 9 3.2 回归分析(2).1131.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引 导 学 生 形 成“自主学习”与“合作学习”等良好的学

3、习方式教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.授课类型：新授课.课时安排：2课时.教 具：多媒体、实物投影仪.第一课时引入课题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课,我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法

4、计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问 题 1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在 第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.（3）知识应用例 1.在填写高考志愿表时，一名高中毕 也生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

5、A大学 B大学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在A ,B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选 择 A ,B 两所大学中的一所.在A 大学中有5 种专业选择方法，在 B 大学中有4 种专业选择方法.乂由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有5+4=9(种).变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果

6、完成一件事有三类不同方案，在 第 1类方案中有叼种不同的方法，在第2类方案中有用2种不同的方法，在第3 类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有 n 类办法，在 第 1 类办法中有外种不同的方法，在第2 类办法中有加2种不同的方法在第n 类办法中有叱,种不同的方法.那么完成这件事共有N-+m2-1-mn种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一

7、种方法都可以单独完成这件事.例 2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以，第一类，ml=1X2=2 条第二类，m2=1X2=2 条第三类，m3=1X2=2 条所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C1最近路线共有N =2+2+2=6 条练习1.填空：(1 )-件工作可以用2 种方法完成，有 5 人只会用第1 种方法完成，另 有 4 人只会用第2 种方法完成，从中选出1 人来完成这件工作，不同选法的种数是；(2)从 A 村 去 B 村的道路有3 条，从 B 村 去 C 村的

8、道路有2 条，从 A 村 经 B的路线有一条.第二课时2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以4,2,，B,的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：字母 数字 得到的号码我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6X9=5 4个不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗？(2)发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在 第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有N=m xn种不

9、同的方法.(3)知识应用例L设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.解：第1步，从3 0名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从2 4名女生中选出1人，有2 4种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30X24=720种不同的选法.探究：如果完成一件事需要三个步骤，做 第1步有外种不同的方法，做第2步有他2种不同的方法，做第3步有加3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归

10、纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做 第1步有町种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法做第n步有加,种不同的方法.那么完成这件事共有N=x m2 x x 加 种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理叮分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件

11、事，是独立完成：而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，第一步，m l =3 种，第二步，m 2 =2 种，第三步，m 3=1 种，第四步，m 4=1 种，所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N =3 X 2 X 1 X 1 =6变式1,如图，要给地图A、B、C

12、、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某 种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？练习2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.(1 )从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村 去C村，不 同(2 )从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？第三课时3 综合应用例 L 书架的第1 层放有4 本不同的计算机书，第 2 层放有3 本不同的文艺书，第 3 层放 2本不同的体育书.从书架上任取1 本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3 层各取1 本

13、书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的咖层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是“从书架的第1、2、3 层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.要完成的事是“取 2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1 本，再要考虑取1 本计算机书或取1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种

14、数之间还应运用分类计数原理.解：(1)从书架上任取1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第1 层 取 1 本计算机书,有 4 种方法；第 2类方法是从第2层 取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第3 层取 1本体育书，有 2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N=町+A M 2 +加3 =4+3+2=9;(2 )从书架的第1,2,3 层 各 取 1本书，可以分成3 个步骤完成：第 1步 从 第 1层取 1本计算机书，有 4 种方法；第 2步 从 第 2层 取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3 层 取 1本体育书，有 2种方法.根据分步乘法计数原理，

15、不同取法的种数是N=叫 x%x%=4 X 3X 2=2 4.(3)N=4 x 3+4 x 2 +3 x 2 =2 6。例 2.要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1步,从 3 幅 画 中 选 1幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2步，从剩下的2幅 画 中 选 1幅挂在右边墙上，有 2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3X 2=6.6 种挂法可以表示如下：左边右边得到的挂法甲V-乙左甲右乙9一丙左甲右丙一 甲左乙右甲乙V 一 丙左乙右丙丙V1

16、甲左丙右甲乙左丙右乙分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.例 3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3 个不重复的英文字母和 3个不重复的阿拉伯数字，并 且 3个字母必须合成 组出现，3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按

17、照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时，分 6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第 1 步，从 2 6 个字母中选1 个，放在首位，有 2 6 种选法；第 2步，从剩下的2 5 个字母中选1 个，放在第2 位，有 2 5 种选法；第 3步，从剩下的2 4 个字母中选1 个，放在第3 位，有 2 4 种选法；第 4步，从 1 0 个数字中选1 个，放 在 第 4位,有 1 0 种选法；第 5 步，从剩下的9 个数字中选1 个，放在第5 位，有 9 种选法；第

18、6步，从剩下的8个字母中选1 个，放在第6 位，有 8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有2 6 X2 5 X 2 4 X 1 0 X 9X 8=1 1 2 3 2 0 0 0 （个）.同理，字母组合在右的牌照也有1 1 2 3 2 0 0 0 个.所以，共能给1 1 2 3 2 0 0 0 +1 1 2 3 2 0 0 0 =2 2 4 6 4 0 0 0 （个）.辆汽车上牌照.用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析一 需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步

19、骤完整”一 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.练习1 .乘积（+4+%）（1 +，2 +，3）（C|+。2 +。3 +。4 +。5）展开后共有多少项？2 .某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？3 .从 5名同学中选出正、副 组 长 各 1名，有多少种不同的选法？4 .某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方

20、式？第四课时例 1.给程序模块命名，需要用3 个字符，其中首字符要求用字母A G 或 U Z,后两个要求用数字1 9.问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第 2 步，选中间字符；第 3 步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.解：先计算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7+6=13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9=1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.例 2.核 糖 核 酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链

21、，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总 共 有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表 示.在 一 个 RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由 100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析：用 图 L 1 -2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A ,C,G ,U 中任选一个来占据.解：100个碱基组成的长链共有100个位置，一个位置中，从 A ,C,G ,U 中任选一个填人,法计数原理，长 度 为 100的所有可能的不同RN A如 图 1.1 2 所

22、示.从左到右依次在每每个位置有4 种填充方法.根据分步乘分子数目有4-4 4=4（个）例 3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0 或 1 两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8 个二进制位构成.问：（1）一个 字 节（8 位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了 6 7 6 3 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节

23、表示？分析：由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1 两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题.解：（D 用 图 1.1 3来表示一个字节.图 1 .1 3一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表 示 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2=28=2 5 6 个不同的字符；（2）由（1 ）知，用-个字节所能表示的不同字符不够6 7 6 3 个，我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符.前一个字节有2 5 6 种不同的表示方法，后一个字节也有2 5 6种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表

24、示2 5 6 X2 5 6 =6 5 5 3 6个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 7 6 3.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.例 4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图1.1 -4,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计个测试方法，以减少测试次数吗？图 1.1 4分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：

25、第 1步是从开始执行到A点；第2步 是 从 A点执行到结束.而第1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成;第2步可由子模块4或子模块5来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解：由分类加法计数原理，子 模 块 1或子模块2或子模块3中的子路径共有1 8 +4 5 +2 8 =9 1 （条）；子 模 块 4或子模块5中的子路径共有3 8 +4 3 =8 1 （条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有9 1 X8 1 =7 3 7 1 （条）.在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他

26、可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为1 8 +4 5 +2 8 +3 8 +4 3 =1 7 2.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第 2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3 X2=6 .如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为1 7 2 +6=1 7 8 （次）.显然，1 7 8 与 7 3 7 1 的差距是非常大的.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？巩固练习：1 .如图，从甲地到乙地有2 条路可通,

27、从乙地到丙地有3 条路可通;从甲地到丁地有4 条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到内地共有多少种不同的走法？2 .书架上放有3本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书.（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3 .如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为（）D.6 0.图二若变为图二，图三呢？5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为

28、多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？6.（2 0 0 7 年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间 分 成（C ）A.5部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分课外作业：第 1 0 页 习 题 1.1 6,7,8教学反思：课堂小结1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是

29、“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即 不重不漏分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才算完成.分配问题把一些元素分给另一些元素来接受.这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题.因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位.而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了.事实上，任何排列问题都可以看作

30、面对两类元素.例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1,2,，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题,可归结为以下小的“方法结构”：.每 个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是4：,这里 2加.其中m是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原%的 意 义，只要 N 机.个数为？的一个元素就是“接受单位”，于是，方 法 还 可 以 简 化 为 这 里 的“多”只要N“少”.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”，并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题的计

31、算公式乘以从1.2.1 排列教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念.教学难点：排列数公式的推导.授课类型：新 授 课.教 具：多媒体、实物投影仪.第一课时一、复习引入：1.分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有叫种不同的方法，在第二类办法中有加2种不同的方法，,在 第n类办法中有加“种不同的方法.那么完成这件事共有N=mi+m2+小”种不

32、同的方法.2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有町种不同的方法，做第二步有机2种不同的方法，做 第n步有加“种不同的方法，那么完成这件事有N =/X吗x x g,种不同的方法.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事.应用两种原理解题:1.分清要完成的事

33、情是什么；2.是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制.二、讲解新课：1.问题：问 题L从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共 有6种不同的排法：甲乙 甲 丙 乙 甲 乙 丙 丙 甲 丙 乙，其中被取的对象叫做元素.解决这一问题可分两个步骤:第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中 任 选1人,有3种方法；第2步，确定参加下

34、午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于 是 有2种方法.根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3 X 2=6种，如 图1.2 1所示.图 1.2 1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从 3 个不同的元素a,b中 任 取 2 个，然后按照一定的顺序排成列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,be,ca,cb,共 有 3X 2=6种.问题2.从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析

35、：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在 4 个字母中任取1个，有4 种方法；第二步确定中间的数，从余下的3 个数中取，有 3 种方法；第三步确定右边的数,从余下的2 个数中取，有 2 种方法.由分步计数原理共有：4X3X2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列.由此可写出所有的排法.显然，从 4 个数字中，每次取出3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，在 1 ,2,3,4 这 4 个数字中任取1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位

36、上的数字，当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法.根据分步乘法计数原理，从 1,2,3,4 这 4 个不同的数字中，每次取出3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4X3X2=24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如 图 1.2 2 所示.由此可写出所有的三位数:123,124,213,214,312,314,132,134,231,234,321,324,412,413,421,423,431,同样，问 题 2

37、可以归结为:142,143,241,243,341,342,432,从 4 个不同的元素a,b,c,d 中 任 取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是abc,abd,bac,bad,cab,cad,dab,dac,acb,acd,bca,bed,cba,cbd,dba,dbc,adb,adc,bda,bdc,eda,edb,dca,deb.共有4X3X2=24种.树形图如下b 2 .排列的概念：从 个不同元素中，任取”（/）个 元 素（这里的被取元素各不相同）按照足啊飒序排成一列，叫做从个不同元素中取出m个元素的二个排列.说明：（1）排列的定义包括两个

38、方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同.3 .排列数的定义：从个不同元素中，任 取 加（mW）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出加元素的排列数，用 符 号 表 示.注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取a 个元素按照定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任 取 用（加个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.4 .排列数公式及其推导：由4；的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素q,%,%中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个

39、排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数4 1 由分步计数原理完成上述填空共有（1）种填法，二4=（一 1）.由此，求 可 以 按 依 次 填 3个空位来考虑，,=（-1）（-2）,求普以按依次填m个空位来考虑A；=（1）（一 2）（一加+1）,排列数公式：第 1位 第 2位 第 3位 第m位=（_ ）（_ 2）（加+1）n n-l n-2（.m,n e N*,m n）IBIO-S说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少 1,最 后 一 个 因 数 是 加+1,共有加个因数；（2）全排列：当=加时即个不同元素全部取出的一个

40、排列.全排列数：A =n n-1）（-2）-2 -1 =!（叫做 n 的阶乘）.另外，我们规定0!=1 .例 用计算器计算：（1）4：（2）其；（3）止电解：用计算器可得：10|SHIFT|叵 4=5 040；(2)18|SHIFT|叵 5=1 028 160；(3)18 ISHIFp 国 8 臼3 ISHIFTI 画 13=1 028 160.由(2)(3)我们看到，4 =18-43 那么，这个结果有没有一般性呢？即6.3(H-x)!也就是 一-(9-x)!(ll-x)-(1 0-x)(9-x)!化简得：X*2 3-21X+1040,(n-m)(n-(力一机)！4：二：；九1即 47-例2.

41、解方程：34：=2%+6%.解：由排列数公式得：3x(x-1)(%-2)=2(x+l)x+6x(x-1),V x 3,/.3(x-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x?-17x+10=0,2解 得x=5或x=,.x N 3,且xwN*,.原方程的解为x=5.3例3.解不等式：用 6图解得x 1 3,又,2 4 x W 9,且xcN*,所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7.例 4.求证：(1)用=父.二；(2)-=1-3-5-(2-1).2”疝川证明：(1)一(/%)!=！=/；，,原式成立.(一加)！,c、（2/7）!2H（2H-1）-（2W-2）-4-3-21（2）-=

42、-T -n 2 -!T-n=-13二（2-3）（2 二1）=1.3.5（2 1）=右边n二原式成立.说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数4；中，加,且 mW 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式=（一 1）（2）a+1）常用来求值，特别是加,“均为已知时，公式 4 一，常用来证明或化简.（Z 7-777）!102 1例 5.化简：(1)上+4+匕；(2)l x l!+2x 2!+3 x 3!+x!.2!3!4!n解：原式=1!-+-+-+2!2!3!3!4!1 1_n提示：由(+1)!=(+1)加=加+！，得x!=(+1)!-加,原式=(+1)

43、!1.M u l l ”1 1 1说明：-=-n(Z 7-1)!n第二课时例 1.（课本例2）.某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1 次主场比赛与1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2 个元素的个排列.因此，比赛的总场次是4：=14X 13=18 2.例 2.（课本例3）.（1）从 5 本不同的书中选3本 送 给 3名同学，每 人 各 1 本，共有多少种不同的送法？（2）从 5 种不同的书中买3 本送给3名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？解：（1）从 5 本不同的书中选出3 本分别送给3名同

44、学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=5 X 4X 3=60.（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是5X5X5=125.例8中两个问题的区别在于：（1 ）是 从5本不同的书中选出3本 分 送3名同学,各人得到的书不同，属于求排列数问题：而（2）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算.例3.（课本例4）.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到9这1 0个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数

45、可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素.一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题解 法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0,因此可以分两步完成排列.第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有4种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余 下 的9个数字中任选2个，有 团 种 选 法（图1.2 5）.根据分步乘法计数原理，所求的三位数有4.用=9X9X8=648（个）.解 法2：如 图1.2 6所示，符合条件的三位数可分成3类.每一位数字都不是位数 有A母个，个位数字是0的三位数有揭个，十位数字是0的三位数有揭个.根据分类加法计数原理，符合条件

46、的三位数有团+团+团=648个.解 法3：从0到9这10个数字中任取3个 数 字 的 排 列 数 为 其 中0在百位上的排列数是耳，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是吊-团=10 X 9 X 8-9 X 8=648.对 于 例9这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是。的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解 法2以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解 法3是一种逆向思考方法:先求出从10个不同

47、数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.L 1节中的例9是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？四、课堂练习：5.若2誓2,则加的解集是!1.若工=-,则工=()3!(4；(C)4(。)4 L2.与吊,用不等的是()(4(5)8 1 4(C)io 4(0 4o3.若篇=2 4 3则加的值为()(4)5(8)3(Q 6(0 74.计算：2

48、4+3 4 _91-4端(相 一”)！6.(1)已知 4 t=10 x9x x5,那么相=_；(2)已知9!=362880,那 么 团=_；(3)已知=5 6,那么“=；(4)已 知/=7 A L，那么=.7.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列 火 车)？8.部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？答案：1.B 2.B 3.A 4.1,1 5.2,3,4,5,66.(1)6(2)181440(3)8(4)5 7.1680 8.24.巩固练习：书本20页1,2,3,4,5,6课外作业：第27页 习 题1.2 A组1,2

49、,3,4,5教学反思：排列的特征：一个是“取出元素”；二 是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”.前 者 指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的

50、数学思想，并能运用排列数公式进行计算。第三课时例1.（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：=5x4x3=6 0,所以，共有60种不同的送法.（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每 人 各1本书的不同方法种数是：5x5x5=1 2 5,所以，共 有125种不同的送法.说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5