专升本数学教材1.pdf

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1、目 录纲0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2第一部分 高等数学函 与 限。o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 8导 与0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28题粉7S朝船不定多二常章章章章章四五六七八第二部分 线性代数4 T歹0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 91-阵。0。0。0 0 0 0 0。0 0 0。0。0 0。0 0 0 0 0 0。0。0。0。0 0 0。0。0。0 95向.量 o o o o o o o

3、 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 104四0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 107五章特IRSI 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 112-o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 11?模 搦 敏 搬 题o o o 120第一章高等数学考试大纲微积分部分（约占85%）一、函数、极限、连续1.考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数，隐函数，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，复合函数，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立。数

5、列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，等价无穷小代换定理，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。2 .考试要求（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解隐函数及反函数的概念。（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。（5）了解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念。（6）

6、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，掌握等价无穷小代换定理求极限方法，了解无穷大的概念及其无穷小的关系。（7）了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，掌握并会应用两个重要极限。（8）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。（9）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。二、一元函数微分学1.考试内容导数的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数的导数，参数方程的导数，高阶导数，微分的概念和

7、运算法则.罗尔定理和拉格朗日中值定理及其应用，洛必达(L H o s p i t a l)法 则 函 数 单 调 性，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平渐近线与垂直渐近线)函数图形的描绘，函数的最大值和最小值。2.考试要求(1)理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，理解导数的几何意义。(2)掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法，掌握取对数求导法，掌握参数方程的导数(一阶导数)。(3)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。(4)了解微分的概念，导数与微分之间的关系，会求函数的微分。(5)理解罗尔定理和拉格朗日中值定理

8、、掌握这两个定理的简单应用。(6)会用洛必达法则求极限。(7)掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握函数极值、最大值和最小值的求法,会求解较简单的应用题。(8)会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和水平渐近线与垂直渐近线。(9)掌握函数作图的基本步骤和方法，会作简单函数的图形。三、一元函数的积分学1.考试内容原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨(N e w t o n-L e i b n i z)公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，广义积分，定积分的应用。2 .考试要求(1

9、)理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的两个换元积分法和分部积分法(2)了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。(3)用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。(4)了解广义积分的概念，会计算简单的广义积分。四、多元函数微积分学1.考试内容多元函数的概念，二元函数的几何意义，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数的偏导数的概念与计算，多元复合函数的求导法与隐函数求导法，二阶偏导数，全微分，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值，二重积分的概念、基本

10、性质和计算。2 .考试要求(1)了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。(2)了解有界闭区域上二元连续函数的性质。(3)了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元抽象的复合函数一阶偏导数、具体的多元函数二阶偏导数，会求全微分，会求隐函数的一阶偏导数。(4)了解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。(5)了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分(直角坐标、简单的极坐标)的计算方法。五、常微分方程1.考试内容常微分方程的基本概念

11、，变量可分离的微分方程的解，一阶线性微分方程的解，二阶常系数线性微分方程通解。2 .考试要求(1)了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。(2)掌握变量可分离的微分方程、-阶线性微分方程的求解方法。(3)了解二阶常系数线性微分方程通解。(4)会利用微分方程求解简单应用题。线性代数部分(约占15%)一、行列式1.考试内容行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理。2.考试要求(1)了解行列式的概念，掌握行列式的性质。(2)会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算较低阶行列式的值。二、矩阵1.考试内容矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幕，方阵乘积的行列式，矩阵

12、的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，矩阵等价概念，矩阵的秩，对角分块矩阵及其运算。2 .考试要求(1)理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义，了解对称矩阵，了解正交矩阵的定义和性质。(2)掌握矩阵的线性运算、乘法、以及它们的运算规律，掌握矩阵转置的性质，了解方阵的累，掌握方阵乘积的行列式的性质。(3)理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。(4)了解矩阵的初等变换概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。(5)了解矩阵等价概念。(6)了解

13、分块矩阵的概念，掌握对角分块矩阵的运算法则。三、向量向量组线性关系1.考试内容向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量组等价概念，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大线性无关组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。2.考试要求(1)了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。(2)了解向量的线性组合和线性表示，了解向量组等价概念。(3)理解向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。(4)理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。（5）了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。四、线性方程组1.考试内容线性方程组的

14、克莱母（又译：克拉默）（Cra m e r）法则 线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解2 .考试要求（1）了解克莱母法则解线性方程组。（2）掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。（3）了解齐次线性方程组的基础解系的概念，了解握齐次线性方程组的基础解系和通解的方法。（4）了解非齐次线性方程组解的的结构及通解的方法。（5）了解初等行变换求解线性方程组的方法。（6）掌握齐次线性方程组有唯一解（只有零解）和有无穷多解（有非零解）的充分必要条件。五、矩阵的特征值和特征向量1 .考试内容矩阵的特

15、征值和特征向量的概念、性质，相似矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角矩阵的充分必要条件及相似对角矩阵。2 .考试要求（1）了解矩阵的特征值、特征向量的概念，了解矩阵特征值的性质，了解求矩阵特征值和特征向量的方法。（2）了解矩阵相似的概念，了解相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角矩阵的充分必要条件，了解将矩阵化为相似对角矩阵的方法。六、二次型1.考试内容二次型及其标准形，用配方法化二次二次型的矩阵成标准形，二次型的矩阵，正交变换法化二次型为标准形，正定二次型。1.考试要求（1）了解二次型的概念，能写出二次型的矩阵。（2）了解利用正交变换法化二次型为标准形。（3）了解二次型正定性判别法。试 卷 结 构试

16、卷满分：1 0 0 分内容比例：微积分 约8 5%线性代数 约 1 5%题型比例：填空题1 5%选择题1 5%解答题（包括证明）约 7 0%参考书目1.高等数学上下册，同济大学应用数学系编（第四版、或五版、或六版），高等教育出版社出版。2.线性代数，同济大学应用数学系编（第三版、或四版），高等教育出版社出版。3.含考试大纲内容的相关教材。第一部分高等数学第二章函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比 如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的

17、。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就 说 a属于A,记作：a G A,否则就说a不属于 A,记作：ag Ao、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或 N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记 作 Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一一列举出来，并 用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系、子集：般地，对于两个集合A、B,

18、如果集合A 中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A=B（或 B=A）。相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A=B。、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A 是集合B 的真子集。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记 作 0,并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。即 A=A、对于集合A、B、C,如果A 是 B 的子

19、集，B 是 C 的子集，则 A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：-般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集。记作AUB。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即 AU B=x lx G A,或 xB 。、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的交集。记作AAB。即 AOB=x lx G A,且 x G B)。、补集:全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集：对于一

20、个集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集。简称为集合A 的补集，记作CuA。即 CuA=x lx G U,且 x eA 。集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。(2),用 card来表示有限集中元素的个数。例如A=a,b,c,则 card(A)=3。、一般地，对任意两个集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A U B)+card(A A B)思考问题：1、学校里开运动会，设 人=xlx是参加一百米跑的同学,B=xlx是参加二百米跑的同学,C=xlx是参加四百米跑的同学。学

21、校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。、AUB：(2)、APBo2、在平面直角坐标系中，集合C=(x,y)ly=x表示直线y=x,从这个角度看，集合D=(x,y)l方程组：2x-y=l,x+4y=5表示什么？集合C、D 之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、已知集合A=xllWxW3,B=xl(x-l)(x-a)=0试判断B 是不是A 的子集？是否存在实数a使 A=B 成立？4、对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无 限 集 合 人=1,2,3,4,，

22、n,B=2,4,6,8,，2n,-,你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、常 与变、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间aWxWba,bla,b1 1-

23、1-a b x开区间a x b(a,b)(a,b)-4-!-a b x半开区间a V x b 或 a W x V b(a,b 或 a,b)J-4-1-&b X 1-A a b x以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a,+8)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a WxV+8；(-8,b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-8xb；(-8,+0 0).表示全体实数，也可记为：-8X 0.满足不等式I x-a I V 6 的实数x的全体称为点a 的 8邻域，点 a 称为此邻域的中心，8称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量 y

24、按照一定的法则f 总有确定的数值与它对应，则称y是 x的函数。姆x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是 x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母表示y 与 x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两

25、个函数的定义域和对应关系完全一-致，我们就称两个函数相等。(3)、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。-般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态(D、函数的有界性：如果对属于某一区间

26、/的所有x 值总有|f(x)|WM成立，其中M是一个与x 无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数C O S X 在（-8,+8）内是有界的.（2）、函数的单调性：如果函数/（x）在区间（a,b）内随着x 增大而增大，即：对于（a,b）内任意两点心及 x z,当 x V x z 时，有 了（）/（叼），则称函数/（X）在 区 间 9内是单调增加的。如果函数/（X）在区间（a,b）内随着x 增大而减小，即：对于（a,b）内任意两点x i及 x z,当 x i Vx z 时，有了 J （去），则称函数/（X）在区间

27、（a,b）内是单调减小的。例题：函数,（乃=/在 区 间（-8,0）上是单调减小的，在区间（0,+8）上是单调增加的。（3）、函数的奇偶性如果函数/（X）对于定义域内的任意x都满足了（一切=/0）,则/（外叫做偶函数；如果 函 数 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x 都满足了（一刈=-/（x）,则/（X）叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。奇偶函数的基本运算性质奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。偶数个奇（或偶）之积均为偶函数；奇数个奇（或偶）之积仍为奇（或偶）函数；一奇-偶之积为奇函数。任一函数y（X）均可以写为一奇一-偶之和的形式，即函

28、数奇偶性的判断方法（1）定义法；（2）利用奇偶函数的运算性质、函数的周期性对于函数/（x）,若 存 在 一 个 不 为 零 的 数 使 得 关 系 式 对 于 定 义 域 内任何x 值都成立，则叫做周期函数，是,（X）的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。例题：函数s m%c o s x 是以2 n为周期的周期函数；函数t g x是以加为周期的周期函数。4、反函数（1）反函数的定义：设有函数丁=/。），若变量y 在函数的值域内任取一值y。时，变量 X 在函数的定义域内必有一值X。与之对应，即/（的）=必），那末变量x 是变量y 的函数.这个函数用x=w（y）来表示，称为函数丁=/a

29、）的反函数.注：由此定义可知，函 数 丁=/（外也是函数*=飙回的反函数。、反函数的存在定理：若丁 二 ）在（a,b）上严格增（减），其值域为R,则它的反函数必然在R上确定，且严格增（减）.注：严格增（减）即是单调增（减）例题：y=x2,其定义域为（-8,+8）,值域为 0,+8）.对于y 取定的非负值，可求得x=土后.若我们不加条件，由 y 的值就不能唯一确定X的值，也就是在区间（-8,+8）上，函数不是严格增（减），故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x 2 0,贝 岖 寸 y 0、x=6就是y=x，在要求x 20时的反函数。即是：函数在此要求下严格增（减）.、反函数的性质：在同一坐标平

30、面内，丁 =/（幻 与 x=的图形是关于直线y=x对称的。例题：函数2 1与函数丁=l o g 2*互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中5、复合函数复合函数的定义：若 y 是 u的函数：V =/3）,而 u又是x 的函数：u=,且加X）的函数值的全部或部分在,&）的定义域内，那末，y 通 过 u的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数丁=/（）及”二 （x）复 合 而成的函数，简 称 复 合 函 数，记作y =/SS）,其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函 数 丁=。$也”与函数=2+/是不能复合成一个函数的。因为对于M=2 +

31、/的定义域（-8,+8）中的任何X 值所对应的u 值（都大于或等于2）,使y =a rc s i n 都没有定义。6、初等函数(1)、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、基函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数丁 =以“(仪 0,H 1)|0a):不论x 为何值,y 总为正数；b):当 x=0 时，y=l.对数函数1y=l o g a x(a O,a w l)1、a1 L，=l o g da):其图形总位于y 轴右侧，并过(1,0)点9:当 1 时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+

32、8)的值为正：在定义域内单调增./1 广/7=10g 1 X褰函数Q.y=X a为任意实数卜 J =/y X-10!这里只画出部分函数图形的一部分。令 a=m/na):当m为偶数n 为奇数时,y 是偶函数；b):当m,n 都是奇数时,y 是奇函数；c):当 m奇 n偶时,y 在(-0,0)无意义.角函数y =s i n x(正弦函数)这里只写出了正弦函数-%-1/r y=s i n x/一疝、/2 心a):正弦函数是以2 n为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且|s i n x|a aw l)它的定义域为(-0 0,+oo),值 域 为(0,物)。指数函数的图形如图1-2所示.对数函数y=l

33、g aX(a 0，aw l)定义域为(0,侬)，值 域 为(-0 0,+0 0).对数函数y =ga X是指数函数丁=的反函数.其图形见图1-3.对数常用的公式：lg&g T g aX+l g 0 y ：bggxJ冽lg d.在工程中，常以无理数e-2.7 1 8 2 8 1 8 2 8作为指数函数和对数函数的底，并且记/=ex p x,log,x =ln x ,而后者称为自然对数函数.图1-2图1-3三角函数三角函数有正弦函数丁=sm X、余弦函数V=cosx、正切函数 =1血*、余切函数1y=C0tx、正割函数V=secx和余割函数1y=cscx.其中正弦、余弦、正切和余切函数的反三角函数

34、反三角函数主要包括反正弦函数丁 二 31Tsin X、反余弦函数丁 二缸8。5X、反正切函数y=arctan x和反余切函数丁=arc cot x等.它们的图形如图1-5所示.【概念理解点睛】i）从我们农大专升本数学考试角度，大家对基本初等函数，要从其定义式，定义域,值域，图形，函数的几何特性上搞熟练。ii）重要公式：lg 0 =lgaX+lg0y；logaX*8=MlogXiii）基指函数：我们称（/（*）为基指函数，是考试重点考查的函数，考研上，我们基本的处理手段是通过“指数对数化“，即，一e 把相关问题转化为两个函数乘积的相关问题讨论。10、双曲函数及反双曲函数（了解）、双曲函数：在应用

35、中我们经常遇到的双曲函数是：（用表格来描述）函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质（2）、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.双曲正弦,e-esnx=-2z工a）：其定义域为：（-8,+8）；b）：是奇函数；c）：在定义域内是单调增双曲余弦ckx=-2二ly y.chx!_a）：其定义域为：（-8,+8）；b）：是偶函数：c）：其图像过点（0,1）；X双曲正切thx=-nJa）：其定义域为：（-8,+8）；b）：是奇函数；c）：其图形夹在水平直线y=l及 y=T 之间；在定域内单调增；a）：反 双 曲 正 弦 函 数 ar s%x =ln（x +J x 2+i）其定义域为：（_r

36、a（+o o）；b）：反双曲余弦函数 桁=必（*+,一 一 1）其定义域为：1,+8）;c）：反双曲正切函数,1.14-xartnx=I n-2 l-x 其定义域为：(-1,+1)；8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。（D、数列：若按照一定的法则，有第一个数为，第二个数色，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数a“，那末，我们称这列有次序的数a”a?,，a,-为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第 n 项 a“叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列a 0 看作自变量为正整数n的函数，即：a.=/8）,它的定义域是全体正整数（2）,极限：极限的概念是

37、求实际问题的精确解答而产生的。例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为由；再作圆的内接正十二边形，其面积记为小；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A 3；依次循下去（一般把内接正6 X 2 i边形的面积记为A“）可得一系列内接正多边形的面积：A,A”A”，A n,，它们就构成-列有序数列。我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，A n 也无限接近某一确定的数值（圆的面积），这个确定的数值在数学上被称为数列 C,A n,当 n-8 （读作 n 趋近于无穷大）的极限。注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。(3

38、)、数列的极限：一般地，对于数列勺，叼，/，来说，若存在任意给定的正数(不论其多么小)，总存在正整数N,使得对于nN时的一切覆不等式上一。都 成 立，那末就称常数a是数列居的极限，或者称数列/收敛于a .记作：叫%”或x*(8)注：此定义中的正数e只有任意给定，不等式上一“饪 才 能 表 达 出4与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数e是有关的，它 是 随 着e的给定而选定的。(4)、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列演极限为a的一个几何解释：将常数a及数列，弓，/，在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴

39、上作点a的e邻域即开区间(a-e ,a+),如下图所示:J e _ _ _ 哙二二丁；家 j -询 XN+1 厢+3殊1+2 x2 x3 x因不等式上一性 与不等式。一 与 N时，所有的点/都落在开区间(a-e,a+e)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。(5)、数列的有界性：对于数列演，若存在着正数M,使得一切4都满足不等式|X*I WM,则称数列匹是有界的，若正数M不存在，则可说数列4是无界的。定理：若 数 列/收 敛，那末数列/一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例

40、：数 列1,-1,1,-1,(-1)田，是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取1 8内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x。，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念！(1)、函数的极限(分两种情况)a）:自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数V=/（x）,若对于任意给定的正数

41、e （不论其多么小），总存在着正数X,使得对于适合不等式卜 的 一 切 x,所对应的函数值/（X）都满足不等式火 X）-W那末常数A就叫做函数丁 当 x-8 时的极限，记作：蚂/卜面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列4=/（）与常数A,任给一正数e 0,总可找到一正整数N,对于nN的所有外都满足同一0,总可找到一正数X,对于适合的一切X,都满足火 X）一函数k/当 X-8l i m /（x）=/时的极限为A,记：f o0 Aky0-X*从上表我们发现了什么？试思考之b）:自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.、x2-lf（x）=例：

42、函数 X-1,当 X-1 时函数值的变化趋势如何？函数在X=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把X 1时函数值的变化趋势用表列出，如下图：XI-0.9 0.99 0.999 111 1.001 1,01 1,1 W-1.9 1.99 1,999|2|2,001 2.01 2.1 从中我们可以看出x-1 时，.而且只要x与 1 有多接近，/（X）就与2 有多接近.或说：只要了（X）与 2 只差一个微量e ,就一定可以找到一个8,当k一1 6时满足|/（6 一2|6定义：设函数/（x）在某点x。的某个去心邻域内有定义，且存在数A,如果对任意给定的e

43、 （不论其多么小），总存在正数8,当 0 卜 一 方|0：b):写出不等式e；c):解不等式能否得出去心邻域0V卜一飞 V 8,若能;d):则对于任给的e 0,总能找出8,当0 卜一，。1 6时，成立,lim/(x)=J4因此【概念理解点睛】i)从考试的角度，极限的精确定义大家只要了解，关键是理解极限精确定义本质上说一个极限都包含两个方面的问题一个是对白变量而言的是变化过程，另个是对因变量而言的是变化趋势，极限部分的真正的考点是不利用极限定义的极限求解。ii)常见的作为结论的极限lim-=0 lim =0 lim*=0,1 q 0)lim x=1 *TO+10、函数极限的运算规则前面已经学习了

44、数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。、函数极限的运算规则若已知 x-x0(或 x-8)时，A g(x)f 3lim C/(x)g(x)=A B lim/(x).g(x)=4 3贝(j：X T%N T。lim Z =4,(3W0)XTq g Blun k f(x)=g(上为常数)lim=下,(也为正整数)推论：X TX X TX0在求函数的极限时.，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。例题：求+彳-x +32.2 工 1 l i m 3 x 2+l i m A-l i m 1 Q.i -i Q由 5 x +

45、.7=5+1 T =士*T1 4?+炉 -x +3 l i m 4?+l i m 户-l i m x +l i m 3 4+1 -1 +3 7解答：XTI *T1 XTI KTI3/-4/+2l i m -例题：求1 9 7/+5尸-3此题如果像上.题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。3-1,A3 x 3-4,+2 3 -+p-3I n n ,-A =7 三=-7 x3+5 x -3 ,5 3 7/-I j-解答：X X注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算

46、规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。我们先来看一个例子：-l,x 0s g n =0,x =0例：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。定义：如果x仅从左侧（x x。）趋近xo时，函数/（x）与常量A无限接近，则称A为函数/（x）当7+g+/(x)=Ax f%时的右极限.记：E注：只有当X-X。时，函数/（X）的左、右极限存在且相等，方称,（X）在X-X 时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点X。的某邻域内的一切X,X

47、。点本身可以除外（或绝对值大于某一正数的一切 X）有g（x）w/（x）A（x）li m g(x)=A li m h(x)=A,且i,I Mli m /（x）那末I4 存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限li m （1+工）*=e注：其中e为无理数，它的值为：e=2.7 18 2 8 18 2 8 4 5 9 04 5.s i n x,li m-=1.I。X注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.2例题：求I-xXt=-解答：令 2 ,则 x=-2 t,因为

48、X 8,故 t f 8,2 1 1 1贝|JT9 X XT9 t t*T9 t注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象 X-8时、若 用 t 代换1/x,则 tf O.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数-X ,当 x 0 时，可知,我们把这种情况称为了。）趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=/（x）,在 x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数M一个任意大的数），总可找到正数8,当0卜-丽 区 时，火 小 及 成 立，则称函数当x X。时为无穷大量。li m /（x）=oo记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x-8时、

49、/W 无限趋大的定义：设有函数y=/S），当 x 充分大时有定义，对于任意给定的正数M 个任意大的数），总可以找到正数必，当卜.时，|江曾 lim/（x）=oo用成立，则称函数当x f 8时是无穷大量，记为：X T9无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数/（乃，对于任意给定的正数e （不论它多么小），总存在正数6 （或正数 助，使得对于适合不等式卜一通区5 （或卜 舷）的一切x,所对应的函数值满足不等式卜性,则 称 函 数/当 XT%（或 X-8）时为无穷小量.11m/（x）=0 lim/（x）=0记作：X TX.（或 ）注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只

50、有0 可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数/（X）在X7X。（或 X f 8）时有极限A,则差/）一/=演 ）是当-（或 X f 8）时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a）：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）：有限个无穷小量的积仍是无穷小量;c）：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我