专转本数学历年真题.pdf

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1、2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选 择 题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是)A、l i m(l +)=ektO xB、C l i m x s i n =1x-xD l i mx s i n =1X TO xB、C a r c s i n xD、a r c s i n x +cX()773、若/(x)=/(x),且在 0,x o)内 f(x)0、/,(x)0,则在(8,0)内必有A、/1(x)0,/(x)0,/,(x)04、-聃=A、0 B、2B、/1(x)0D、/(x)0,/(x)0()C、-1 D、15、方程f+y?=4 x在空间宜角坐标系

2、中表示()A、圆柱面 B、点 C、圆D、旋转抛物面二、填 空 题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设oo2、已知小）是可导的函数，则 叫A、B、尸（0）C、2 尸(0)D、2尸（幻3、设 了（X）有连续的导函数，且 QW 0、1,则下列命题正确的是A、C、f(ax)dx-f(ax)+Cf(ax)dx)-af(ax)B、D、4、若 y=a rc ta n ex,则 dy=A、-z-dxl+e2xB、-d xl+e2xC、5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是A、x+y+z=0 x+2y+z=lC、J fax)dx=f(ax)+Cj fXcudx=f(x)+C=clx2xD、g dxJ

3、l+e 2”x +2 y+4 z2=7=3D、3x +4z=0h()(x)_1J l+e)()2y=x B、6微分方程y +2了+y=0 的通解是()A、y=ct c os x +c2 s inx B、y=cxex+c2e2xC、y=(q +c2x)exD、y=cxex+c2ex7、已知/（X）在（-8,转）内是可导函数，则（/（X）-/（%）一定是()A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、不能确定奇偶性8、，i%4设/=f -=d x,则/的范围是JoV T+7()A、0 Z129、若广义积分JJ上 收 敛，则 p 应满足A、0 p 1C、/0C p v 1D、/l2()D、p 求极限li

4、m；-D J o +s in。力j x =a(c os/4-1 s in/)dy17、已知1:，求上冗y=(s inl-/c os。dx f=-18、已知 z=ln(x +J/+/),求 ，dx dydx-，0 219、设/(x)=犬：1 ,求/(x-l X r,x 0V2 _ /_ T _20、计算L 2 d x J o J/+y2 办+甸*(：x2+ydy,-y21、求y-(c os x)y=满足 y(0)=1 的解.22、求积分J泮型却V l-X423、设/(x)=(1+x)；，,且/(x)在x =0点连续，求：(1)k 的 值(2)/(x)k,x =0四、综 合 题(本大题共3 小题，

5、第 24小题7 分，第 25小题8 分，第 26小题8 分，共23分)24、从原点作抛物线/。)=/一2+4的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S,求：(1)S的面积；(2)图形S绕X轴旋转一周所得的立体体积.-T T JT 125、证明：当-x 一 时，c os x 0 A、2 B、4 C、0 D、-22、若已知/。)=/(%),且/(幻 连续，则下列表达式正确的是()A JF(x)dx=f(x)+c B、力C、j f(x)dx=F(x)+cD、3、下列极限中，正确的是A、sin2x 八lim-=2xc r arctanx 4B lim-=1“TOO XC limx2-4-=0

6、0-2 x-2D、lim炉X T0+()14、已知y=ln(x+J l+x2),则下列正确的是)1A、dy-=dx,2B、y=yjl+x2dxC、dy=1.dxD、y二-1J-X+J l+x+Jl+X5、在空间直角坐标系下，与平面x+y +z=l垂直的直线方程为()A、尤+y+z=1x+2 y+z=0 x+2 y+4 zB、2C、2x+2y+2z=5D、x-1=y-2 =z-36、下列说法正确的是()A、8 1级数上 收敛=i nB、co 1级数ZY收敛,r=i n+nC、级数一匚绝对收敛“=i D、级 数 收 敛=l7、微分方程V +y=O满 足 口 0 =0，旷1 40=1的解是A、y=c

7、1 c osx+c2 si n xB、y=si n xC、y=c osx8、若函数/(x)=0 x=0为连续函数，则。、。满足x v 0c 7 1B、。+Z?=一2D、a -b 二、填 空 题(本大题共4 小题，每小题3 分，共 12分)9设函数y=y(x)由方程l n(x+y)=e”所确定，则、)=1 0、曲线=/。)=/-3/+工+9的凹区间为1 1 J x2(F+si n x)dx=1 2、交换积分次序 j d)/(x,y)d x+f(x,y)dx=三、计 算 题(本大题共8 小题，每小题5 分，共40分)1 3、求极限+温x-01 4、求函数z=ta n(2)的全微分1 5、求不定积分

8、j xl n xdx1 6、计 算 A向 q d e4 1 +COS26 01 7、求微分方程盯-=/的通解.-c f x=ln（l+r2）4 dy d2y18、已知 ，求 上、一 r.y=/-arc tanr dx dx19、求函数/*）=平匚?的间断点并判断其类型.20、计算二重积分0 a-ylx2+y2）dxdy，其中。是第一象限内由圆/+/=2 x 及直线y=0D所围成的区域.四、综 合 题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分）21、设 有 抛 物 线-求：（i）、抛物线上哪一点处的切线平行于X 轴？写出该切线方程；（ii）、求由抛物线与其水平切线

9、及丫轴所围平面图形的面积：（iii）,求该平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.22、证明方程X/=2 在区间（0,1）内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为V 立方米的有盖圆形油桶,己知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？五、附 加 题（2000级考生必做，2001级考生不做）24、将 函 数/（幻=一展开为x 的幕级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4 分）4+x25、求微分方程y 2y 3y=3x+l 的通解。（本小题6 分）2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题，每小题

10、3分，满 分18分.)/(X)=0靖Wxx-s in x8、函数/(x)=In x 在区间 l,e 上满足拉格郎日中值定理的J=；c fl +19、-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；JT 1 +x1 0,设向量a=3,4,2、,=2,1#；a、,互 相 垂直，则左=11、交换二次积分的次序/(x,ydy=；12、累级数为(2-l)x”的收敛区间为；=1三、解答题(本大题共8 小题，每小题8 分，满分64分)/(x)+2sinx13、设 函 数/()=1)(1)、交换VQ)的积分次序;(2)、求 尸(2).2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选

11、择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)勺)1 x1、若 l im =,则 l im-=-2A.-B、222、函数/(幻=飞山1在尤=0 处0 x =0A、连续但不可导 B、连续且可导()C、3 D.-3()C、不连续也不可导 D、可导但不连续3、下列函数在-1,1 上满足罗尔定理条件的是4、已知 7(x)必:=e 2+C,则j7(x)&c =A、le-2 x+C B、-e-2 x+C25、设 为 正 项 级 数，如下说法正确的是n=I()C、y=1-x2D、y=1X()C、-2 e-2x+CD、-e-2x+C2)A、如 果 触 心=,CC则z”“必收敛=1B、如果l im 也=/(0

12、4(4 o o),则必收敛un MC、如果 “收敛，则必定收敛n=1 n=lD、如果(-1),收敛，则%必定收敛n=ln=6、设对一切x有/(x,y)=/(x,y),D =(x,j)|x2+/0,D =(x,y)|x2+y2 0,y 0 ,则 J J /(%,y)dxdy=DA、0 B、jj/(x,y)dxdy C、2出力A P()D、4 f(x,y)dxdyA二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)7 已知x 0 时，o(l-c o s x)与xsin x是等级无穷小，则。=8、若 lim/(x)=A,且/在 x=x0处有定义，则当A=时，/(幻 在 x=x0处连*-*0续.9、

13、设/(x)在 0,1 上有连续的导数且/=2,/(x)dx=3,则(x)dx=_JO JO10、设H=l,al b,则Q 2 xcosx2D、2x s in x46、下列级数收敛的是()A、E|r B、工 居c、f匕出D、y=i (-41n)二、填空题(本大题共6 小题，每小题4 分，满分24分)7、设函数/(x)=(l +%x)在点x =0处连续，则常数&=2 x =08、若直线y =5 x +机是曲线y =2+3 x +2的一条切线，则常数加=9、定积分 J “-J(+x c o s3 x)dx 的值为 1 10、已知。，8 均为单位向量，且 G b=,则以向量。为邻边的平行四边形的面积为

14、2X11、设 2=士，则全微分dz=y12、设 =6/,+。2/、为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题(本大题共8 小题，每小题8 分，满分64分)ex-x-13、求极限.xtanx14、设函数y=y(x)由 方 程 一 二=孙 确定，求 包 、匕dx x=0 dx x=015、求不定积分J/e-d.16、计算定积分后 了 dx.V xo 217、设 z=/(2 x +3y,孙)其中/具有二阶连续偏导数，求 谷、oxoy18、求 微分方程孙-y=2007/满足初始条件N曰=2008的特解.x+y+z+2=019、求过点(1,2,3)且垂直于直线1 的平面方程.2x y

15、+z+l=020、计算二重积分“正+y2dxdy,其中 O=(x,y)|/+产 a 0,证明：dy f（x）e2 x+ydx=（e -e2 x+a）/（x）dx.J a J y J a2 4、求证：当x0时，（Y-1）1nxz（8-1产2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24分）1、设函数/（X）在（-8,+8）上有定义，下列函数中必为奇函数的是)A、y=T f (到B、y=x3f(x4)C、D、y=/(x)+/(x)2、设函数/（x）可导，则下列式子中正确的是)A、l i m WW=_/(0)3 XB、limA-0/(x0+2

16、 x)-/(x)_.-J(X。)XC、limAjrO/(%+Ax)/(/Ax)=/(%)D、limAx-0/(%Ax)-/(/+Ax)Ax=2 八%)3、设函数/(x)=fJ.t2 sintdt,则/(x)等于)A、4x2 sin2xB、8x2 sin2xC、-4 x2 sin2xD、-8 x2 sin2x4、设向量。=(1,2,3),b=(3,2,4),则 ax 力等于()A、(2,5,4)B、(2,5,4)C、(2,5,-4)D、(一2,5,4)5、函数z=In）在 点（2,2）处的全微分dz为)A、X-d x +d yB、-d x+-d y2 2C、2d X 2d yD、-d x-d y

17、2 26微分方程y +3y+2y=1的通解为)A、y=cex+c2e2 x+1B、y=cxex+c2e2 xC、y=ctex+c2e2 x+1D、y=cex+c2e2 x2+12二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24分）7、设函数/（%）=x2-1W(x T)则其第一类间断点为.a+x,xQ,8、设函数/(x)=tan3x 在点x=0 处连续，则a=_.-,x =,，直线y=x,x=2 及 y=0 所围成的平X面区域.20、求微分方程盯=2y+/的通解.四、综合题(本大题共2 小题，每小题10分，满分20分)21、求曲线y=(x 0)的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并

18、求此最小值.X22、设平面图形由曲线y=Y,y=2/与直线 =1所围成.(1)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.(2)求常数。，使直线x=a 将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题(本大题共2 小题，每小题9 分，满 分 18分)23、设函数/(幻 在闭区间0,2a(a 0)上连续，且/(0)=/(2 a)*/()，证明：在开区间(0,a)上 至 少 存 在 一 点 使 得/G)=/G +a).24、对任意实数x,证明不等式：(l-x)eA 1.2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)X+ar+h1、已知li

19、m-一-=3,则常数a,b 的取值分别为12 X 一 2()A、a=1,b=2 B、a=2,b=0 C、a=1,b=0 D a=2,b=yZ _ Oy I 22、已知函数/Xx)=,则 x=2 为/(x)的x-4A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点D、震荡间断点0,x UA、0 a lB、06K a lD、a 9 r+14、曲线y=t 的渐近线的条数为d)2)A、1B、2C、3D、45、设 F(x)=ln(3x+1)是函数/(x)的一个原函数，则 V(2 x +1 心=)A、1 +C6x+4B、-+C6x+4C、-+C12x+80、高+6、设a 为非零常数,则数项级数=1 ()A、条

20、件收敛 B、绝对收敛C、发散 D、敛散性与a 有关二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)Y7、已知lim(-尸=2,则常数C=_.x-C8 设函数观x)=teld t,则 9 O)=.9、已知向量。=(1,0,-1),b=(l,-2,1),则 a+0 与。的夹角为.1 0、设函数z =z (x,y)由方程xz2+yz=l所确定，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.dx1 1、若募函数 rx(a0)的收敛半径为一，则常数4=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _21 2、微分方程(1 +x2)ydx-(2-y)xdy=0 的通

21、解为.三、计 算 题(本大题共8 小题，每小题8 分，满分64分)1 3、求极限：l i m-i o%-s i n xx=l n(l +f)dv d 2 y1 4、设函数y =y(x)由参数方程1 ；所确定，求?,察.y=r+2 r-3 dx dx11 5、求不定积分：J s i n,2%+1公.1 6、r1 x2求定积分：f Jodx.1 7、求通过直线丁x v胃 1 =z丁 2且垂直于平面x+y +z +2 =的平面方程.1 8、计算二重积分。y d。，Dd2z1 9、设函数z =/(s i n x,肛)，其中/(x)具有二阶连续偏导数，求.dxdy2 0、求 微 分 方 程-y =x的通

22、解.四、综合题(本大题共2 小题，每小题10分，满分20分)2 1、已知函数/（x）=/-3无+1,试求：（1）函数/（幻 的单调区间与极值；（2）曲线y =/（x）的凹凸区间与拐点；（3）函数/（x）在闭区间 2,3 上的最大值与最小值.2 2、设R是由抛物线y =2/和直线 =a,y =o所围成的平面区域，是由抛物线V =2 和直线x =a,x =2及y =0所围成的平面区域，其中0“2.试求：（1）A绕y轴旋转所成的旋转体的体积匕，以及。2绕工轴旋转所成的旋转体的体积V 2.（2）求常数。的值，使得2的面积与。2的面积相等.五、证 明 题（本大题共2 小题，每小题9 分，满 分 18分）

23、p-x r 02 4、证明：当l v x v 2时，4 x l n x x2+2 x-3.2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分2 4分)1.设当X 0时，函数/(x)=x-s i n x与g(x)=是等价无穷小，则 常 数 的 值 为()A.a=-,n=36B.。=一，=331,C.a =,n =41 2D.a =-,n=462.曲线yx?3 v+4-)A.1条B.2条C.3条D.4条3.设函数(x)=e c o s/d E,则函数(x)的导数(x)等于)_ x2 2A.2 xe c o s xB.-2 xe*x c o s x22

24、:，的渐近线共有x 5 x +6C.-2 xexc o s xD.-e c o s x24.下列级数收敛的是)2 +1 “2 +e nA.y B.C,丁n=8 ，72Erln=乙5.二次积分/(x,y)公交换积分次序后得)pl rx+1A.Jf(x,y)dy dxX f(x,yydyC.f(x,y)dyD.6.设/(X)=X3-3X,则在区间(0,1)内)A.函数/(x)单调增加且其图形是凹的B.函数/(x)单调增加且其图形是凸的C.函数/(%)单调减少且其图形是凹的D.函数/(x)单调减少且其图形是凸的二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分2 4分)7.r 4-1l i m()x=X-

25、8.若 八。)=1,则 盛9.定积分J:分公的值为/(%)-/(-%)X1 0.设(1,2,3)=(2,5/),若。与b垂直，则常数攵11.设函数z=ln J J+d y ,则 必 曰=y=01 2.某级数Zn=0攵 以 的 收 敛 域 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _n三、计算题(本大题共8 小题，每小题8 分，满分64分)13、求极限l i m(-1)xta nx x14、设函数y=y(x)由方程y+e 8 =2 x所确定，求 电,父a x dx15求不定积分Jxarctan M x16计算定积分f dxJo V2x+1x=2+

26、，17、求通过点(1,1,1),且与直线 y=3+2,垂直，又与平面2xz 5=0 平行的直线的方程。z=5+3f18、设 z=y 2/(肛,)，其中函数/具有二阶连续偏导数，求 丁 丁oxdy19、计算二重积分JJx力 力，其中D 是由曲线冗=J1 一)，直线y=不及不轴所围成的闭区域。D20、已知函数旷=，和 y=e/x 是二阶常系数齐次线性微分方程y+0；+qy=o 的两个解，试确定常数P,q的值，并求微分方程y-+p y+q y=/的通解。四、证明题(每小题9 分，共 1 8分),1 ,12 1、证明：当 X 1 时，-?+-2 22 2、设/(x)=x 其中函数/(X)在 x =0处

27、具有二阶连续导数，且1,x =0,夕(0)=0,8(0)=1,证明：函数/(x)在 x =0处连续且可导。五、综合题(每小题1 0 分，共 2 0 分)2 3、设由抛物线y =x 2(x Z 0),直线 =/(。1)与丫轴所围成的平面图形绕*轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为用他)，由抛物线直线丁 =/(0 。1)与直线=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为(。)，另V(a)=K(a)+%(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。2 4、设 函 数/(X)满 足 方 程 f(x)+/(无)=2 产，且/X 0)=2,记 由 曲 线 y =与直线/(x)y =l,x=t(

28、t 0及 y轴所围平面图形的面积为A(t),试 求 l i m A。)/-+2001年 江 苏 省 普 通 高 校“专 转 本”统 一 考 试 高 等 数 学 参 考 答 案1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、27、y=e3x(Cj cos2x+C2 sin 2x),其中 G、G 为任意实数8、y心+y)dx2 2649、yxydx+xy In xdy 10 11、J +x 2yx 1 +212、313、x=1是第二类无穷间断点；x=0是第一类跳跃间断点；x=l是第一类可去间断点.2*2x x x 114、1 15、dx=f-+e-dx ex-ln(l+ex)+C 16、-J1+/J

29、l+ex 7t-tanxdr f-tanxcir17、y=eJ I secx-dx+Cecosxsecx-V公+cx+CcosxI 八 0+C 八 xRD=0=-=C =0=y=-cosO cosx18、解：原式:js in y 2 1(以=l cos419、解：“在原点的切线平行于直线2x+y 3=0 n/C O l z =-2即匕=-2I r又由/(x)在x=l处取得极值，得/(1)=0,即3a+b=0,得。=一=2故/)=2/2,两边积分得了(x)=/-2 x +c,又因曲线y=/(x)过原点,2 2所以 C=o,所以 y=/(x)=1%3-2工20、=/i.2 x+/1 2-dx yd

30、2z 2x2”x“1-=-h J 12-T J 22-rSxdy y2 y3 y221、(1)2y x+l=0；(2)；(3)V=9 V=7 V3x 6 522、=11m、3)处-/3)=1 1 m/3)A x-./W)加 TO 1 AvfO(zx)2lim 1A x土(.二(3=lim/3)&=1/(0)A H 2 Ax 右 o 2 Ax 223、由拉格朗日定理知:+(b a +b),/(a)-/(0)-/2)S&2 a)a由于f(x)在(0,c)上严格单调递减，知/(。)f(a +b).24、解：设每月每套租金为20 0+1 0 x,则租出设备的总数为4 0 x,每月的毛收入为:(20 0

31、 +1 0 x)(4 0 幻，维护成本为：20(4 0-x).于是利润为：L(x)=(1 80 +1 0 x)(4 0 一x)=7 20 0 +220 x-1 0 x2(0 x L(0)L(4 0),故租金为(20 0+1 0 x1 1)=31 0元时利润最大.20 0 2年 江 苏 省 普 通 高 校“专 转 本”统 一 考 试 高 等 数 学 参 考 答 案0 1 0 5、A C A B D 0 6-1 0,C B A B B 1 1、1 1 2、(-o o,1 1 4、J 2e-*+3 1 5、1 6,1 1 7,11 c s z 1 d2z y1 8、=.=，-=-T 7&J/+,2

32、QyQx(X-+y-)1 3、01 9 解：令1 =x-1,则x=2时1 =1,x=0时:/=1,所以)/(工_ 总=J：1 x 八+J o J-dx=1 +ln(l+e 1)=ln(e +1)20、原式=+ydx=J；rdr=,1 221、y-eco s v(x+1)22、arcs in2 x2+C423、(1)k=e(2)(1 +x)*-、x(l+x)ln(l+x),x N 02,x=0r 0 c x2-2 x+4 f 2 (x2-2x+4 624、(1)S=dx dy+dx dy=一J-2 J -6x J O J2 x 3(2)V=7r (x2-2 x+4)2d x-(-6 x)2dx-

33、zr(2x)2dx=x225、证明：F(x)=1-co s x,因为a-x)=R ,所以尸(x)是偶函数，我们只需要考虑7CJT ,Q V “2区间 0,则/(1)=-+s in x,F (x)=+co s x._ 2)71 71-2 1 ，2一在冗E 0,arcco s 时，F (x)0 ,即表明F (x)在0,arcco s 内单调递增，所以函数乃 L 冗一“(X)在0,arcco s 2)内严格单调递增；在xe (arcco s 2,：|时，F(x)0.26、(1)设生产x件产品时，平均成本最小，则平均成本心 )=1=2 2 9+2o o+-!-x,c(x)=o=x=i o o (件)X

34、X 4 0(2)设生产x件产品时，企业可获最大利润，则最大利润xP(x)-C(x)=440-奈卜(25 0 0 0 +20 0 X +02),(xP(x)-C(x)=0 =x=1 6 0 0 .此时利润 xP(x)-C(x)=1 6 7 0 0 0 (元).20 0 3年 江 苏 省 普 通 高 校“专 转 本”统 一 考 试 高 等 数 学 参 考 答 案1、B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9,e2-1 1 0,(1,物)1 1,01 2、dxx/(x,y)dy 1 3 原式=lim K l+x?)尸i-co s x=e2=e-1 4、j 1 2 X 2 X j

35、4匚 1 2dz s e c dx-s e e dy 1 5、一x2，cy y y y 2I n 冗-g)+C1 6、原式=1 0 -s in。，八n-厂由？+-2 1 +C O S2 0 l +co s20 21 7、y=x(ex+c)1 8、dy td =2dx24 r1 9、x=l是 f M =爷的间断点，对;1）-1,limx-M*s in(x-l)k-1!X =1 是 f(x)半匚J）的第一类跳跃间断点.d-y _ 1+/120、J J(1-yjx2+y2)dxdy=J：呵(1 一 r)dr 二福一得D 2 921、（i）切线方程：y=4；(ii)5 =1 4一（4%一2品=|0r2

36、 o 224(iii)匕=匕 一匕=万 x 4 x 2-%J)(4 x-x2)dx=兀22、证明：f(x)=xex-29/(0)=-20,因为/(x)在(0,1)内连续,故/（x）在（0,1）内至少存在一个实数J,使得./）=（）；又 因 为,。）=（1 +功 在（0,1）内大于零，所以/（幻 在（0,1）内单调递增，所以在（0,1）内犹且仅有一个实根.23、解：设圆柱形底面半径为，高位，侧面单位面积造价为/,则有V=7trh(1)y=冗 户 2 1+兀 户 ；+2乃 rhl(2)由(1)得/i =V01;代入(2)得：y=7il 2/+12八 型7i r令 y=7d 5r-0,得：r=d；此

37、时圆柱高/?=|V 57 万1 5万J3型V 4乃2 V 2 5V所以当圆柱底面半径r ，高为一 时造价最低.V 57 r V 4万2 5V4万2 4、解：f x)12-r，f M =-(4+X)2(4+X)3/(无)=2 x 3(4 +4)(X)=(_ l)一,(4 +x 严f(o)=：f(o)T，/(o)=|，尸”)(%)=(-1)券+(T)击 +收敛区间(一 4,4)2 5、解：对应特征方程 2 4 3 =0,4 =-1、&=3,所以丁=。7+。2/“，因为九=0不是特征方程的根，设特解方程为y*=%x +，代入原方程，解得：y =C1e-X+C2eix-x +.2004年江苏省普通高校

38、“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、B 3、C 4、B 5,A 6、D 7、ex-1 _ y _ z+28、9、94 237、ay1 0 a r cs i n4 x +C41 2、(-1,3)x1 3、间断点为=k i,左 Z ,当x =0时，l i m /(x)=l i m-=1,为可去间断点；当x=k i,.3 s i n xxk于0,kGZ 时，l i m =o o,为第二类间断点.5 s i n x(t a n /-s i n/)J/1 4、原式=l i m -一。3/t a n x-s i n x t a n x(l-s i n x)=l i m-=l i m-s o 1

39、2 x3 1 2 x3l i m.v01 2/12 41 5、x =0代入原方程得y(O)=l,对原方程求导得y-ev-x e y=O,对上式求导并将尤=0、y =l代入，解得：y=2 e2.1 6、因为/(x)的 一 个 原 函 数 为，所以/1(%)=4 =(|一|互X I X J XJ xf 2 x)dx=g JV(2幻(2 x)=g J 犬口2 1)=|泣2幻-g J f(2 x)dx=(2 x)一 力(2 3(2加超萨:W+C=*e。p+8 1 /-r+oo 2 1 r+oo 1 I .7 T1 7、f J_dxt=y/x dt=2 =2 a r c t a n=-上 x V T T

40、 Jl t(t2+)J1 t2+1 21 8、dz 京 一于1 1,(-1)+/1 2，X+/2 +y fl(-1)+/1 2 ,X=一力；+(X-)0/1 2 +#2 2 +A1 9、原式或?D y yJ x =j (1 -y)s i n ydy-(y l)co s y|g -co s ydy=1-s i n l11 1i 0、=02)2 0、fM =4 +x-2 4 尤-244,(-2 x 6)2 1、t冗p()乃证明：令，=乃一x,jtfisin x)dx=-j -0/(s i n(-t)dt=(-t)f(sin t)dtr”.产.=江1)/(s i n x)dx J o /(s i n

41、 x)dx故1#(s i n x)公=/(s i n x)t Z x,证毕.?1 s i n x 7i s i n x .7i/、1乃 乃J。x-1 -+-C-O-S2-A:a x=-2 J-a x=-a r ct a n (co s x)0=O 1 +COS2X 2 1 42 2、等式两边求导的 J (x)=2 x+r(x)即 f(x)-犷,(x)=-2 x 且/(0)=1 ,p=-x,2 e e2 x2q-2 x,j pdx=-,epdx=e 2,e J=e 2 ,x2x2，dx t Z r =j -2 xq 2 dx=2 e 222 2X X JT_所以/(x)=(2)万+c M万=2

42、+CeT,由/(0)=-1,x2解得C =3,/(x)=2 3 e 52 3、设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则M(x)=500 x +7 007 4 02+(50-x)2,0 x 0.口/、./(x)+2sinx f(x)-/(0)三/八、c(c olim F(x)=lim-=lim-+2=/(0)+2=6+2=8,X-0 XT。X XT XF(0)=a,故4=8.力石石一力=办区、4cosr-cosz+rsinr d2y(y)z-1-=-t,-=r2-=-=esc/.-sinr dx xt-sin。15、原式=j tan2 xtanxsecxtZx=j(sec2 x-l)Jsecx=jse

43、c2 xdsecx-secx=sec3 x-secx+C.16 原式=xarctanx 一rdx=-f1 +x|0 Jol+x2 4 2Jo l+x2=?-31n=-l n 24 217、S =CS%-/；=coSX/.；-2y)=2,c o s18、I=5,2,1,B=4-3,0,AB=1,2i j k =/xA 8=5 2 1 =8-9-221 -4 2平面点法式方程为：8(x 3)9(y 1)22(z+2)=0,即 8x 9y-22z=59.“、，1 1 X2 1 X21 9、f(x)=(-+-)=-+3 2 +x 1-x 6 ,%31 n-211-xv-2 8 M=0(-1)2+,+1

44、 xn收敛域为一 1 x 0,/(1)=1 0,/(-1)/(1)0,由连续函数零点定理知，/(x)在(-1,1)上至少有一实根.2 2、设所求函数为y =/(x),则有f(2)=4,/1(2)=-3,f(2)=0.由 y =6x+a ,y (2)=0得a =1 2,即 y =6 x-1 2.因为y=6 x 1 2,故y =3 1 2X+G，由 y(2)=3,解得G=9.故y =d-6/+9%+。2，由 y(2)=4,解得。2=2.所求函数为：y=x3-6x2+9x+2.6(2)匕=仙22-2 x)dx-7r(x x2)2 =0 42 4、解：积分区域。为：y x=p+x p，代入得：xp=p

45、 2,分离变量得:X Xj-dp=j-dx,故 工=l n k|+Cxy=-l n|x|+C1 8、令 g(x)=l n(l +x),g(0)=0,g,(x)=Z(l)x dx =-xn+2,=o =o +l故/(x)=k L x +2,-1 X 1.M +l1 9、n%4,-3,1,/=nI x n2=3 -14 -3k1 =2 i+3j+k士x 3 y 1 z +2直线万程为-=-=-2 3 12、豆=赢=2豆2+，(为+%加=2 班+2 也+,%.2 1、令/(x)=3元一一,%-2,2 ,/(x)=3-3x2 0,x =l,/(-1)=-2,/=2,/=2,/(-2)=2；所以 17m

46、m=-2,fma x=2,故 2 4/(x)W 2,即 愀 一 刃 (1)S=J (8 )dx=(2)V=7r(y y)2dy+7r(y/S-yydy=16TT2 4、j j fxdxdy=f(x)dy=/f(x)dxg(0 f7(x)=V a r=0(1)l i m g(t)=l i m C f(x)dx=0 ,由 g Q)的连续性可知。=g(0)=l i i n g(t)=0r-0 r-0 J o r-o(2)当时，g (f)=/(f),ao(M_(0)I f(x)dx当 r=0时，g(0)=l i m y J =1 1 m J o-=lim f(h)=/(0)/：-o h/：-o h/：

47、-o综上，g (t)=f(t).2 0 0 7年 江 苏 省 普 通 高 校“专 转 本”统 一 考 试 高 等 数 学 参 考 答 案1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、l n2 8、1 9、2 7V 1 0、2I x1 1 dx-dy 1 2、y-5y +6y =0y y1 3、解：l i m G.x .l-l i m C _：-1=同6 二1=同 里=.“T x t anx i o%-i o 2X Z0 2 21 4、解：方 程 一 =移，两边对x求导数得e*-e ：y =y +孙 ，故 包=?=交 二?dx ey x又当了 =。时,dy,d2y 小y =0,故 =1、=

48、2.dx x=Q dx|x =015、解：J x2exdx=-J x2d(ex)=x2ex+2J xexdx=x2ex 2 jxd(ex)=-x2ex-2xe-x-2e-x+C.j 八 A e 1 J l 厂 7 .gcos/.t 7i16、解：令=5111，则 b 3 公=I?d t-1.X2 4 sin 2 f 4Sz.dz z 1 .“17、解：=2/,+yf2,丁=2(九3+工2-)+力+武/23+/22-幻dx dxdy=6/；+(lx+3力芯+xyf22+fi,1.118、解：原方程可化为y-一y=20 0 7 x,相应的齐次方程y y=0的通解为y=G;.可x x设 原 方 程

49、的 通 解 为y=C(x)x.将 其 代 入 方 程 得C(x)x+C(x)-C(x)=2007x,所以C(x)=200；从而C(x)=2007x+C,故原方程的通解为y=(2007x+C)x.又y=2 0 0 8,所以C=l,于是所求特解为y=(2007x+l)x.(本题有多种解法，大家不妨尝试一下)19、解：由题意，所求平面的法向量可取为n=(1,1,1)x(2-1,1)=1 12-1k1 =(2,1-3).1故所求平面方程为2(x l)+(y 2)-3*-3)=0,即2x+y 3z+5=0.20、解：j j x1+y2dxdy=j j p2dpdO=d O Op2dp=-jcos3 Od

50、O=.DD 3。921、解：(1)V=7r(l-x2)2dx=；J。153 3(2)由 题 意 得(l y)2fy=(l y)2dy.由 此 得(1一。T _=_(1_幻5.解得22、解：f (x)=3ax2+2hx+c,/(x)=6ax+2.由题意得了(-1)=0、/(1)=0、/(I)=2,解得 =一1、h=3、c=9一、a y b a x b23、证明：积分域Q：,积分域又可表示成。：y x b a ydy fx)elxdxX e2ydyJa Jy J J Ja Ja Ja JaD=f(x)e2x e心=(e3j-e2x+fl fxdx.1 y2 124、证明：令尸(x)=lnx ,显然