不等式（理）.pdf

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1、不 等 式（理）一周强化一、一周知识概述本周复习的内容是高二（上）第 六 章 不等式.具体安排如下，第一课时,复习不等式的概念与性质。第二、三课时复习不等式的解法，要求掌握有理不等式的解法，分式不等式的解法，含有绝对值不等式的解法的解法，及指对数不等式的解法。后两课时要求掌握不等式的证明.二、重难点知识的归纳与剖析（）本周复习的重点1、不等式有如下8条性质：（1）a b=b b,b c=a c.（传递性）（3）a b=a+c b+c.（平移性）（4）a b,c O=a c b c；a b,c O=a c b K）n a b n,n WN,且 位2.（乘方性）（6）a b NO=发 孤，nN,且

2、n N2.（开方性）（7）a b,c d=a+c b+d.（叠加性）（8）a 应O,c dNO=a c b d.（叠乘性）2、两个重要不等式及其各种变形.a2+&2 lab(a,决国产+外2 片+房至 组 迦 一豕也)2血加g 2/宙+J2 3奶c.(3,线及+),a+s+c、3 3/abc,此外还有a2+b2+c?Nab+bc+ca(a,b,c R).1推 论:a2+b2+c23(a+b+c)2ab+bc+ca(a,b,c R).am+n+brn+nambn+allbm(a0,b0,m、nGN*)特别地：a3+b3a2b+ab2(a0,b0)；a5+b5a2b3+a3b2(a0,b0).利用

3、不等式定理求最值应注意三点正不等式成立的条件；定最值必须是不含自变量的定值；等必须判断等号能否取得到.如果利用不等式定理求最值时，“=”号确定取不到，则这种方法失效，应该y=x+考虑其他方法，一般考虑单调性法(即利用函数 x(a0)的单调性).3、不等式的证明(1)比较法:求差比较法：要 证a b,只须证ab0.-1求商比较法：要 证a b,而b 0,只须证3.（2）综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题.如

4、果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法.（4）反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法.（5）换元法：换元法是指对结构较为复杂、量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式.（6）判别式法：判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法.（7）放缩法：欲 证ANB,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量,使得 B

5、a BIA2,.A 2 B,再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法.（8）最值法：xNy恒成立0成 为 取；xgy恒成立o 烂,疝1.4.不等式的解法（1）简单的一元高次不等式的解法：一元高次不等式f（x）0用 根 轴 法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：将f（x）的最高次项的系数化为正数；将f（x）分解为若干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；根据曲线显现出f（x）值的符号变化规律，写出不等式的解集.血0或 巴 马 0(2)分式不等式的解法：先将不等式整理成乐*)g 的形式，再转化为整式不等式求解，即纸 0=/(x)g(x)0g(x).

6、n e J/(x)g之。g(x)lg(x)#o.(3)无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.师飒=卜(桃。，廖 g(x)2,l/w 0./(x)0,7 g(x)=g(x)2 0,/W 0,-jTW 4S(7)=g(碘。，=/(x)g(x)0.,/W g(x),(4)解指数不等式的基本途径有两个：一是化为同底得出af(x)0,a/1)的形式，它的同解不等式为：当 a l时，f(x)g(x),当 0 ag(x)；二是先用换元的方法解关于ax的不等式，再解最简指数不等式a S b 或 ax 1%g(x)o /(r)g(r)0(a 1),或 0f(x)g(x)(0a0,令 logaf(x)=t,转化

7、为n +n t+Q O,先 求 t 的取值范围，再确定x 的集合.三、例题点评例 1、已知x 0,y 0,且 ,求 x+y的最小值.分析：此题属于求条件最值（x与 y之间有一定的约束关系），解答关键是合理使用条件，如果从中解出x或 y,再代入x +y转化为一元函数的最值问题，显然是比较复杂的.但我们设法整体使用条件，解法就简捷多了。解答：解 法 11 9x 0,y 0,+=1,x y：.x +y=(+)(x+y)=+1 0 6+1 0 =1 6.x y x y当 且 仅 当 白 旅 又 ill即 x=4,y=1 2 时,上式等号成立.故当 x=4,y=1 2 时，（x+y）m i n=1 6.

8、解 法 21 9 ,一+=1由 X y ,得（x l）（y 9）=9 （定值）.又 知 x l,y 9,所以当且仅当Xl=y 9=3,即 x=4,y=1 2 时，（x+y）mi n=1 6.总结：整体思维是一种很重要的解题思路，它能使问题得到很好的解决.另外，本题还可利用三角换元法、判别式法、数形结合法等求解，请读者自己去探索。例 2、设 a、b、c G R*,求证:3（七+。一联北2竽-必）分析:本题看上去不能直接应用重要不等式，但当取等号时a=b=c=c=嫡，于是可把原不等式转化为不等式+2、破 之 3陡，然后就可以利用重要不等式进行证明.证明：原不等式即为a+B+c-3 北W a+b-2

9、倔，即 c+2ab 3/abcc+2Jab=c+-Jab+-Jab=3/abc.原不等式成立.总结:从等号成立的条件出发探索拆项的合理性.一个看上去不能直接应用重要不等式证明的不等式，若能进行有效变形，就能快速得证.例如：若 x0,y0,求证这等价于 1+x2y+xy2N3xy.由三元均值不等式知这是显然成立的.例 3、若 a,b,c 是不全相等的正数，求证:,a+b,b+c.c+a.,.lg+lg-+lglg+lgC.分析：根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法又可用综合法.证明：方法一：（分析法）1a+b 1 b+c c+a.1.坨7-+坨一+坨W 一lga+lgb+lgc8 b+c

10、c+a Igabc_ab b+c c a ,abc.2a+b2 2 0,yfbc 0,c+a22手 0,且以上三个不等式中等号不能同时成立.a+b b+c c+a ,-，-abc所 以 2 2 2成立，从而原不等式成立.方 法 二（综合法）：*/a,b,cR ,唳 孙o,警 岂 庇 0,|0且上述三个不等式中等号不能同时成立,a+b b+c c+a,-，-，-abc2 2 2IgCa+b b+c c+a.-)Igabc2 2 21a+b i b+c i c+a 1 1.lg+lg+lg-lga+lgB+lgc即 2 2 2总结:分析法和综合法是对立统一的两个方面,分析法的证明过程恰好是综合法的

11、分析、思考过程，综合法是分析、思考过程的逆推.例 4、已知 a0,b0,c 0,且 ab+bc+ca=l.求证：(l)a+b+c;信*舟层凤+婀分析：本题可先采用分析法，再用综合法证之.证明：(1)要证明 a+b+c ，由于 a b、c R卡,因此只需证(a+b+c)23,即证明：a2+b2+c2+2(a b+b e+ca)3.根据条件，只需证明a2+b2+c2l=a b+b c+ca.a2+i2 i2+c2 c2+a2而这里可由a b+b c+ca 2 +2 +2 =a 2+b?+c2证得的.原不等式成立.(2)f a f F-f c a+b+c4 be+改 十 心 匕 yf a bc在(1

12、)式中已证得：a+b+cN百.原不等式成立只需证明：,-+A/CNa bc也就是只需证明：a底+入痴+c心 区a b+bc+ca.而 a-Jbc=labacab+ac-2 b-4ac=njab-bcc/ab=yjacbc ab+bc-2 ac+bc-2.ayfbc+by/ac+c-7 a B +8 c+ca 成 立.点评：问题(2)还是联合运用了分析法与综合法，只 是(2)的证明中用到了(1)的结果，也是常见的证题思路.例 5、解下列不等式.(1)X44X3+X2+6Xx.(3)a x2-2(a+l)x+4 0 (a 0).分析：(1)为一元四次不等式，可用根轴法求解；(2)为绝对值不等式着眼

13、如何脱掉绝对值符号.(3)先将左边二次三项式因式分解找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。解答：(1)原不等式可化为x(x+1)(X 3)(X 2)V O,由根轴法，易知不等式的解集为 x l I V x V O 或 2V x V 3 .x 0(2)不等式同解于x x解得x 0 或 3 VxV7 或0W x 6+上.故原不等式的解集为(-8,6 布)U (3,7)U (6+用，+o o).(3)原不等式变形为(a x 2)(x 2)0.布=,=2对应一元二次方程的两根为 a .a=l时，X|=X2=2,不等式的解集为 x l x#2,x G R ；20 a X 2，不等式的解集为 x l x

14、 或x l时 一，x i 2或x .点评：1 .用根轴法解-元高次不等式，分解因式是关键.若出现重根的情形转化为不含重根的不等式组，譬 如x(x+l)(x-l)(x-2)2 0.应等价于1寺+l)(x-3)a=f(x)a或f(x)V a的前提条件是a 0,故应分类讨论.2.解含参数的二次不等式时必须明确：(1)图象的开口方向；(2)判别式确定存在的范围；(3)两根的大小.例6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，宽度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积a b成反比，现有制箱材料6 0

15、平方米，问当a,b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数 最 小(A、B孔的面积忽略不计)分析：题意中的“杂质的质量分数可按 杂质的含量”理解，设 为 y,由题意y与 a bky=成反比，又设比例系数为k.则 岫，又由于箱体材料的限制，a,b之间应有一定的关系式，即 2x(2b)+2a b+2a=6 0,因此该题的数学模型是：已知a b+a +ky 2b=3 0,a 0,b 0,求 a,b为何值时，油最小.解答：解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y.由题意=茄，其 中k为比例系数(k 0).又据题意 2x(2b)+2a b+2a=6 0(a 0,b 0),3 0-ab=-.2+a

16、(由 a 0,b 0 可得 a 0,要求y的最小值，必须求解ab的最大值.依题意，4b+2ab+2a=60,即 ab+a+2b=30（a0,b0）,a+2bN2 辰（当且仅当a=2b时取等号）ab+2应 病W30,可得 0 b=3.即a=6,b=3时ab取最小值，从 而y值最小.点评：本题的难度不在于建立数学模型，而在于建模后如何求函数的最值，这需要扎实的数学知识和灵活应用基本定理，公式的解题能力.直线和圆的方程（理）一周强化一、一周内容概述本周复习内容为第七章“直线和圆的方程”.主要内容有直线的方程、线性规划、圆三部分，是解析几何中比较基础的部分.主要考查形式有：（1）直线方程特征值（斜率、

17、截距等）的有关问题；（2）直线平行和垂直的条件；（3）角度与距离的问题；（4）圆的特征值（圆心、半径等）；（5）直线与圆的综合性问题；（6）线性规划的应用问题等.涉及的数学思想有：数形结合，方程的思想等，因此处理起来技巧性比较强.二、本周复习的重点与难点（）本周复习的重点1、求直线和圆的方程；2、运用坐标公式求距离，求角度，求面积及圆的切线、弦长等问题；3、直线间的位置关系，直线与圆间的位置关系的判定和应用；4、线性规划应用问题.（二）本周复习的难点1、灵活运用直线方程的几种形式求直线的方程；2、灵活运用圆的方程的几种形式求圆的方程；3、数形结合、函数与方程、等价转换、分类讨论等多种数学思想，

18、坐标法、向量法、参数法、消元法等多种方法的灵活运用.三、例题解析例1、设 直 线ax+by+c=O的倾斜角为&,且sin+cos0=0,贝U a,b满 足（）A.4+8=1 B a-b =C.a+b=0 D.a-b =0分析：a直 线ax+by+c=0的 倾 斜 角 为 则 直 线 的 斜 率 为tan=-E,a由 s i r a+c o s。=0 知 t a r a =-1,即一3=1,所以以一&=.答案:D例 2、过点M(0,l)作直线，使它被两已知直线：x-3 y+10=0,z2：2 x+y 8=0所截得的线段恰好被M所平分.求此直线方程.分析：所求直线过点M(0,l),故只需设出点斜式

19、方程，由另条件确定斜率，直线方程可求，而在具体求斜率时，既可先由k表示出所求直线，”乙的交点坐标，再由M为中点确定斜率，也可由所求直线与外，八都相交，设法建立x的一元二次方程，找到所求直线与乙,2 的交点的横坐标之和，再由M为中点来确定斜率.解答：过点M且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y=k x +%分别交于A、B两点，联立方程组：(1)(2)71,与已知两直线人,y=Ax+1x-3y+10=0y=辰+12x+y-8 =0由(1)解得:7由(2)解得:.点M平分线段A B,-+-=0 k=.X A+X B=2X M，即诙 1兀+2 解得 4.故所求直线的方程为x+4y4=

20、0.点评：至于分析提到的方法（2）留给同学们自行作答.例 3、（1）P（4,2）是圆C,x?+y2-24x28y36=0内的一个定点，圆上的动点A、B 满足NAPB=90。，求弦AB中点Q 的轨迹方程.（2）已知定点AM 为切线上一个动点,方程.（0,2）及。O：x2+y2=4.过 A 作直线 MA 切。O 于 A,MQ切。O 于 Q 点（如图），求AMAQ的垂心H 的轨迹分析：圆的性质很多，如垂径定理、切线的性质等，恰当地运用性质转化已知条件,可使求轨迹方程的过程简化.这两题均可采用几何法求轨迹.解：（1）ZPAB为直角三角形，Q 为中点，则1IPQI=IBQI=2 IABI,且 CQL A

21、B.在ACQB 中，ICQF+IQBFTBCF,.,.即 ICQI2+IPQI2=IBCI2.设 Q(x,y),C(12,14),IBCI2=376,:.(x 12)2+(y-14)2+(x4)2+(y2)2=376,整理得 x2+y2-16x16y8=0.(2)连 O Q,则 OQLMQ,AHMQ(H 为 垂 心)，OQAH.又 OA_LAM,QH1AM(H 为 垂 心)，OAAH,四边形OAHQ为平行四边形.又OA=OQ,.平行四边形OAHQ为菱形.，IAHI=IOAI=2.，H 的轨迹方程为 x?+(y2)2=4(X#0).点评：此题涉及直线与圆的位置关系，轨迹方程的求法，直接用几何性质

22、求轨迹是一种常用的方法，应注意它的应用.例4、已知直线y=k(x+2)与曲线Iyl=x2(|yl)(1)若k=1,求出直线与曲线的交点；(2)若k e R,试确定直线与曲线的交点个数.分析：探讨直线与曲线交点问题可转化为探讨方程组解的个数问题.解答：(1)k=1,则此时直线方程为y=-x2,代入方程lyLx?,得IX+2I=X2,若 xN2 时，X2=X+2,BP X2X2=0解 得x=1或x=2.又*x2 l,x=-1,y=-1若 xV2 时,则 x?=(x+2),B P X2+X+2=0.VA0,，此时无交点.故所求交点为(一1,1).(2)邮戋I y l=x 2(|y l)即抛物线y=x

23、 2 和 y=-x 2 的一部分，直线恒过定点P(一2,0),在同一坐标系中作出它们的图形如图.当 k k p c 时、直线与曲线无交点.当k=k p o或 k p B k W k p c 时，直线与曲线有一个交点.当 k p A W k 0 或 O V k W k p B 时，直线与曲线有两个交点.即 k 1 H 寸，没有交点；无 1 1 兀 弓或k=0 或1时，有唯一交点；-无 0 0 -3 或 3时-，有两个交点.点评：求曲线的交点，一般就是求相应方程组的解，而考虑曲线的交点个数，则往往借助图形进行分析.例 5、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人

24、打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为1 0 0%和 50%,可能的最大亏损率分别为3 0%和 1 0%.投资人计划投资金额不超过1 0 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？分析：对于线性规划问题一般问什么，设什么，建立目标函数，根据已知条件列出不等式组，作出可行域找最优解.解：设投资人分别用X万元、y万元投资甲、乙两个项目.由题意知x+”1 0,0.3 x +0，V 0,0.目标函数z=x+0.5 y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴 影 部 分（含边界）即可行域.作直线?。：x+”=

25、0 ,并作平行于直线。的一组直线X +0.5y =z,z e R,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x +0.51y =0的距离最大，这 里M点是直线x+J=1 0和0,3x +0=L 8的交 占八、x+y=10,解方程组10 3x +0”=L8,得.y=6此时z =1x 4+0.5x 6=7 （万元）.；7 0 ：.当.*=4,y=6 时 z 取得最大值.答：投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.圆 锥 曲 线（理）一周强化、一周内容概述本周复习内容为第八章圆锥曲线方程.本周重点复习：1、椭圆及其标准方

26、程、椭圆的简单几何性质；2、双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质；3、抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质.二、重、难点知识的归纳与剖析（-）本周复习重点椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和性质，求曲线方程的各种方法，直线与圆锥曲线的位置关系.1、椭圆的定义、标准方程及几何性质（1）椭圆的第一定义平面内与两个定点R、F 2 的距离之和为常数（大于IF 1F 2 D 的点的轨迹叫做椭圆.（2）椭圆的第二定义平面内，到一定点F与到一定直线I的距离之比为一常数e,且 0 e b 0 时分别表示中心在原点，焦点在x 轴和y 轴上的椭圆.M+匕(4)椭圆的几何性质一一以方程a?b2(a b 0

27、)表示的椭圆为例，其几何性质如下：范围是一a g x g a,且一b W y W b；关于x 轴、y 轴和原点都对称；四个顶点坐标是(a,0)、(0,b)；e=-e(0,1),其 中 c=-*离心率 4；a2x=-准线方程是 C(5)椭圆的参数方程:+=1 L 呷3椭圆/b2(a b 0)的参数方程为1y =3c s w 为参数).x=b n b 0)的参数方程为 y=1 c o s w 为参数).2、双曲线的定义、标准方程及几何性质(1)双曲线的第一定义平面内与两个定点F i、F 2 的距离的差的绝对值是常数(小于IF F 2 I)的点的轨迹叫做双曲线.(2)双曲线的第二定义平面内到一个定点

28、F的距离和到一条定直线1的距离的比是常数e,且 e l 的动点的轨迹叫做双曲线.一乙I -1(3)双曲线标准方程的两种形式/a 2 b2 风b0)分别表示中心在原点，焦点在x 轴和y 轴上的双曲线.工 金=1(4)双曲线的几何性质以方程/*(a,b 0)表示的双曲线为例，其几何性质如下：范围是x g a,或 x N a；关于x 轴、y 轴和原点都对称；两个顶点是(a,0)；e =e (1,+c o),其 中 c =J&2 +.2离心率 a；2 Lx=、渐 近 线 方 程 是 y=x.准线方程是。3、抛物线的定义、标准方程及几何性质(1)抛物线的定义一一平面内，到定点F与到定直线1 (F e l

29、)的距离之比为 1 的点的轨迹叫做抛物线.(2)抛物线标准方程的四种形式 y 2=2 p x、y 2=-2 p x、x?=2 p y、x2=2 p y当p 0 时分别表示焦点在x 轴上开口向右、开口向左和焦点在y 轴上开口向上、开口向下的抛物线.(3)抛物线的几何性质以方程y 2=2 p x (p 0)表示的抛物线为例，其几何性质如下：范围是x 0；关于x 轴对称；顶点坐标是(0,0)；离心率e=l；P P焦点坐标是（5,0）,准线方程是x=-2.4、直线和圆锥曲线的交点问题设直线 1：Ax+By+C=0 与二次曲线 C：f（x,y）=0Ax+ByC=0*（1）交点个数与方程组（*）有几组解一

30、一对应.（2）交点坐标即为（*）的解，1与C 有一个公共点时，1与C 相交或相切.（3）注意消元后非二次的情况如直线1：Ax+B y+C=0.圆锥曲线方程f（x,y）=0.由 :_J（x,y）=。消元（x 或 y）,如消去y 后得：ax2+bx+c=0,若 a=0时,当圆锥曲线是双曲线时；直线1与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线1与抛物线的对称轴平行（或重合）.（4）直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形.5、直线与圆锥曲线相交的弦长问题y=kx+b（1）俄1 :y=kx+b,与二次曲线C：（x,y）=0交于A、B 两点，由1/（%月=得：=4 7/1-2卜府艮纥产ax2

31、+bx+c=0（aO）,则（2）若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以便简化计算.如椭圆（中心在圆点，焦点在坐标轴上）I A B I=2a e(x i +X 2)(过右焦点)I A B I=2a +e（X +x 2）（过左焦点）I A B I=2a e（X +x 2）（过上焦点）I A B I=2a+e（x i +x 2）（过下焦点）6、利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）代 入（即将端点代入曲线方程）作 差（即两式相减）得出中点坐标与斜率的关系。7、圆锥曲线中的对称问题对于曲线上点关于直线的对称问题处理时要抓住三点：（1）对称点的连线垂直于对称

32、轴（垂直）；（2）对称点的连线段的中点在对称轴上（平分）；（3）对称点所在直线与曲线相交（）。（）本章的难点灵活运用圆锥曲线定义，解决与圆锥曲线性质和方程有关的问题，直线与圆锥曲线相交的有关问题.三、例题讲解例 1、如图所示，等 腰 R t A P B 的条直角边AP在 y 轴上，A点 在 x 轴下方，e+乙B点 在 y 轴右方，斜 边 AB的长为3 点，且 A、B两点均在椭圆C：/（a b 0）上.（1）若 点 P的 坐 标 为（0,1）,求椭圆C的方程；（2）若 点 P的 坐 标 为（0,t）,求 t的取值范围.y策略：这种类型的分步设问题，第（1）步的求解往往能给第（2）问的求解以一种启

33、示，而考虑求某一变量的取值范围时建立不等关系最重要.解答：（1）依题意，可设 B （x o，1）、而 A （0,-b）,1 +人 而，f R9 2 a=24 3,二 居+=L b=2,a2 b2=R国+（1+与2=电心=所求椭圆C的方程是+=1；1 2 4（2）同上理，有2（/+6）2=1 8,2+&=%,9?1 .9 1/（37）2&2（37）2 9 -6/0,总结：椭圆的取值范围是进行不等放缩，或建立不等关系的一种依据和途径，在与椭圆有关的问题中，若没有明确给出不等条件而要求某种变量的取值范围时，常据此构造不等式.例2、求与双曲线x2 2 y 2=2有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双曲

34、线的共匏双曲线的方程.策略：在一定条件下求指定曲线方程的主导方法还是待定系数方法，对于共渐近线的双曲线可由双曲线系方程去求.解答：-y2=1 -y2=k令与双曲线2 有公共渐近线的双曲线系方程为2 ,将 点M(2,-2)，代入，得02(2-2)22 2,-x-2 F-y-2=1.4-2由共辗双曲线的定义，可得此双曲线的共朝双曲线方程为幺y2 1-=14-2总结：与/必 有公共渐近线的双曲线系方程是/仔(k GR,k/),这种设法可简化运算、避免不必要的讨论.例3、设F点是抛物线y 2=a x的焦点，直 线AB过F点，交抛物线于A、B两点,M(a,b)满足条件 a?=2 b 2.(1)证明：以A

35、B为直径的圆与抛物线的准线相切；(2)若P是抛物线上任一点，且I P FI +I P M I的最上值是5,求a、b的值.策略:问题与过焦点的弦长有关，而焦点弦长与圆锥曲线定义有关，所以可以考虑借助抛物线的定义解决问题.解答：(1)过 A、B 分别向准线做垂线，垂足设为A，、B，(如图所示).A B 中点设为C,C C,准线于C,由抛物线定义，IABI=IACI+ICBI=IAFI+IFBI=IAA|+IBB,|=2|CC,|,1即 ICC|=2 IA B I,故得证；(2)显 然 M 点在抛物线开口内，过 M 做准线的垂线交抛物线于P0,易知此时IPFI+IPMI最小，且最小值为,%5a 44

36、 4a=4,i=2&.总结：由抛物线的定义，可以导出：若 Po(xo,yo)是抛物线y2=2px(p0)上的任一点,I PF|=AQ+则该点到抛物线的焦点F 的距离(焦半径)2.例 4、设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与x 轴平行，开口向右，直 线 y=2x+7被抛物线截得的线段的长是4所，求该抛物线的方程.策略:这是直线与圆锥曲线位置关系的一类常见题型：在涉及弦长计算的条件下求圆锥曲线的方程.通常还是采用待定系数方法，利用弦长计算公式来建立关于待定系数的方程.本题应先根据已知条件，设好待定系数.解答：由于抛物线经过点(一1,6)和 点(1,-2),从而它的对称轴是y=2.

37、设其 顶 点 为(a,2),则方程是(y 2)2=2 p-(xa)(p 0).由抛物线过点(一1,6),得 8=p(l+a),将 y=2 x+7代入可得A x2+(2 0-2p)x+(2 5+2p a)=0.由份产科工1亲=诋化简得：p22 0 p 8 p a=1 2 8.0=6 c t 3联立，解方程组得-3(p=-4,a=l,不合题意，舍去)(y-2)2=3 2(x+-)抛物线方程是 2 .总结：对称轴平行于坐标轴的抛物线一般应由四个独立条件确定，其方程可以形如(y-y o)2=2 p(x-x0),所以应设法找到四个等量关系，以得关于待定系数的方程组.9 V4X2+=1,例5、（2 0 0

38、 4年辽宁高考题）设椭圆方程为 4 过点M（0,1）的直线13=1 +岳）点雕坐标为（L 5交椭圆于点A、B,O是坐标原点，点P满足 2 2 2当1绕点M旋转时，求:（1）运点P的轨迹方程;（2）加 的最小值与最大值.策略:解答本题的基本思想方法就是把向量式转化成坐标表示,先求出点P的轨迹的参数方程，然后通过消参数就可求出动点P的轨迹方程.解答:（1）直线1过点M（0,1）,设其斜率为k,则1的方程为丫=1 +1 .记A（x i,y i）B（X2,y 2），由题设可得点A、B的坐标（x i,y D、（X2,y 2）是方程组y =H+l,+J=L4的解将代入并化简得，（4+k 2）x 2+2 k

39、 x 3=0,所以K +为2k4+k84+/型研衿砺岩，/=舟,舟）.设点P的坐标为（x,y）,则一 无X=y4+k24 ,4 +7 消去参数k得4 x 2 +y 2 y=0.当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0,0）,也满足方程,所以点P的轨迹方程为4 x2+y2-y=0.（2）由点P的轨迹方程知 4 4故“涉所 以|而F=_-3（吟2+石西|-取得最小值，最小值为4取得最大值,当时丽6V 2 1最 大 值 为 了总结：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，求轨迹方程的基本方法等解析几何的基本思想和综合解题能力.空间直线与平面的位置关系（理）一周强化一、知识概述1、平面的性

40、质（1）公 理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。作用：是用直线鉴别平面的方法。证明直线在平面内的依据。（2）公理2：如果两平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。作用：这是判定两平面相交的方法。说明两平面交线与两平面公共点之间的关系，交点必过公共点。是判断点在直线上，即证若干点共线的依据。（3）公 理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推 论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推 论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推 论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公 理3及三个推论的作用：它是在空间中确定

41、平面的依据。它是证明两平面重合的依据。它为立体几何问题转化为平面问题提供了理论依据和具体方法。2、平行直线（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等。3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，它们既不平行也不相交。（2）判定：定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法。定理：连结平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。（3）两条异面直线所成的角:直 线a、b是异面直线，经过空间任一点O分别作直线a，a,b，b,相交直线a，b，所成的

42、锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角，如果两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。4、直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。5、平面与平面平行（1）平行平面如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，记 作a医（2）平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3）两平面平行的性质定理。如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行

43、。6、直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。7、三垂线定理及逆定理。定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。8、空间的角（1）两条异面直线所成的角定义：同前第3点 中（3）求法：直接法；向量法。（2）直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角。求法：直接法；公式法。利用公式COS9=

44、COS8COS02；向量法。（3）二面角定义：从一条直线出发引出两个半平面所组成的图形叫做二面角。一个平面垂直于二面角a 1 B的 棱1,且与两个半平面的交线为射线O A,0 B,0为垂足，则NAOB叫做二面角a 1 B的平面角。二面角的平面角的作法：定义法；三垂线法；垂面法。二面角求法：直接法；射影面积法；向量法。9、空间距离（1）点到平面的距离一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一-点到这个平面的距离。（2）直线到与它平行的平面的距离一条直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。(3)两个平行平面的距离两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。(4)异面

45、直线间的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线，夹在两异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。二、例题解析例1、如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA，底 面ABCD,AEPD,EFCD,AM=EFo(I )证 明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(I I )若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。分析：(1)需用线面垂直的性质定理及判定定理来证明MF L A B且MF,P C.(2)本题需作出直线和平面所成的角，再用相似三角形知识来求此角的正弦值。(I)证明：因P A _

46、 L底面，有P A L A B,已知A B J_ A D,故A B J_面P A D,推得B A 1A E,又 A MCD E F,且 A M=E F,证得A E F M是矩形。故A ML MF。又因 A E _ L P D,A E 1CD,故 A E _ L面 P CD,而 MF A E,得 MF _ L面 P CD,故 MF J_ P C,因此MF是A B与P C的公垂线。(H)解：连 结B D交A C于0,连 结B E,过0作B E的垂线0 H,垂足H在B E上。易知 P D上面 MA E,故 D E _ L B E,又 O H J_ B E,故 O H D E,因此 O H J_面 M

47、A E。连结A H,则N H A 0是所要求的线A C与 面MA E所成的角。AO=-A C=a.设 A B=a,则 P A=3 a,2 2因 R t A A D E R t A P D A,故从而在R t A A H O中,smZHAO=OH _ a 2 1 下AO 2 7 10 X7 -7 2 0 -点评：本题所求的是线面角，且需要考生在图中作出所求的角，考查了线面垂直的判定性质定理，二面角，公垂线定义等知识，并且考查了学生的空间想象能力，计算能力。例2、在棱长为4的正方体A B CD A i B i Ci D 1中，0是正方形A i B C D i的中心,点P在 棱CCi上，且CCi=4

48、 CP。（I ）求直线A P与平面B CG B i所成的角的大小（结果用反三角函数值表不）；（I I ）设。点在平面D|A P上的射影是H,求证：D|H _ L A P；（I I I）求 点P到平面A B D i的距离。分析：因为本题的图形是正方体，其中有很多个垂直关系，本题在证明D i H L A P时需两次应用三垂线定理。求点到平面距离有三种思路:一是通过等体积转换求解；二是若过此点有一条直线与已知平面平行，则可转换成平行线上另一点到此平面的距离；三是直接作距离求解。解法一：（I ）连 结B P.A B,平面 B CCB，A P 与平面B C C B 所成的角就是N A P B。V CCj

49、 MCP,CC,=4,/.CP=1.在 R t P B C 中，N P CB 为直角，B C=4,CP=1,故 P B=#在 R t A P B 中，N A P B 为直角,B P 17Z.A PB=a rc t a n -.17即直线A P 与平面B C C B 所成的角为3rc谢 世 117(I I )连结 A ,B D.四边形ABC D是正方形，又 A A i _ L 底面 A j B CD i,.A A D|O。；A A m A 产 A”.D Q JL 平面 A i A P C。由于 A P U 平面 AIA P G,，D Q，A P。.平面D,A P 的斜线D,0 在这个平面内的射影

50、是D,H,/.D i H l A P o(I l l)连结B C”在平面B C C B中，过点P作P Q _ L B C于点Q。：A B _ L平面 B CCB”P Q EO=8-8+0 =0,7A 1 DO.,平面D,A P 的斜线D Q 在这个平面内的射影是D.H,/.D t Hl A P o(III)同解法一。点评：本题涉及知识面宽，对逻辑推理能力、空间想象能力、以及计算能力都有一定的要求。对(1)问估计多数学生能求出，而(2)(3)有些难度。需要学生有较好的思维及空间想象能力。例3、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P D,底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，