人教版数学初中几何50道经典题.pdf

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1、人教版数学初中几何50道经典题第一题:已知：A48C 外接于。O,N/M C =60。，A E B C ,C F A B ,A E、相交于 点 ，点。为弧8 c的中点，连接A D.求证：A4”/)为等腰三角形简证：易证NBHC=12O,Z B O C=120,：.B.、0、C四点共圆。DB=D O=D C,：.DHDO=()A,又 A H O D,：.A H D O是菱形：.AII=HD,/HID为等腰三角形。第二题：如图，尸为正方形A B C D边CQ上一点，连接A C.延 长 交 的 平 行 线 于 点,连接CE,KAC=AEO求证：C E =C F简证：作点E关于/I)对称点G,则DE_

2、LDG CDG丝ZX/DE,ZX/CG是等边三角形。ZG JC=60,ND 尸=15,NCE尸=30,Z D E F=30,Z C F E=3 0 ,.CEF是等腰三角形。C E=C F。第三题:已知：AJBC 中，A B =A C,A B A C=20,ZB DC=3 0 0。求证：A D=B C简证：以A D为边作正三角形/I D E（如图）易知/3C四：.A D=A E=B C o第四题:已知：A43C中，。为 Z C 边的中点，NZ=3NC,4 0 3 =45。求证：AB BC简证：过 I）作 DE1.AC交 附 于 E由已知得E=EC,N E4D=NC又N N=3/C,：.4B A

3、E=2B E AB A=B E,由N I)3=45 得NED5=45：.A.D、E、B 四点共圆，NABE=NdD E=90即 ABA.BC.第五题:如图，四边形/D的两条对角线/(、8。交于点,ZBAC=50,ZABQ=60乙 CBD=2G,CAD=30,ZADB=4 0 .求 2(。解：设AD.8 c交于点F,过D作DG/交1*于点G,4 G交BD于I I.则是等腰三角形，/、3、G、Q 四点共圆。ZH7G=ZDBG=2O,/.ZB JG=60N/3D G=N B/G=6O ,N4G D=N/1BD=60.GHD是等边三角形。A 4 B H是等边三角形BH=/B=BC,/.Z B Z Z

4、r-800,/.ZCHG=40.*.NGC=4O,：.IIC=GC,：./II D GCD/.ZIIDC=3O,；.N 4 CD=80 o第六题:己知，ZABC=30,Z J/J C =6 0 ,AD=D C 求证：AB2+BC2=BD2简证：以力B为边向外作正三角形ABE则 S C U S E,B E2+BC2=CE2易证 L W 3之BD=CE于是/台2+3。2=BD?。第七题：如图，P C 切。于C,4 C 为圆的直径，尸即为。的割线，4交于8、D。求证：四边形48C。为平行四边形证明：过 C作 CG_LPO于G,则由 N4EC=N/GC=90 得E、A G、C四点共圆同理尸、D、G、C

5、四点共圆PC 是。切线，PC2=P E P FE、力厂与直线。相_ _ _ T在 R TAP C O 中，P C 2=P G P O f P E P F =P G PO,：.E.G、0、尸四点共圆。AZOGF=N O E F,/BG E=N O E F,AZO G F=Z BG E又 C G J _ P O 得NE G C=NFG C,N E G F=N E 0 F=2N E 4 F,.Z E(又 N E G C=N E BC,Z FG C=Z FD C,：.Z E B C=Z F D C=AE A FJ.AF/BC,AE/C D,二四边形/BCD是平行四边形。第八题：已知：在 A48C 中，

6、AB=A C,4=80。，ZO5C=10,Z求证：AB=O B简证：延长C。交4 8 于D,以OC为边作正三角形O C E(如图)易知/C=DC,BD=O D,OC=/D4CE0 C/D,/CO注/EO,口Z C A O=-Z C AE=O /.NB/0=70,Zz/B0=40/：.Z BO A=7 O ,；.dB=O B。/仁=N F G C=N E A F0(7 =20。A-n第九题:Z O A D =N O D A=1 5 0,求证:(如 图)，已知：正方形4中，简证：以B C为边作正三角形B C O1贝 B,A ABO=30,ZBAO=75,ZDAO=15同理 N/DO=15于是,4D

7、0咨 A A D O：.O 与 O 重合.OBC是正三角形。O 3 C 为正三角形。第十题:己知：正方形4 灰 D中，E、F 为 A D、D C 的中点，连接8 、A F ,相交于点P,连接 P C。求证：P C =B C简证：易知也/)/、BEYAF,：.B.(、。四点共圆Z B P C Z B F CNIBC=NBE/1而/8 E R=Z B FC：.4 B P C=N P B C：.PC=BC.第十一题:如图，A4C6与A4/兄 都是等腰直角三角形，ZJDE=ZJCB=90,D F =45。，DF交 BE 于 F,求证：ZC7-D=90/.E A+A E=/+x+y 1 +(y-x -l

8、)z=x+y-1+(y x)zJ i wDF=DC e42 0,、6、1 ,、1 ,P=D+DF=x+yi+-(x y/)-y-(l+z)=(x+y)+(y X)iE+B=x+y+(y-x)i=IF尸是EB中点，.口)厂是等腰直角三角形，NCFD=90。第十二题:己知：A 4 8 C中，NCBA=2N C A B,NC8Z的角平分线8。与NC48的角平分线4D相交于点。，且8 r =40。求证：NACB=60。简证：作/4 31）的平分线8E交力（,于E,易 得 四 边 形 A B D E 是等腰梯形/1)=/*，BC=BEZC=Z CEB=3 Z /1BEZCBE=3ZABE./3C E为等

9、边三角形AH=60。第十三题:已知：在 A 4BC 中，A C =B C,ZC=1 0 0 ,加)平分 N(Z B。求 证：A D +C D =A B简 证：作/3E使 得 乙 力i=8 0。交 直 线，。于E,4D延 长 线 与 交 于 点R则5(,是N/8E的平分线，Z C z/B=4 0 N/E B=6 0 ZCDF=1 5 20 ,C、I)、F、E 四点共圆/手N DFC=N DEC=N D EF=N DCF/1C I)=D F,A D+C D=A F=A B.C /1AB第十四题:己知：中，A B =B C,。是力C的中点，过。作。_L 6 c于？，连接4/T,取。？中点尸，连接8”

10、。求证：A E B FB D 、B D 、D C A C-=2=2=D F D E C E C E,D F sA d C ENDBF=NC4E,:.A、D、G、3 四点共圆。BGA=A BDA=90,AELBF.第十五题:已知：A4BC中，NJ=24,ZC=30,求证：AB BC=BD AC简证：以 他 为 边作正三角形(如图)由 NC=3O。M OC=OB/B O C=2/B/C=4 8 Z/1OC=W 8,ZOCD=36OC=OD,NCOD=72 AN 1301)=24/BD咨AOBD,N/BD=3O/IBDSANCB,AB BC=BD A(。为4。上一点，AB=C D,连接切。第十六题:

11、己知：力灰Z与均为正方形，4、饱、2、0 2分别为4 V BB、（、DD的中点。求证：4282c2。2为正方形简证：只要证明ZX/hBG是等腰直角三角形即可。设 6=0,C=l,Ai,B =b,C=c(Z,c e Z ),则4=/%+(C)-Bx)i=h+(c-b)i./+4 i+g-b)i+b4 =-L=-2 2 2B,=一=?2 2 2,C+C,c+12 2 28 2 c 2 i=(g-32V =30_1_&及，I B2cs I=I显 出Ic-6+1.-12第十七题:如图，在A 4 8。三边上，向外做三角形Z H A、BCP、C AQ,使N C H =N（I 0 =4 5 ,/BCP=NA

12、CQ=30,ZABR=ZBAR=15。求证：A 0 与 A 垂直且相等。简证：以3 A为边作正三角形（如图）则O f t/是等腰直角三角形，OdBsAPCB,A O B P s B C O R P A/R Q：.R Q=RP,R Q L R P。第十八题:如图，已知4。是。的直径，。是8。中点，AB,4(交0()于点、F,EM、FM是。O的切线，EM、/，加 相交于点，简ilE：如图，过。作GH_L DM,LO G ESAMDE,s a mF.-O-G-=-O-E-=-O-F-=-O-H-,.OG=0DM EM FM DMAGDH是平行四边形，I)是BC中 点:.G、H分别是3、NC的中点：.

13、GH/BC,DMBCo连接。河。求证：DM IB C,.千.M第十九题:如图，三角形“8(,内接于。0,两条高4)、监交于点，连接4 7、()H。若AH=2,8/）=3,CD=1,求三角形4 7 面积。解：设H D=z,尸是3（中点，OF=d由 RlA/CDsR/ABHD 得-=解得支=13 x41）=3,由 06=07 得V22+d2=7（3-J）2+l2 得 d=i.0/D尸为正方形，011=1三角形面积为1x2x 1 =lo2第二十题:如图，ZDAC=2x,ACB=4x,ZABC=3x,AD=B C,求/历i。解：延长BC至E,使C E=8 D,则AD=D E,设 NE=f,贝！JN E

14、/C=4Z-/,由 AD=DE 得 6x1=t,t=3x,：.AB=AE,/ABD/AEC：.AD=AC,N4DC=4K,.2z+4+4.r=180,上=18即 N 3/D=1 8 第二十一题:己知：在/A 48c中,/A B C =9 0。，。为力。上一点，是8。的中点，Zl=Z2 求证：A A DB =2 Z A B D简证：过 力 作3D平行线，交CE于F,交 C B 于 G,则FA F G F B,易得力D E 出A F B EA A DE=N F B EZ C B E=N B G F=Z G BF/F B 4=/4 B D：.N 4 D B=2/A B D。第二十二题:已知正方形4/

15、灵。，。是CD上的一点，以4 8为直径的圆。交/、PB 于E、F ,射线。、C/交于点M。求证：点”在。上。证明：设DE与圆。交于N,D E D M=DA2=DC2.A D N C s A D C E：.N D C E=乙D N CB、C、P、E四点共圆，Z D C E =N P BE=Z FN E：.N D N C=N F N E:.N、F、C三点共线，即DE、CF的交点为N,M与N重合。故点可在。上。第二十三题:己知，点。是A46C内一定点，且有447=(8 =胡=30。求证：A 4B C是正三角形。证明：显然当中D/7=D 8=D C时，是正三角形。当。中/)、D B、DC有两个相等时，

16、易证/(是正三角形。下面证明 J B C中 )月、D B、DC互不相等是不可能的。D A.D B、DC互不相等，不 妨 设 最 小，1)8最大。以1)为圆心，DC为半径作圆，则/在 圆I)内部，3在圆D外部。圆I)上取点E,使得N C D E=1 20 ,BC与圆力交于点尺 则 是 正 三 角 形。Z D/1 C=Z D E C=3 O，有 D、/、E、C四点共圆。Z AE D=Z AC I)=30 知力、G、B、四点共圆。A ZFGD=Z F B D N F E D=30 这是矛盾的。故 是 正 三 角 形。第二十四题:交 DM 于点 P。求证：(1)C LM N；(2)ZMON=ZBPM如

17、图，过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N,D M与BN交于点L,BPLBN,ED,AN=+1-/=-i,1-a 1-a1AN -Q Q+1.万aa2-a+V )d 一a+1 r-；-GJ：.LMN.q-a而的白明黑T-U-k /1 (1、l+a-2n+(3a l)iDM-OM=(+ai)1/=-尸-BN i ON 1 ,_B_N_ _i _ _._ _O_M _a_ _ _ _ _,DM OM-(l-a)2 而 一 (I F.西，(1-a)2但(而 城、由 BPI.AIN 得 Z MON=arg _ ,Z BPM=argL二 ZMON=A BPM.o()MON第二十五题:已知：在正方形力

18、庆7）中 边 长 为1,E是C D上 一 点,A E交B D于点、G,交8c的延长线于点，连接O Q,交C D于点、H,连接G。C F-C H求证：（1）当且仅当后为 刀 中点时，（）G+GH=A（）；3 S.CF=*证明：(1)E为CD中点 OE/BC,ADCFE H OE 1/s _ _ CH FC 2DH 2 A D DG-=,CH 1DH DG-CH GOFBBG（。是8n中点）GH/0CO GH=GDO O G+GII=OD=/IO(2)取BC中点K,则由litFCHSR Z K O展开得=CF-C H2所 以S HCF=L1 (F CH=CF -C H。HCF 2 4第二十六题:已

19、知：A B C D与4 E F G均 为 正 方 形,连接（尸，取CF的中点，连接M E.求证：A W 为等腰直角三角形证明：设O i、8分别是正方形ABCD.的中心，则OxM/AF,02M/ACOlM=AO3=O,E,O.2M=AO,=O,D,ZDO,M=9O-ZA O tM=90 N/10zM=ZM O2E,MD=F：M又 O u V/1 O.ML()tD,：.MDL E M故/)：为等腰三角形。第二十七题:四边形中，对角线4 C、B D交于点0 ,且4B=ADAB+B O与BC+O D 的数量关系，并证明你的结论。解：过力作AEBD 于E,过C作 CF1BD于 F,由AO=0C得AECF

20、是平行四边形又AB=AD得E是BD中点设 3 E=n AE=d,OE=LA B =&,B C=yl(x+2t)2+d2/BO=Z,OD=x-1 Q)当 BO OD 时，/O ,7IB+BO BC+(J+X+/J(x+2/+-+x-/(/x2+d+2/AO=()(请你猜想(J(x+2/)2 +/)=4/yJx2+d2 4 A r cfi0当 5O=OD 时 t=O,AB+BOBC+OD由对称性，当BO OD时AB+B()OD 时，AH+BO BC+OD；当 BO=OD 时，AB+BO=BC+OD：当 BO OD 时，AH+B()60）,：.Z B D A=3 0 oZ C A D =48,Z B

21、 C D =30。，求/协AD第二十九题:在 A 48C 中，。是 的 中 点，N D A C =2 N D C A,Z D C B =3 0。，求N 8的度数。解：作C D的垂宜平分线交4 c于E作8C1）的外心0,则N D E 4=2/D C E=Z U1 E,：.A D D E,又D是4 8中点：.BE 1.AE,又 N D C B=S 0 E D O是等边三角形，于是D 0=5 DZB（M=9 0 ,：.A,B、0、E 四点共圆若O与E重 合（如上图），则/N B C=105；若。与E不重合（如下图），则四边形D O C E是菱形，J.D O/AC,且 NDQ 4=8O N D N E

22、=6 0 ,是等边三角形；.E是4 C中点，.,./8 C是等边三角形N/3 C=6 0 故所求N 3=1 O 5 或60 o第三十题:在四边形/3 C D 中，A D =C D,A C =B D,A B L A C,求/班 C 的度数。解：取中点”，则由D=CD得D F 1.A C,又 43_L/C 得A F F FR t A A B E R t/F D E,：-B E D E.4 E F E 4 E+F E 4 F IB E15E B E+D E B D 2NZ/E 8=6 0 ,Z B E C=120 第三十一题:在 中，4(力=90。，Z.CAB=60,CD L AB,M、N 为直线

23、48 上的两点，且 NM(N=NM7?=8。，求 NEMD 的度数。C第三十二题:如图，&48C 中，BD J.AC 于 D,为8。上一点，且 45=38。，Z(W =68,ABCE=4 ,求/%的度数。BAD ADtan22=,tan80=CD:.tan NE A D=CDtan 80 tan 52-=tan 24tan 22/E 4=2 4 已知BD是4ABD边AC上高，ZABD=38O,ZCBD=688,ZBCE=14,ZDCE=8,求 NCAE证 明 设/DAE=x,BE ABsln(52-x)BCsln14W Xi _ _DE ADsinx DCsin8，得到$in(52-x-)-s

24、-l.n-1-4-sin38sinx sin68sin8，可知 8M68sln80sln(52。1)-sln38slnxsln14,进而8皿24。5皿(52。小)=4sln5208ln380slnx8in140=sin28sinx,tanx=sin240sln520sln24cos520*sin280=tan240,所 tUZDAE=x=24第三十三题:CO为。的直径，力、8为半圆上两点，为过点。的切线，AB交D E于E,连接O E,交CB于M ,交Z C于N。求证：ON=OM证明：设 O=o,D=1,C=1,A=e,a,B=eP(a,J3el),E=i+M,由/、B、E共线得B-A cosy

25、5+zsin/?-cosa-zsintt-G I,即-GE-A 1+az-c o s a-i sina“口 sin a-sin 3-sin(a-B)2解得 a=-二-6cosa-cos/7 cot+cot22 2令 M=AqE,N=4由a a M共线得W7 G口，即M Ccosa+1 +zsin B 口-e n ,解得4+1+sin a 14 =-=-tz(l+cosa)-sina a c o tL2a Bcot +cot-2 2a Bcot-cot 2 2同理4 =cot +cot 2 2cot cot2 2故 M+N=o,I M I=I N I,即()N=OM。第三十四题:如图，四边形四(

26、曾中，BC=CD,ABCA=21,ZCAD=39,ACDA=7 8 ,求4 Z C的度数。解：作 的 外 心0,则由BC=CD,0B=0D知 C/3g CD0,易知N 3C D=84 得N C D B=48,N 8 C 0=4 2 ,N 3 9 4=3 0 Z B Q 7=6O ,3 0 4是等边三角形，Z.AC0=Z BCO-Z BCA=6 0 ),Z B D/=3 0 O第三十五题:如图，四边形 4无/|,A1)=CD,/从K=10,ZAB1)=50,ZJC/J=2 0 ,求NCBD的度数。解：作的外心(),由N B“/=30 得N 3 0 D=6 0 ,BOD 是等边三角形，Z 0 B

27、z/=10,又N R 4C=io：.OB/AC,又/)=1)(,D0=I)3 知AOBC是等腰梯形，NBC/=Z Q/(-20,Z C B D=160-6 0 =100第三十六题:如 图，BD=CE,G、H 为 BC、。中点，AB=AC,ED=IE,NB4C=NDFE。求证：AI-UGHiil：H J J：将 平 移 至 FMN,T 是 MN 中点,P、Q、R.S分别是CD、BE,EM、DN中点，则 四 边 形ABMI ACNF.AGT1 W NM都是平行四边形。易得FMDgAFNE,MD=NEPH=；CE=GQ,PG2；BD=HQ又BD=CE得四边形PHQG是菱形，PQLGH同理SRI TH

28、,PS)CNBM _QR，：.PQSR，2 27 在 GU 上，又 GT/AF：.AF/GU.第三十七题:如图，在 正 方 形 中，有任意四点、F、EGFII的面积为5,求正方形ABCD的面积。解：如图，作尸交AD于M,AN/GH交 CD 于 N,则 BM=EF,AN=GH易 知 四边形E G F I I的面积等于四边形的面积设M=a,DN=b,正方形边长为上，则x2；6(x-a)-x(x-b)=5yjx2+a2=4xlx2+b2=344 44解得炉=_。即正方形ABCD的面积是一。5 5第三十八题:已知 2N C =3 N 8,2B C =A B ,求乙4。解：/*=3 0。N 8=60,N

29、 C=9 0 显然符合已知条件。由2 8 7=力3 则C点在B为圆心，1力B为半径的圆上2Z C=9 0 有C在以 的为直径的圆。上取圆8上异于C的点，若点在圆O内部(如点D),则ND9(),N/B D 3 N/8 D不合题意;若点在圆O外部(如点E),则N E 60,2/E C 3 N/3 E不合题意。故只有/=3 0。第三十九题:在 中，N C=4 6 ,。是 8 c边上一点，I X =A B ,ZJ)AI3=2 0,求N C。解：如图，做平行四边形M 3EDN E D C=N B dC=46,N BDC=460+21=67D E=/B=D C,，/D C E=6 7 B E C D是等腰

30、梯形N B(、D=N E D C=46即N C=4 O第四十题:在人姐。中，AB=A C,。为8 c 边上一点，为4。上一点，且满足NBED=2NCED=Z B A C.求证：8/)=2。)。证明：在 BE上作B F=A E,过厂作FG/1D与4 BED的平分线交于点G,交BD于II.由 N 3 E D=N 3/C,得N/B E=N C/E,又 4B=4C/B厘 AC/1E,：.N/1FE=Z CED,N3ED=2NCED,：.ZAFE=ZE4E,AE=FE故厂是B E中点。EG平分/BED,NGED=NF1EJ.EG/AF,四边形AFGE是平行四边形。G=力 厂=CE,.,.C/EAGz/E

31、o，平分G C,又 FG/AD,/）是 HC中点。又尸是3 E 中点，得 H 是 3 D 中点。故 3D=2DC。第四十一题:已知，是正方形Z8CQ和正方形ZAF6上的点A、C的连线，点 是 的 中 点,连接E H、D H。求证：E H =D H 且E H 上D H。同二十六题第四十二题:已知：N CA1)=N 1 M 3 =1O,Z.CBD =40,Z J)B A =20,求证：N C D B =70简证：作点/关于直线H D对称点O,则N/D B=150力OD 是等边三角形，NQ/3D=2O,NDO/3=10,NO/3c=40 20=20以0为圆心O A为半径的圆O与直线A C交于点C,由

32、N C/D=10,得N D O C =20,ZB O C =10.D O B A C7 OB,Z O B C =N()B D=20=N O B C所以 C与 C 重合。BC=BD,Z C D B=70。第四十三题:如图，E、7分别是圆内接四边形 3 3 C的对 角 线4 8、C/）的 中 点，若功EB=NCEB。求证：ZAFD=NBFD证明：延长CE交圆。于G点，由已知得OE_L/B,NDEB=NCEB NDE()=NGE()=C Q E-G O E=N EDO=N EGO=N ECO=D、E、O、(、四点共圆=Z DCB=；Z DOB=；(Z BOE-N DOE)=1(N/O E-NDOE)

33、=；(N/O D-2 N1)OE)=-(2NZ/CD-2N/)OE)=Z/1CD-ZDCE=ACEBD BC-=-AD ACsin NDCBsin ZA CDsin 4(西sin ZBCE（易证）=B D A C =AD,BC=N/O)=N8C%O同理8/力(=4 Q -8C ZJFD=ZBFDo第四十四题:己知：A B =AC,Z A D B=60,A B C E=30=求证：BA=B E证明：作点E关 于 对 称 点 八 则 E是等边三角形，又N/D B=6 O，E、D、C、尸四点共圆，Z E C D=Z E F D,Z F D B=60NZM C=18O-2/4 C B=180 2(Z

34、E C D+SO0)=180-(Z E F D+Z E C D+6 O0)=180-Z E F D-Z D C F=180-zE F D-Z B E F=1 8 0 -ZBFD:.A、D、F、3四点共圆，/.Z A F B=Z ADB=60 ,A F A B=ZF D B=60.d B F是等边三角形，B A=B F=B E.第四十五题:DICD IBICD 1CCD =M BC已知：直角三角形4 B C,乙4为直角,/为内心，B D、C力分别为两内角平分线。的面积为S。求四边形B C D E的面积。解：设的C三边分别为0、b、C,其中/=+。2。卜 BIEHICE IC7.DIED I E

35、IB,B I-Cl S,SB IabF IBDIILE =j S ,S UDJltE.a+c ac D I CDB=-9 -=-a+b B I CBD I-EI、9B I C/b E I B E ct7+c C I 7 iC lj+b_i_ v _i_ vDIC DIEbh-1-1-g+c a+b a+c a+bb2+c2+ab+ac+bc(a+c)(+6)a2+ab+ac+bc3 3=3a.+ab+ac+bc.四边形B C D E的面积为2S。第四十六题:AB=AC=CD=D E,且 BE=BD,求 NEBD 的度数。解：设N D=z,则 N4C5=2H,作平行四边形DE/C,则是菱形由 D

36、C=/IB,B D=B E,得 BC=AE又 N/1BC=N/1E F,得/BCg 尸E/7：.FAAC,A JB C是等边三角形ZZ/CF=60/.X+Z+60=1 8 0 ,X=40,Z E B/)=180 2 z=100.第四十七题:如图，ND=ZABC=90。,点 B 在 CD 上,AB、CE 交于 F,过 8作8G_LZC于G,交CE于H,连接4并延长，交CD于I,设48=x,BC=y.（xy）求：（i）的氏（用x,y表示）；（2）空 的值。(2)作FN/BC,交/于点N,易得II是FC中点，=，BF=DE DC x 尸FN AFB7ABIC AFBC-IC 7B.-BC=-A-B-

37、+-A-F=-A-B-+1 =,-x-h 1 =y-2-x2-y2IC AF AB-BF y2 x2-y2X-第四十八题:在 A 4 8 c 中，A D 1 B C,P 是A 48C 外接圆O 上一点，点关于N 3、4（的对称点为点 、F ,连接E*与*）交于点H,求证：是 A48（的垂心。证明：作 PGA.BC于 G,4 B交P E于M,RC交 P厂于N,P F 交 BC于Q,贝 4M.B、G、P 四点共圆，N、C、G、P 四点共圆，ZMBP=NACP,NMGB=NMPB=NNPC=ZNGC,：.M,G、N 三点共线。M N/EF,A.I）、Q、N 四点共圆，Z DAC=Z NQC=Z NP

38、C+Z PCQ=Z NFC+Z PNG=Z NFC+Z 1IFP=ZIIFC：.II.4、P C 四点共圆，NDIIC=N4FC=N/1PC=N4BC：./LABC+NBCH=Z DIIC+ZBCII=90：.CI IL/IB,II 是 4 A B e 的垂心。第四十九题:如图，点。、分别在Z C、A B上,B D与C E交于点、O,AD =A E ,O C =O B.求证：A C =A B.（寻求直接证法）证明：作8 c的中垂线交D E于“，交+/，的外接 圆 于G,则N/1DE=/4 E D=N B G F=ZCG FC D、F、G四点共圆又BFG四 CFG,两圆为等圆:.ZFEG=Z FDG,:.GE=GD：.NEBG=N D C G,而 ZCBG=/B C G,：.NEBC=ZDCB,：.AC=AB.G第五十题:以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求证：这两条线段垂直且相等。证明：如图。取力C 中点Q,易得绕点3 逆时针旋转9 0 即得因此/3HC乌且 HC1.A1所 以。Q=Q/，且 OQLQ。，同理 NQ=QM，且 NQLQM，O Q M冬 P Q N,且 OAf _L P N()M=P N,得证。