中学高考数学二轮复习解析15：圆锥曲线透析.pdf

《中学高考数学二轮复习解析15：圆锥曲线透析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学高考数学二轮复习解析15：圆锥曲线透析.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、湖 北 黄 岗 中 学 高 考 数 学 二 轮 复 习 考 点 解 析 15：圆 锥 曲 线 考 点 透 析【考 点 聚 焦】考 点 1：圆 锥 曲 线 的 定 义 与 标 准 方 程 的 求 法；考 点 2：离 心 率 与 准 线 方 程；【考 点 小 测】1.（天 津 卷）如 果 双 曲 线 的 两 个 焦 点 分 别 为 片（-3,0）、F2（3，0），一 条 渐 近 线 方 程 为 y=J x,那 么 它 的 两 条 准 线 间 的 距 离 是（）A.6 g B.4 C.2 D.1解 析：如 果 双 曲 线 的 两 个 焦 点 分 别 为 6（-3,0）、心（3,0）,一 条 渐 近

2、线 方 程 为 y=属，*+/=9 院=3/.h,解 得,所 以 它 的 两 条 准 线 间 的 距 离 是 2=2,选 C.-=V2 b2=6 c.a2 22.（福 建 卷）已 知 双 曲 线 0 2=1（。0/0）的 右 焦 点 为 凡 若 过 点 F 且 倾 斜 角 为 60。的 a b直 线 与 双 曲 线 的 右 支 有 且 只 有 一 个 交 点，则 此 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 是 A.（12）B.fl,2）C.2,+8 D.（2,+8）2 2解 析：双 曲 线 一 马=1（。0,6 0）的 右 焦 点 为 E 若 过 点 F 且 倾 斜 角 为 60的 直 线

3、 与 双 a b曲 线 的 右 支 有 且 只 有 一 个 交 点，则 该 直 线 的 斜 率 的 绝 对 值 小 于 等 于 渐 近 线 的 斜 率 士 b，J h-a a2 2 2离 心 率 e?=二=:-2 4,e 2 2,选 Ca-a3.（广 东 卷）已 知 双 曲 线 3x2-y2=9,则 双 曲 线 右 支 上 的 点 2 到 右 焦 点 的 距 离 与 点 P 到 右 准 线 的 距 离 之 比 等 于 A.V2 B.迪 C.2 D.43解 析：依 题 意 可 知 a=V3,c=yja2+b2=J3+9=2 6，e=-2,故 选 C.a V34.（辽 宁 卷）曲 线+上 一=1（

4、m 6）与 曲 线 二 一+上 二=1（5 机 9）的 10-/n 6-m 5-m 9-tn（A）焦 距 相 等（B）离 心 率 相 等（C）焦 点 相 同（D）准 线 相 同【解 析】由 一+【一=1(机 6)知 该 方 程 表 示 焦 点 在%轴 上 的 椭 圆，由 10-/n 6-mX2 y2 一+二 一=1(5 加 2=1 的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的 2 倍，则 加=A.-B.-4 C.4 D.-4 4解：双 曲 线 机 2+2=i 的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的 2 倍，.m)12解 析(数 形 结 合)山 椭 圆 的 定 义 椭 圆 上 一 点 到 两 焦 点 的 距

5、离 之 和 等 于 长 轴 长 2a,可 得 A A 8 C 的 周 长 为 4a=4石,所 以 选 C7.(山 东 卷)在 给 定 椭 圆 中，过 焦 点 且 垂 直 于 长 轴 的 弦 长 为、历，焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为 1,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为 rr V2 1 V2(A)j2(B)(C)-(D)2 2 4r2 29 h2 2解：不 妨 设 椭 圆 方 程 为 J+=l(a助 0),贿 一 二 挺 且 人-。=1,据 此 求 出=a h a c,选 B28.(四 川 卷)已 知 两 定 点 A(2,0),8(1,0),如 果 动 点 卷 满 足|尸 川=2

6、|尸 司,则 点 四 的 轨 迹 所 包 围 的 图 形 的 面 积 等 于(A)7 1(B)4(C)8%(D)9乃 解：两 定 点 A(2,0),3(1,0),如 果 动 点 P 满 足|尸 4|=2|尸 同，设 P 点 的 坐 标 为(x,y),则(X+2)2+y2=4(X-l)2+y2,即(x 2)2+y 2=4,所 以 点 尸 的 轨 迹 所 包 围 的 图 形 的 面 积 等 于 4兀，选 B.9.(四 川 卷)直 线 旷=-3 与 抛 物 线 丁=4%交 于 4,3 两 点，过 4,3两 点 向 抛 物 线 的 准 线作 垂 线，垂 足 分 别 为 P,Q,则 梯 形 4 P Q

7、B 的 面 积 为(A)48(B)56(C)64(D)72解 析：直 线 y=x-3 与 抛 物 线 V=4 x 交 于 两 点，过 A,3 两 点 向 抛 物 线 的 准 线 作 垂 线,垂 足 分 别 为 P,Q,联 立 方 程 组 得，消 元 得 f-10 x+9=0,解 得，y=x-3 U=-2%9和，；.IAPI=10,IBQI=2,IPQI=8,梯 形 A P Q 3 的 面 积 为 48,选 A.j=610.(上 海 卷)若 曲 线 2=1x1+1与 直 线=履+8 没 有 公 共 点，则 攵、分 别 应 满 足 的 条 件 是.jx+1 x 20解：作 出 函 数=|*|+1=

8、-的 图 象，-x+l,x 0如 右 图 所 示：所 以，4=06(-1,1);【典 型 考 例】【问 题 1】求 圆 锥 曲 线 的 标 准 方 程、离 心 率、准 线 方 程 等 例 1.设 椭 圆 的 中 心 在 原 点，坐 标 轴 为 对 称 轴，一 个 焦 点 与 短 轴 两 端 点 的 连 线 互 相 垂 直，且 此 焦 点 与 长 轴 上 较 近 的 端 点 距 离 为 4 a-4,求 此 椭 圆 方 程、离 心 率、准 线 方 程 及 准 线 间 的 距 离.2 2 2 2解：设 椭 圆 的 方 程 为+勺=1或 j+4=1(。匕 0),则 a b b-a2 2 之 得：a=4

9、后,b=c=4.则 所 求 的 椭 圆 的 方 程 为 二+匕=1或 二+二=1,离 心 率 32 16 16 326=半；准 线 方 程 x=8或=8,两 准 线 的 距 离 为 16.例 2.(北 京 卷)椭 圆 r2=+=v2=1 3 1 0)的 两 个 焦 点 F|、F2，点 P 在 椭 圆 C 上，且 PF1a h4 14F1F2.,IPF1l=-,IPF2l=y.(I)求 椭 圆 C 的 方 程；(II)若 直 线 L 过 圆 x2+y2+4x-2y=0 的 圆 心 M 交 椭 圆 于 A、B 两 点，且 A、B 关 于 点 M 对 称，求 直 线 L 的 方 程。解 法 一：(I

10、)因 为 点 P 在 椭 圆 C 上，所 以 2a=忸 修+|尸 引=6,a=3.在 中，比 乙|=4 尸 尸 2|尸 匕|2=275,故 椭 圆 的 半 焦 距 c=V5,h=ca-c=4(V2-l),解 a2=/+2从 而 h2=a c2=4,2 2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为+-=1.9 4（H）设 4,B 的 坐 标 分 别 为（xi,%）、（如 丫 2）.由 圆 的 方 程 为（x+2）?+（/19=5,所 以 圆 心 例 的 坐 标 为（-2,1）.从 而 可 设 直 线/的 方 程 为 产 总+2）+1,代 入 椭 圆 C 的 方 程 得（4+9修）x2+（36F+18k）

11、x+36k2+36k-27=0.因 为 A,8 关 于 点 M 对 称.所 以 土 卫.=一 国 二 当=2.解 得 左=,2 4+9 父 9Q所 以 直 线/的 方 程 为 y=（x+2）+1,即 8x-9y+25=0.（经 检 验，符 合 题 意）解 法 二：（1）同 解 法 一.（II）已 知 圆 的 方 程 为（x+2）2+。-1）2=5,所 以 圆 心 用 的 坐 标 为（-2,1）.设 4,B 的 坐 标 分 别 为（X|,yi），出.由 题 意 X1工 工 2且 由 得 区-2）（再+/）+（%-乃）（%+为）=0 9 4因 为 A、B 关 于 点 M 对 称，所 以 即+、2=

12、4,y+为=2,代 入 得 江=号，即 直 线/的 斜 率 为,/-/9 9Q所 以 直 线/的 方 程 为 y1=（x+2）,即 8x9y+25=0.（经 检 验，所 求 直 线 方 程 符 合 题 意.）【问 题 2】圆 锥 曲 线 的 定 义 的 问 题 2 2例 3.（四 川 卷）如 图，把 椭 圆 二+二=1 的 长 轴 A 3 分 成 8 等 份，过 每 个 分 25 16点 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 右，名，侣，名，侣，入，侣 七 个 点，产 是 椭 圆 的 一 个 焦 点，则 山 尸|+|任 尸|+|专 巴+归 产|+低 刊+|线 尸|+|鸟）

13、|=；2 2例 4.（江 西 卷）P 是 双 曲 线 二 一 工=1 的 右 支 上 一 点，M、N 分 别 是 圆（x+5）?+yZ=4和 9 16（x5）?+y2=l上 的 点，则|PM|一|PN|的 最 大 值 为（）A.6 B.7 C.8 D.9解：设 双 曲 线 的 两 个 焦 点 分 别 是 E(-5,0)与 B(5,0),则 这 两 点 正 好 是 两 圆 的 圆 心，当 且 仅 当 点 P 与 M、R 三 点 共 线 以 及 P 与 N、F2三 点 共 线 时 所 求 的 值 最 大，此 时 IPMLIPNI=(IPF|-2)-(IPF2I-1)=101=9 故 选 B【问 题

14、 3】直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 问 题 利 用 数 形 结 合 法 或 将 它 们 的 方 程 组 成 的 方 程 组 转 化 为 一 元 二 次 方 程，利 用 判 别 式、韦 达 定 理 来 求 解 或 证 明.例 5.P I(M 例 3例 6.(浙 江 卷)，椭 圆 二+亡=1(ab0)与 过 点 A(2,0)B(0,l)的 直 线 有 且 只 有 一 个 a?b2公 共 点 T,且 椭 圆 的 离 心 率 6=.(I)求 椭 圆 方 程；(H)设 F2分 别 为 椭 圆 的 左、右 焦 点,2M 为 线 段 AFI的 中 点，求 证：NATM=NAFIT.本 题 主

15、要 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系、椭 圆 的 几 何 性 质，同 时 考 察 解 析 几 何 的 基 本 思 想 方 法 和 综 合 解 题 能 力。Y解：(I)过 点 4、3 的 直 线 方 程 为 二+y=l.2因 为 由 题 意 得=，有 惟 一 解，y=-2x+1即+a2-a2h2=0 有 惟 一 解,所 以=/(/+4024)=0(帅/0),故 a2+4b2-4=0.又 因 为 e=E，即 仁 2=2,所 以/=4 从.2 a2 41 J从 而 得/=2 1 2=,故 所 求 的 椭 圆 方 程 为 1+2)，2=1.(II)由 得，=半，故 耳(乎,0),工(半,

16、0),从 而 M(l+乎,0).由/2 13+2y=1产 x+l 解 得 占=1,所 以 2 2因 为 ta n/A f；T=如 一 1,又 t a n/力 4M=，tanZTMF?=-1=，得 1 2 2 2 V6tan ZATM=卮 j=L 因 此 ZATM=ZAF.T.1+2 2底 2例 7.（福 建 卷）已 知 椭 圆、+y2=1的 左 焦 点 为 巴。为 坐 标 原 点。（I）求 过 点 0、F,并 且 与 椭 圆 的 左 准 线/相 切 的 圆 的 方 程；（II）设 过 点 尸 且 不 与 坐 标 轴 垂 直 交 椭 圆 于 A,8 两 点，线 段 A B的 垂 直 平 分 线

17、与 x轴 交 于 点 G,求 点 G横 坐 标 的 取 值 范 围.本 小 题 主 要 考 查 直 线、圆、椭 圆 和 不 等 式 等 基 本 知 识，考 查 平 面 解 析 几 何 的 基 本 方 法,考 查 运 算 能 力 和 综 合 解 题 能 力。解：(I)*:cr=2,b2=1,.*.c=1,F(-1,O),Z:x=-2.圆 过 点 O、F,圆 心 M在 直 线 x=-，上。2设 A/(,t),则 圆 半 径 21 3r=(-)-(-2)=-.2 2由|OM|=r,得 J(=_|,解 得 f=1 f Q/.所 求 圆 的 方 程 为（X+）2+（亚）2=.（II）设 直 线 A B的

18、 方 程 为 y=k（x+l）（k 丰 0）,丫 2代 入 耳+F=i,整 理 得（1+2女 2）1+4 左 2尤+2左 2-2=0.直 线 AB过 椭 圆 的 左 焦 点 E.方 程 有 两 个 不 等 实 根。4攵 2记 以 不 耳 入 台 小 由 入 相 中 点%,%）,贝+x2=乙 K 1A B的 垂 直 平 分 线 N G的 方 程 为 y-%=-（x-x0）.令 y=0,得 k,2k2 k2 k2 1 1xr=x（+ky（=-；-1-；-=-：-=-1-.G 2&2+1 2/+1 2k2+1 2 4/+2k w 0,.=-X Q 0,点 G 横 坐 标 的 取 值 范 围 为（-,

19、0）.22 2例 8.（湖 北 卷）设 4,3分 别 为 椭 圆 三+2r=1（。,b 0）的 左、右 顶 点，椭 圆 长 半 轴 的 长 等 a b于 焦 距，且 x=4 为 它 的 右 准 线。（I）、求 椭 圆 的 方 程；（II）、设 P 为 右 准 线 上 不 同 于 点（4,0）的 任 意 一 点，若 直 线 AP,BP分 别 与 椭 圆 相 交 于 异 于 A,3的 点 M、N,证 明 点 8 在 以 M N 为 直 径 的 圆 内。点 评：本 小 题 主 要 考 查 直 线、圆 和 椭 圆 等 平 面 解 析 几 何 的 基 础 知 识，考 查 综 合 运 用 数 学 3；M

20、点 在 椭 圆 上，（4-xJ）.4又 点 M 异 于 顶 点 A、B,：.-2x00,：.B M BP0,则 NMBP 为 锐 角，从 而/MBN 为 钝 角,故 点 B 在 以 M N 为 直 径 的 圆 内。解 法 2：由（I）得 A（2,0）,B（2,0）.设 M，力），N（如 以），贝 2X2 2,又 M N 的 中 点 Q 的 坐 标 为（/,A 2 1）,2 2依 题 意，计 算 点 B 到 圆 心 Q 的 距 离 与 半 径 的 差|B0|2-l|M=（-2）2+（2 1 A）2 T（X f 2+）2=（修 一 2）。2-2）+力 力（3）又 直 线 A P 的 方 程 为 y

21、=上 一（X+2）,直 线 B P 的 方 程 为 y=-J（x-2）,X+2 尤 2-2而 点 两 直 线 A P 与 B P 的 交 点 P 在 准 线 x=4 上，.但 _=&,即 乃=3 5-2）%X+2 x?2 X+24/a又 点 M 在 椭 圆 上，则 号-+个=1,即 y=；（4 一 X：）而 9I 9 5于 是 将、代 入，化 简 后 可 得 忸 一 不 加 时=彳（2一 匹）。2-2）（2,0）,设 点 A（1）求 该 椭 圆 的 标 准 方 程；（2）若 P 是 椭 圆 上 的 动 点，求 线 段 P 4 中 点 M 的 轨 迹 方 程；（3）过 原 点。的 直 线 交 椭

22、 圆 于 点 5,C,求 A A 8 C 面 积 的 最 大 值。解（1）由 已 知 得 椭 圆 的 半 长 轴 a=2,半 焦 距 c=则 半 短 轴 b=l.八 又 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上，.椭 圆 的 标 准 方 程 为 一+2=14（2）设 线 段 P A 的 中 点 为 M（x,y），点 P 的 坐 标 是（xo,yo）,x=由，点 P 在 椭 圆 上，得（2：D-+（2y 3）2=1,线 段 P A中 点 M 的 轨 迹 方 程 是（X-；）2+4（y-；）2=1.（3）当 直 线 B C垂 直 于 x 轴 吐 BC=2,因 此 4 A B C的 面 积 S AABC-

23、1.2当 直 线 B C不 垂 直 于 x 轴 时，说 该 直 线 方 程 为 y=kx,代 入 工+/=1,2 2k,2 2k解 得 B(/,I),C(-/,-/),V4A:2+1 d 4 k 2+1 J 4 k 2+1 J 4 左 2+1则 BC=4 1+K _，又 点 A 到 直 线 B C的 距 离 d=1 E,J l+4：2 J l+Tx,1.lk-1 1*AABC 的 面 积 S AABC=AB d=.21 1 7 1 7 4 P于 是 S AABC卜 42-44+1V 4 2+l由 T 2 一 1,得 S AABCW J 5,其 中，当 k=一!时,等 号 成 立.4 1+1 2

24、S AABC的 最 大 值 是 V2.2 2例 1 0.（天 津 卷）如 图，以 椭 圆 J+二=l（a b o）的 中 心。为 圆 心，分 别 以。和 b 为 a b半 径 作 大 圆 和 小 圆。过 椭 圆 右 焦 点 歹（c,oX。6）作 垂 直 于 X轴 的 直 线 交 大 圆 于 第 一 象 限 内 的 点 A.连 结。A交 小 圆 于 点 3.设 直 线 8 尸 是 小 圆 的 切 线.（1）证 明。2=而，并 求 直 线 B F 与 y 轴 的 交 点 M 的 坐 标;-1 C（2）设 直 线 8 F 交 椭 圆 于 P、。两 点，证 明 0 2。=5 6.本 小 题 主 要 考

25、 查 椭 圆 的 标 准 方 程 的 几 何 性 质、直 线 方 程。平 面 向 量、曲 线 和 方 程 的 关 系 等 解 析 几 何 的 基 础 知 识 和 基 本 思 想 方 法，考 查 推 理 及 运 算 能 力.满 分 14分.证 明：(I)由 题 设 条 件 知，Rt OFA s Rt OBF故 OF OB Hn c b-=-,即=OA OF a c因 此，c2=ah在 Rf OFA,F A=ylO A1-OF1=J a2-c2=b.因 此，c2=ab.在 处 04 中，FA=yl0A2-0 F2=yja2-c2=b.h 1于 是，直 线。4 的 斜 率.设 直 线 BF的 斜 率

26、 为 k,则 左=一 一-c koa这 时，直 线 B尸 与 y 轴 的 交 点 为 M(0,a)(H)由(I),得 直 线 8尸 得 方 程 为 了=乙+应 且&2=二 _=/由 已 知，设 P(%，M)、Q(x2,y2),则 它 们 的 坐 标 漫 步 方 程 组 b 7 2厂+滔+后=1 y=kx+a山 方 程 组 消 去 y,并 整 理 得(b2+a2k2)x2+2aykx+a4-a2b2=0由 式、和,_ a4-a2b2 _ a2(a2-b2)_ ayb2XX1=b2+a2k2=-2 a=b+a h由 方 程 组 消 去 x,并 整 理 得 32+。2/万 2+24斤+/一/公=。由

27、 式 和,=/(2)/1 b a)跖=b2+a2k2=,2 2=川+不 u+a 一 b综 上,得 到 0 P 0 Q=X jX2+%a3b2 a2b2(b-a)_ a2h3a3+b+ay+by ay+b3注 意 至 1。2一 48+/?2=22。2+匕 2=282,得 crb3 6 b3 a2b ac2 a(a2-b2)1 20P 0Q=：r=-7=-=-=-=-优-而/+/(a+b)2 a+及)2(a+b)2(a+b)2=(2-c2)=b22 2课 后 训 练1.(安 徽 卷)若 抛 物 线 y2=2 x的 焦 点 与 椭 圆 工+=i的 右 焦 点 重 合，则 p 的 值 为 6 2A.-

28、2 B.2 C.-4 D.42 2解：椭 圆+2=1 的 右 焦 点 为(2,0),所 以 抛 物 线 y2=2px的 焦 点 为(2,0),则 p=4,6 2故 选 Do2.(天 津 卷)椭 圆 的 中 心 为 点 矶-1,0),它 的 一 个 焦 点 为 尸(-3,0),相 应 于 焦 点 厂 的 准 线 方 程 为 x=_ 2,则 这 个 椭 圆 的 方 程 是()2A.-1)2九 出 一+1)-2y27c.U+y 2=D.(l)l+=i21 3 21 3 5 5解 析：椭 圆 的 中 心 为 点 成 一 1,0),它 的 一 个 焦 点 为 尸(一 3,0),二 半 焦 距 c=2,相

29、 应 于 焦 点 F的 准 线 方 程 为 X=-2.”2=5,/=1,则 这 个 椭 圆 的 方 程 是 小 曳+)，2=1,选 D.2 c 2 53.(山 东 卷)设 直 线/:2犬+2=0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 为/,若/与 椭 圆/+f=的 交 4点 为 A、B、，点 P 为 椭 圆 上 的 动 点，则 使 A P 4 B 的 面 积 为 0.5的 点 尸 的 个 数 为(B)(A)1(B)2(C)3(D)44.(江 苏 卷)点 P(-3,l)在 椭 圆+5=1(。()的 左 准 线 上.过 点 P 且 方 向 为 a=(2,-5)的 光 线,经 直 线 y=-2反 射

30、后 通 过 椭 圆 的 左 焦 点，则 这 个 椭 圆 的 离 心 率 为(A)V3 1 V2 1(A):(B)-(C)=(D)-3 3 2 25.(重 庆 卷)已 知 别，8 是 圆 F：卜 _；1+/=4(尸 为 圆 心)上 一 动 点，线 段 4 8 的 垂 直 4平 分 线 交 B F 于 P,则 动 点 P 的 轨 迹 方 程 为 x2+-y2=.36.(江 苏 卷)已 知 三 点 P(5,2)、F,(-6,0)、F2(6,0).(I)求 以 K、F2为 焦 点 且 过 点 P 的 椭 圆 的 标 准 方 程；()设 点 p、K、尸 2关 于 直 线=犬 的 对 称 点 分 别 为

31、P、F；、F2,求 以 可、尸 2为 焦 点 且 过 点 P的 双 曲 线 的 标 准 方 程。本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 与 双 曲 线 的 基 本 概 念、标 准 方 程、几 何 性 质 等 基 础 知 识 和 基 本 运 算 能 力。2 2解：(1)山 题 意 可 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为=+与=l(a b0),其 半 焦 距 c=6a b2cl|PF1|+1PF2|=V1 2-rt22+A/12+22=6-/5/.a 3后,bJ=a2-c2=9.所 以 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为+-=145 9(2)点 P(5,2)、F(6,0)、F26O)关 于

32、 直 线 y=x 的 对 称 点 分 别 为 点 P(2,5)、F(0,-6)、F2,(0,6).2 2设 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为=-4=1(%0,0)由 题 意 知，半 焦 距 5=6%仇 2=|/,F1，|+|P,F2，|=2422-Vl2+22=4有%=2 逐，b=c5-ar=36-20=16.所 以 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 反 _=i20 167.(全 国 卷 I)在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，有 一 个 以 片(0,-百)和 名(0,百)为 焦 点、离 心 率 为 坦 的 椭 圆，设 椭 圆 在 第 一 象 限 的 部 分 为

33、 曲 线 C,动 点 P 在 C 上，C 在 点 P 处 的 切 线 2与 x、y 轴 的 交 点 分 别 为 A、B,且 向 量 丽=3 4+为。求：(I)点 M 的 轨 迹 方 程；(H)OM的 最 小 值。2 2 a2b2=3.解：椭 圆 方 程 可 写 为：$+*=1 式 中 ab0,且 J近=近 得 a2=4,b2=l,所 以 曲 线 Ca-2 2x的 方 程 为：x2+=1(x0,y0).y=2Vlz zx1(0 xl)y=1 x设 P(x0,yo),因 P 在 C 上，有 0 x0l,y2)二|丽=x?-1+号 4524+5=9.且 当 x2-l=A y，即 x=V3l时,上 式

34、 取 等 号.故 O M 的 最 小 值 为 3.8.(上 海 卷)在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，直 线/与 抛 物 线 V=2 x 相 交 于 A、B 两 点.(1)求 证：“如 果 直 线/过 点 T(3,0),力 弘 OA O B V 是 真 命 题；(2)写 出(1)中 命 题 的 逆 命 题，判 断 它 是 真 命 题 还 是 假 命 题，并 说 明 理 由.(15班)解(1)设 过 点 T(3,0)的 直 线/交 抛 物 线 y2=2x于 点 A(X1,yJ、B(x2,y2).当 直 线，的 斜 率 不 存 在 时，直 线/的 方 程 为 x=3,此 时，直 线/

35、与 抛 物 线 相 交 于 点 A(3,V 6),B(3,-V 6).：.OA O B=3；当 直 线/的 科 率 存 在 时，设 直 线/的 方 程 为 y=A(x-3),其 中 左。0,由 得 ky-2y-6k=Q yy=-6y=A(x-3)又；*1=4 0 2,*2 得 为?*O A O B=xlx2+yty2=1(J,J2)2+yxy2=3,综 上 所 述，命 题“如 果 直 线 I过 点 T(3,0),那 么 5 履 方=3”是 真 命 题；(2)逆 命 题 是：设 直 线，交 抛 物 线 y2=2 x于 A、B 两 点，如 果 万 晨 O B=3,那 么 该 直 线 过 点 T(3

36、,0).该 命 题 是 假 命 题.-例 如：取 抛 物 线 上 的 点 A(2,2),B(，1),此 时。4 0 5=3,直 线 A B 的 方 程 为：2J=|(x+1),而 T(3,0)不 在 直 线 A B上；说 明：由 抛 物 线 y?=2x上 的 点 A(X|,yD、B 卜 皿)满 足 OA OB=3,可 得 y iy?=-6,或 丫 佻=2,如 果 丫 2=6,可 证 得 直 线 A B过 点(3,0)；如 果%丫 2=2,可 证 得 直 线 A B过 点(一 1,0),而 不 过 点(3,0).9.(全 国 I I)已 知 抛 物 线*2=电 的 焦 点 为 尸，4、8 是 抛

37、 物 线 上 的 两 动 点，且 言=2诂(2 0).过 4、3 两 点 分 别 作 抛 物 线 的 切 线，设 其 交 点 为(I)证 明 前 意 为 定 值；(I I)设 A5M的 面 积 为 S,写 出 S=/U)的 表 达 式，并 求 S 的 最 小 值.(15班)解：(I)由 已 知 条 件，得 尸(0,1),Z 0.设&修，yi),8(X2,)由/=%而，X I AX2 即 得(-X”1-y)=X 2,丫 2-1)，|_丫=&2-1)将 式 两 边 平 方 并 把 乃=%，丫 2=%22代 入 得 力=下”解、式 得 力=2,、2=彳，且 有 为 处=一 入 2=-44y2=-4,

38、抛 物 线 方 程 为)，=$2,求 导 得 y，=%.所 以 过 抛 物 线 上 4、B 两 点 的 切 线 方 程 分 别 是 1,1,口 口 1 1 0 1 1 2y=(x 勺)+乃，=/2。一 工 2)+2，即 不 广，彳 0 X I+x?XIX?X I+x?解 出 两 条 切 线 的 交 点 M 的 坐 标 为(一 丁，)=(,-1).4 分 所 以 扁.薪=(；,-2)-(X2-XI,y2yi)=1u22-12)2(1X22-|2)=0所 以 扁 芯 为 定 值，其 值 为 0.7 分(H)由(I)知 在 ABM 中，FM1.AB,因 而 S=；L4BIIFMI.因 为 AFI、I

39、BFI分 别 等 于 4、B 到 抛 物 线 准 线 y=-l 的 距 离，所 以 1 L 1 2于 是 S=ABFM=(ypc+p)3,由 而+9 2 知 S 2%且 当=1 时，S 取 得 最 小 值 4.1 0.(山 东 卷)已 知 椭 圆 的 中 心 在 坐 标 原 点 O,焦 点 在 x 轴 上，椭 圆 的 短 轴 端 点 和 焦 点 所 组 成 的 四 边 形 为 正 方 形，两 准 线 间 的 距 离 为 4.,(I)求 椭 圆 的 方 程；(I1)直 线 l 过 点 P(0,2)且 与 椭 圆 相 交 于 A、B 两 点，当 A A O B面 积 取 得 最 大 值 时，求 直

40、 线 1的 方 程.(15班)解：设 椭 圆 方 程 为 之+方=l(a b c)b=c r 2 _ 2(I)由 已 知 得 2/,所 求 椭 圆 方 程 为 E+y2=l.-=4=/=1 2a2=b2+c2 I J(I I)解 法 一：由 题 意 知 直 线 I的 斜 率 存 在，设 直 线/的 方 程 为 y=+2,A,%),S(x2,%)由 y=丘+2L 2 1I 2消 去 y 得 关 于 x 的 方 程：(1+2。/+8履+6=03由 直 线/与 椭 圆 相 交 于 A、B 两 点，0=64%2一 24(1+2/)0解 得 女 2：又 由 韦 达 定 理 得.8kx+苍=-1-1+2二

41、 6 2=中.,.I AB 1=Jl+k2 I x,-x21=J1+&2 J(x1+x2)2-4 X,X2=Jl+K J6k?-24 i+2k22原 点。到 直 线/的 距 离 d=,S=I A B I-d-txUo 2，16左 2 24 2 0 4 2/31+2公+2k2解 法 1：对 SJl6k2241+2/两 边 平 方 整 理 得：4S2A:4+4(S2-4)A:2+S2+24=0(*):S H 0,16(S2-4)2-4X4S，2(S2+24)0,4-52S20整 理 得:1-2s2 0又 s。，当 从 而 的 最 大 值 为 s=JA此 时 代 入 方 程(*)得 4k4-28/+

42、49=0.女=2所 以，所 求 直 线 方 程 为：JRr 2y+4=0.解 法 2：令 m=y2k2-3(wz 0),则 2左 2=/+3.2应 m 2V2 V2川+4,4 2m H tn4当 且 仅 当 机=即 m=2 时，smmax4 此 时 I 嘤 所 以，所 求 直 线 方 程 为 土 JlZ 2y+4=0解 法 二：由 题 意 知 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 零.设 直 线/的 方 程 为2y=kx+2,A（X j）,B（X2，力），则 直 线/与 x 轴 的 交 点（一 一,0），k由 解 法 一 知 上 2 二 且 28&6中 2=17至 1 1 2解 法 1：5 A O B=-lOD-yt-y2=-kxi+2-kx,-2=1%x 2 2 k=yj(x2-x2)2-4 XAX2=J16/-24 2国 2k2-3+2k2+2k2下 同 解 法 一.解 法 2：S=S TO-ST O A=1X2X1|X2|_|X,II=1 x2-x,l=2联 尸 下 同 解 法 一.