数值分析常微分方程初值问题的数值方法.ppt
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1、数值分析数值分析第十章 常微分方程数值解第一节 求解初值问题数值方法的基本原理第二节 高精度的单步法 第三节 线性多步法第四节 一阶微分方程组的解法第五节 边值问题的打靶法和差分法数值分析数值分析考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要 f(x,y)在a,b R1 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件,即存在与 x,y 无关的常数 L 使对任意定义在 a,b 上的 y1(x)和 y2(x)都成立,则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值节点间距 为步长,通常采用等距节点,即取 h
2、i=h(常数)。第一节 求解初值问题数值方法的基本原理数值解(10-1)一、初值问题的数值解数值分析数值分析求解(10-1)最基本的方法是单步法单步法:从初值 开始,依次求出,后一步的值 只依靠前一步的典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例:求解常微分方程初值问题数值分析数值分析由此可见,Euler 公式的近似值接近方程的精确值.数值分析数值分析x0 x1向前差商近似导数记为二、构造初值问题数值方法的基本途径以Euler 法为例说明构造IVP 问题数值方法的三种基本途径1.数值微分法,用差商代替微商亦称为欧拉折线法 2.Taylor 展开法数值分析数值分析忽略高阶项,取近似值可
3、得到Euler 公式3.数值积分法区间 将 区间 积分 数值分析数值分析隐式欧拉法/*implicit Euler method*/向后差商近似导数x0 x1)(,()(1 1 0 1x y x f h y x y+由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边,不能直接得到,故称为隐式/*implicit*/欧拉公式,而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值,再迭代求解。三、Euler 法的改进及梯形公式数值分析数值分析梯形公式/*trapezoid formula*/显、隐式两种算法的平均 中点欧拉公式/*midpoint formula*/中心差商近似导数x0
4、 x2x1改进欧拉法/*modified Eulers method*/Step 1:先用显式欧拉公式作预测,算出),(n n ny x f h y+=1+nyStep 2:再将 代入隐式梯形公式的右边作校正,得到1+ny),(),(21 1+=n n n n nx f y x fhy y1+ny数值分析数值分析注:此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/。一方面它有较高精度,同时可以看到它是个单步递推格式,比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到,它的稳定性高于显式欧拉法。数值分析数值分析数值分析数值分析局部截断误差:设 是初值问题(10.1)的解,
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