数理统计汪荣鑫版.ppt

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1、第一章抽样和抽样分布 1.1 母体(总体）和子样母体研究对象全体元素集合,记为X.个体组成母体的每个元素,记为.样本,用表示,n 为样本容量.称为母体X 的一个容量为n 的子样值,或称子样的一个实现.例见p1子样从母体中抽取的部分个体,称若母体 X 的子 样 满足:(1)与X 有相同的分布；(2)相互独立，则称 为简单随机子样.随机抽样简单随机子样重复抽样非重复抽样独立同分布近似独立同分布条件：总体容量设母体X的分布函数为F(x),则子样若母体X 的密度函数为f(x),则子样的概率密度函数为的概率分布函数为若母体X为离散情形,则子样的联合概率分布为例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M,

2、其次品率为 若 p 是未知的,则可用抽样方法估计.其概率分布从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X 来描述它是否是次品:设有放回地抽取一个容量为n的子样的联合分布为其子样值为样本空间为若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如所以,当子样容量 n 与母体中个体数目N 相比很小时,可将无放回抽样近似地看作放回抽样.子样 中不含未知参数,则称为统计量.定义统计量的连续函数例 是统计量,不是统计量.是未知参数,则 顺序统计量将子样值由小到大排列得定义 r.v.则称统计量为顺序统计量.三种形式子样分布(刻画子样数据分布情况)频数分布 频率分布经验分布函数直方图 一 子样频数分布和频

3、率分布 设从母体中抽得的子样为按由小到大顺序排列为相同数合并后排列为其中频数相应的频数为且子样频 数分布子样频率分布频率于是有例1 从织布车间抽取12匹布检查每匹布的疵点数，得子样(1,0,0,2,1,3,2,0,1,1,2,1)求子样频数分布和子样频率分布.将12个数从小到大排列,相同的合并，0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,3得子样频数表(子样频数分布)0 1 2 33 5 3 1得子样频率表(子样频率数分布)0 1 2 31/4 5/12 1/4 1/12频数频率经验分布函数为子样的为经验分布函数.设子样为对任意实数子样值中小于或等于的个数为则称同分布函数 一样具有性质：非降、

4、右连续、由子样频数分布得子样经验分布函数：子样经验分布函数图形1 oox ooo例1的子样经验分布函数：例1的子样经验分布函数图形1 oox oo由Chebyshev 大数定律,对任意即子样经验分布函数总 体分布函数依概率收敛于格利汶科(W.Glivenko)定理当 时,经验分布函数依概率关于x均匀地收敛于母体分布函数即对固定x成立(1)频数直方图样本数据 频率直方图 经验分布函数某班50名学生概率考试成绩如下：75 65 80 81 92 63 77 79 54 9885 72 66 84 83 60 82 78 64 9081 78 76 86 68 76 73 71 88 87直方图65

5、 57 46 89 78 66 87 79 84 7896 88 67 38 67 75 83 82 68 85例2由于故分 9 组,每组组距为7,于是可得#先确定组距，在确定组数(512)平均分 频 数分布表 频数直方图继而画出384445515258596566727379808687939499组 限组中值414855626976839097组频数11258121272123456789组 号合 计50组总分41481103105529129966301943793频数分布表 频数直方图近似正态分布 结论:38 45 52 59 66 73 80 87 94 1210 8 6 4 2频数

6、分数(2)频率直方图与累积频率直方图在频数分布表中去掉“组总分”一列,添上“组频率”(%)“累积频率”(%)频率分布表频率直方图继而画出两列,得累积频率图 384445515258596566727379808687939499组 限 组中值414855626976839097 频数11258121272123456789组 号合 计50 频率直方图纵坐标0.02 0.0030.02 0.0030.04 0.0060.10 0.0150.16 0.0230.24 0.0340.24 0.0340.14 0.020.04 0.006 频率直方图近似正态密度函数 38 45 52 59 66 73

7、 80 87 94 分数.034.028.023.019.013.006矩形面积=此区间上的频率频率直方图y总体数量指标落在第k 组的概率px384445515258596566727379808687939499组 限 组中值414855626976839097 频数11258121272123456789组 号合 计50 频率累积频率0.02 0.020.02 0.040.04 0.080.10 0.180.16 0.340.24 0.580.24 0.820.14 0.960.04 1 累积频率直方图近似正态分布函数累积频率(%)直方图31 0.2 0.4 0.6 0.8 38 45 5

8、2 59 66 73 80 87 94 分数子样数字特征子样矩 阶原点矩子样均值子样方差 阶中心矩当子样以频数分布给出时子样均值子样方差中位数子样中位数子样极差例3 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组子样的均值、方差、中位数与极差.解 将子样由小到大重排则例4 求例1(12匹布的庛点）中子样的子样频数分布0 1 2 33 5 3 1频数解子样容量,中位数取第7个数简化计算方法令则例5 容量为10的子样频数分布为解2 3 4 1频数求作变换 得2 3 4 1频数于是习题作业 P.29 第一章4 8 10 11