数列极限计算的若干方法本科论文.doc

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1、淮北师范大学信息学院 2015 届学士学位论文数列极限计算的若干方法系、专 业数学系、数学与应用数学研究方向函数论学生姓名学号指导教师姓名指导教师职称副教授2015年5月26日淮北师范大学信息学院毕业论文（设计）诚信承诺书本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计）浅谈数列极限的几种计算方法 ，是在指导教师 潘亚丽 的指导下严格按照学院和系有关规定完成的。本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明。本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任。 承诺人： 2011年级 数学与应用数学专业 签 名： 2015

2、年5月26日 数列极限计算的若干方法 摘要 本文是探讨不同种类数列极限的求解方法，分别从简单数列和一些较为复杂的数列两方面去探讨求解数列极限，在简单数列中，我们主要利用定义，极限的四则法则，迫敛性等方法，去求解不同类型的简单数列极限.在求解复杂的数列中，将复杂数列具体的分成了三大类：递推数列，项和数列，一些用特殊的通项表示的数列.根据不同的数列分别用不同的方法去求解，例如：单调有界定理，级数有关性质，定积分性质等.在本文中针对不同类型的数列用具体的方法与相关例子相结合去求探讨求解数列的极限，通过本文的探讨能让我们熟练的求解出针对不同类型的数列极限. 关键词：数列；极限；有界；级数；积分 Stu

3、dies on Several Methods of Sequence Limit ABSTRACTThis article is to explore the different kinds of sequence limit method, mainly from two aspects of simple sequence and some of the more complex the sequence to solving the sequence limit, in the simple sequence, we mainly use of definition, the four

4、 principles of limit, forced convergence and so on, to solve different types of simple sequence limit. In solving complex sequence, the complex sequence of concrete is divided into three categories, mainly divided into recursive sequence, and sequence, some use special general representation of the

5、sequence. Then according to the different series with different methods respectively to solve, such as monotonous have defined, series related to nature, nature of definite integral, and so on. In this paper by concrete method combined with relevant examples to solve different types of sequence limi

6、t. Keywords：The Sequence；Limit；Bounded；Series；Integral 目录引言1一 基础知识1（一） 、数列极限的思想1（二） 、数列极限的有关定理.1二 简单数列极限求法2（一）、利用极限定义和性质求解数列极限2（二）、利用数列变形化简求解数列极限4（三）、利用公式求数列极限6（四）、利用归结原理求数列极限6三 复杂数列极限求法7（一）、利用三大定理求数列极限.7（二）、利用级数性质去求数列极限10（三）、利用定积分有关性质求数列极限.12四 结论16参考文献17致谢1819引言 数列极限是极限理论的重要组成部分，在数学分析中，极限的思想和方法始终贯穿

7、其中，同时极限方法是微积分学的基础，因此对于怎样求数列极限也显得尤其重要。一般简单的数列极限的求法在数学分析教材中都有介绍，但是课本中没有具体的将数列分成几类，针对不同的数列选择不同的方法去求解该数列极限.对于一些比较复杂的数列极限，一般方法就显得有些局限.为了解决此问题，本文具体的将数列分成几类，分别用不同的方法去求解数列极限 一 基础知识 （一） 、数列极限的思想纵观古代数学发展，我国魏晋著名数学家刘徽在计算的圆的面积时就提出了“割之弥细。所之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失”他就提出通过增加圆内正边形的边数来逐渐逼近圆的面积。这就体现出了极限思想。古代哲学家庄周就说过“

8、一尺之，棰，日取其半，万使不竭”如果我们把每天截下的部分长度为： 第一天截下，第二天截下，第天截下，从而我们就得到一个数列 所以我们不难看出数列当无限增大就会逐渐接近于0，从中我们可以看出数列当无限增大时，数列就无限接近于一个常数，则称之为数列的极限，但这只是直观上的数列极限.我们应该衡量出当充分大时，数列的通项与常数之差的绝对值，于是我们得出数列极限的准确定义 定义1 设为数列，为定数。若对于任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时有|，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作（二） 、数列极限的有关定理.定理 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限. 定理 stolz定理：(1

9、)设是任意数列，严格递减趋于则当存在或为时. (2)设是趋于零的数列，严格递减趋于零.则当存在或为时.定理压缩映射原理：设可可倒且|，其中是常数，给定，令则数列收敛 定理 迫敛性定理：设收敛数列，都以为极限，则数列满足： 存在整数,当时有，则数列收敛 且有二 简单数列极限求法（一）、利用极限定义和性质求解数列极限1、利用数列极限的定义求解数列极限 利用定义求数列极限主要要求我们对，作差通过放缩或变形后找出所需N的要求.例1 求，（这里为正数）解 由于 故对任给的，只要取，则当时就有 所以 。例2 求解 ，存在则当时，便有 ， 2、利用极限的四则运算法则求数列极限极限的四则运算法则：若与为收敛数

10、列，则+，-，也是收敛数列，且有 ， . 例3 求 解 由四则运算法则可知= (,) 例4 求解 又，得 由四则运算法则可知 3、利用迫敛性定理求解数列极限 通过放缩使数列通项夹在两个数列之间，使而得到数列通项所满足的不等式，然后利用迫敛去求一些数列极限. 例5 求极限 解 由题意可得 因为 由迫敛性定理知 例6 求极限 解：因为 而 ， 所以由迫敛性定理知 （二）、利用数列变形化简求解数列极限 1、通过分子分母有理化将数列化简后来求解数列极限 例7 求 解 因为 所以= 例8 求 解 2、利用裂项，求和等初等变形将数列化简，再求数列极限 例9 求（） 解 则（=1 例10 （） 解 令 则

11、-式，得 故得 所以 即 （） （三）、利用公式求数列极限 例11 求 解 令 则 例12 求 解 = （四）、利用归结原理求数列极限 通过此方法将数列极限转化为函数极限，然后在求极限 归结原理:设在上有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等例13 求 解 因， 且数列严格递增无上界. 由归结原则，可知 例14 求 ，（） 解 (1) 当有一为时，比如，则 . (2) 当时，令，则 ，即有 由 ，两式可得 三 复杂数列极限求法（一）、利用三大定理求数列极限.对于一些较为复杂的数列，如递推数列，n项求和数列等等.则可以用以下方法求数列的极限. 1、利用单调有界定理.

12、 使用本方法时，需验证数列满足两个基本条件：（1）单调（递减或递增），（2）有界（有上界或有下界），此定理本身没有直接求出数列极限的值，所以是个存在性定理，在求解过程中结合解代数方程和极限保号性等，来求解数列极限.例1 设，当时.，求解 显然，由于又因 所以，即数列单调递减且有下界，故极限存在，令由递推关系式解得.即=例 设， ，求数列极限 解 先用数学归纳法可证 （）. 再用数学归纳法证明 （ ）. 显然，假设，则有 （）=（）（）. 从而成立. 由，知单调递增有上界，所以（存在） ，其中， 2 、利用stolz定理去求解数列极限.运用此方法时，要求我们能熟练的将一个数列拆分成两个较为简单的

13、数列，然后判断数列，是否符合stolz条件，若符合条件则可以用该方法去求解数列一些类似为项数列求和的极限. 例3 求数列极限，其中为自然数. 解 由题意可令，由定理2可得 = = 例4 求数列极限，其中为自然数 解 令, ,由定理2可得 、 利用压缩映射原理求数列极限.此定理也是判断极限存在性定理，我们知道在空间的完备性保证了映射的不动点存在，同时压缩映射原理给出了求不动点的迭代法.在完备的度量空间中，从任意选取一点出发,逐次作点列 ，它必然逼近方程 的解，所以在求数列极限时，由压缩映射得到的数列 必收敛于的不动点.在利用压缩映射原理时必须保证是否保持在|成立的范围之内. 例5 设， ， 求数

14、列极限 解 令(）可知 又 ()故称为压缩映射，由定理3可知数列收敛， 再对递推公式两边去极限可得 = 例6 求数列2, 2+， 的极限 解 从序列特征可以看出,相邻两项的关系是 令(),则.又(),从而有.故由定理3知称为压缩映射.由压缩映射原理, 收敛.再对递推公式,两边取极限结合得. （二）、利用级数性质去求数列极限1、 应用级数收敛的必要条件来求数列极。 级数的收敛的必要条件：若级数收敛，则 . 应用这个结论求数列极限方法是把给定的数列通项看做某个级数的通项，然后用级数的敛散性判别法来判定级数的收敛性，若收敛，则数列极限为零例7 求 解 构造级数，这是正项级数.由正项级数的比值判别法可

15、知 所以该级数收敛,故 例8 证明数列 有极限，并求 此极限. 解 当时，可证， 故当时为单调递减，且有下界大于0.故存在 再考虑正项级数，因为， 由此可知级数 收敛， 2、利用幂级数展开式求极限. 幂级数是一个无穷系列的和的形式，其部分和就是一个数列.有时为了解题方便。可以将数列极限看做某个极限的部分和.再利用逐项求积分的方法来求级数的和函数，这样能更简捷的求出数列极限. 例9 求极限 ， （）. 解 令 考虑级数， ,此级数收敛. 令 ，则 ，再令, . 而 = 例 求极限 解 令 （收敛域为） = = = 当时，则 = （三）、利用定积分有关性质求数列极限. 1、利用定积分定义求解数列极

16、限 定义：设是定义上的一个函数，是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对的任何分割，以及在某上任意选取的点集，只要|,就有|，则称函数在区间上可积，数称为在上的定积分.记为=. 应用定积分求数列极限就是把数列的通项看作是某个连续函数的某个区间的积分和.然后通过计算定积分的值以及数列的极限.其关键利用 例11 求 解 = = 令 ， 则在上连续。所以可积 .则由定积 分定义 , 则由定积分定义知： 又 = 例12 求 解 令则在上连续，所以可积，取 ，则 2、对一般通项用定积分表示的数列,其中的求法 （1） 利用数列极限的定义去求解 例13 求极限解 (不妨设),则. (因为单

17、调递增)又, ,故,当时, .从而(1)式.故. 利用公式将积分算出来，然后再去求数列极限. 例14 求 解 令 则有 .进而 于是 又因 故有 同理 令 有 ， 综上所述 有 （3）利用定积分中值定理将积分号去掉,然后再求数列极限. 例15 设在上连续，求 解 对于任意的正整数，根据积分第一中值定理.存在 及，使得 ， 因为在上是有界的，而有界量与无穷小量的乘积仍为无穷小 量，所以 又因 ，故有，所以. 根据在处的连续性，有 因此 （4） 积分估值法，就是将积分估值，使原式小于或等于一个数列通项，使而得到数列通项所满足的不等式，然后利用迫敛性或结合数列定义去求一些较为复杂的数理极限. 例16

18、 求 解 因为 所以 且 由迫敛性可得 例1 求 解 因为在上， ，故对任意，故对任意的， 都有 ， 从而有 . 令一方面，对任给的，有 但对一切，当时，一致收敛于1，故可在积分 号下取极限而得到. 在式两端取下极限并利用上式的结果，可得到 由的任意性便知 由 ，两式便知 四 结论 通过对求数列极限的研究讨论，可以看出数列极限在极限中占的重要地位，所以我们应该会熟练求解数列极限，在求解数列极限时选择的方法很重要，从本文我们可以知道在求解数列极限的时候，我们首先要分析数列极限的结构特征，正确的分析出数列结构的类型，然后针对不同类型的数列极限，灵活的选择不同的方法去求解的数列极限，在具体求解一种类

19、型的极限时，我们综合各个方面的知识，要能把与数列极限有关的知识联系在一起，熟练的驾驭各个知识点，例如：单调有界定理，迫敛性，定积分定义，级数理论等.同时在化简数列时，我们应该学会一些技巧，例如通过对数列的放缩，积分的估值，等.从本文可以看出，当我们熟练的掌握不同的方法和相关数列极限的知识时，我们发现在求解数列极限时并不难以解决.参考文献 1 华东师范大学数学系.数学分析（上）M:第4版.北京：高等教育出版社，2009.2 陈丫丫.介绍求较复杂数列极限的几种求法J. 太原大学教育学院报，2012,30（1）:3 . 3 陈涛，王庆玲.压缩映射原理在数列极限中的应用J.泰山学院学报，2012,35

20、（6）：2 . 4 钱吉林.数学分析题解精粹M:武汉：湖北长江出版集团，2003.5 孙彩红.求数列极限的若干方法J.绥化学院学报，2011,9（6）：2.6 同济大学应用数学系.高等数学（上）M:北京：高等教育出版社, 2005.7 于燕燕.用定积分表示的数列极限求法J.彭城大学学报，1996,11(3)：1.8 裴礼文.数学分析中典型问题与方法M：北京：高等教育出版社，2003. 致谢本文的完成离不开数学科学学院潘亚丽老师的热情指导，同时数学科学学院机房的硬件设施和学校图书馆电子资源，为课题的研究工作提供了良好的条件，另外，本课题的部分工作还得益于同窗挚友的帮助，在此，对他们一并表示感谢！