几类特殊矩阵的性质的探讨摘要-目录-正文-参考文献-致谢大学论文.doc

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1、 几类特殊矩阵的性质的探讨几类特殊矩阵的性质的探讨摘要 随着特殊矩阵的应用越来越广泛，人们对特殊矩阵的性质的研究也越来越深入。相应的，越来越多有关特殊矩阵的论文和期刊也层出不穷的发表。 本文主要具体分析了四种特殊矩阵：伴随矩阵、型矩阵、正交矩阵、幂零矩阵。论文的具体展开如下： 第一章主要介绍特殊矩阵的背景以及发展状况，加深了我对特殊矩阵的进一步认识；第二章讲述了一些预备知识，为下文的展开打下基础；第三章到第六章主要具体的介绍四类特殊矩阵：通过对它们的基本定义和基本性质进行深入研究并加以证明，我得到了很多有意义的结论，并将有些结论加以推广，以加深我对特殊矩阵更深层次的认识，最后对部分性质加以应用

2、，使我对这些性质有了更好的掌握；最后一章对本文做了小结，并对特殊矩阵的研究加以展望。 特殊矩阵的研究是一个漫长的过程。对于特殊矩阵的研究只有通过大家的共同努力才能使特殊矩阵的理论更加完善，知识更加系统。关键词：特殊矩阵；伴随矩阵；型矩阵；正交矩阵；幂零矩阵THE DISCUSSION OF THE PROPERTIES ABOUT SEVERAL KINDS OF SPECIAL MATRIX ABSTRACTThe study on the properties of special matrix is becoming more and more deeply with the appli

3、cation of special matrix becoming more and more widely.Accordingly, more and more papers and journals about the special matrix has been also published.This article mainly analyzes four kinds of special matrix: adjoint matrix, matrix,orthogonal matrix and nilpotent matrix.paper elaborated on the foll

4、owing:The first chapter mainly introduced the background and development status of special matrix.It deepened my further understanding of special matrix;The second chapter told the story of some preliminary knowledge in order to lay a foundation for the rest of the article.From the third chapter to

5、the sixth chapter, I mainly introduced the four types of special matrix in detail:I got a lot of meaningful conclusion based on the in-depth study and proving about the basic definition and properties.I extended some conclusions to deepen my understanding of special matrix.To have a better master of

6、 these properties,I applied some natures finally.In the last chapter of this article,I made a summary, and I also did a research about the study of special matrix.The study of special matrix is a long process.In order to make special matrix theory be more perfect and the knowledge be more systematic

7、,the only way is that we have to combine all of the efforts of the research on the special matrix.Key words: special matrix; adjoint matrix; matrix; orthogonal matrix; nilpotent matrix目录1 绪论.1 1.1 课题背景.1 1.2 研究内容及构成.12 预备知识.3 2.1 符号说明.3 2.2 基本定义.33 伴随矩阵.5 3.1 伴随矩阵的性质.5 3.2伴随矩阵的应用.94 型矩阵.11 4.1 型矩阵的性

8、质.11 4.2 型矩阵的应用.165 正交矩阵.19 5.1 正交矩阵的充要条件.19 5.2 正交矩阵的基本性质.19 5.3 正交矩阵的应用.236 幂等矩阵.24 6.1 幂等矩阵的基本性质.24 6.2 幂等矩阵的秩等式及其推广.257 小结与展望.28参考文献.29致谢.301 绪论1.1 课题背景特殊矩阵作为数学中一个非常重要的概念，不仅在高等代数的研究中占据了一个相当重要的位置，当然也是数学领域与其它相关研究领域与应用的一个非常重要的工具.它在各个学术领域和重要应用课题中都起着不可替代的作用，并且计算机在数值计算方面的使用中，矩阵的计算也占据着大部分时间和精力，因此对矩阵的基本

9、概念、性质和方法的研究对于培育新的高素质科学技术人才来说是非常重要而且相当基础的.矩阵的思想很早之前就已经有了.而到目前为止，国内外已经有许许多多关于矩阵的著作.虽然关于矩阵论的著作已经有很多了，但是对矩阵的研究热人在继续，不断有新的著作相继发表，因为矩阵分布比较广泛，涉及到的领域也很多，所以想要透彻的研究出摸个矩阵的完整的性质已经越来越难.即使如此，在数值分析中一些阶数很高的矩阵还是会经常出现，同时在矩阵中会有许多价值相同的零元素或元素.有时我们存储空间不够，所以我们不得不考虑空间的节省，所以对这类矩阵的存储进行压缩就变得尤为必要.所谓压缩存储就是指：使得相同的元分配在同一个存储空间之内，而

10、对与零元素而言并不分配空间，久而久之便形成了我们如今所讨论的特殊矩阵的概念.特殊矩阵有很多特殊的性质，可以大大简化计算，在实际处理问题时往往会把一般矩阵转化为特殊矩阵进行计算，所以研究特殊矩阵的性质十分的重要！1.2 研究内容及构成伴随矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵等特殊矩阵是我们比较常见的几类特殊矩阵，我们通过研究其性质和方法从而可以得到非常重要的理论意义和应用价值.在高等代数矩阵理论和别的数学分支中有一个非常重要的研究工具，那就是伴随矩阵.伴随矩阵的特殊性不言而喻，当然它自身也散发出诱人的性质.而在大学的有关矩阵基础理论学习中，我们用伴随矩阵多数是用来求矩阵的逆矩阵，这就导致

11、伴随矩阵的许多特殊性质一时间还不能被我们发现.本文将分类对伴随矩阵的性质进行研究，同时会讨论其部分定理的证明过程，并会对相应的定理加以应用，从而可以更加清楚地了解伴随矩阵的新性质.在特殊矩阵理论中，具有良好的性质的正交矩阵的作用在整个特殊矩阵理论体系中是不言而喻的.正交矩阵的特征根及特征多项式具有某些独特的规律，同时正交矩阵与矩阵运算的关系、正交矩阵与特殊矩阵的关系都体现出了正交矩阵的良好性质.并且在矩阵分解中、数值分析与方程组求解中都有广泛的应用.所以对于正交矩阵以及其相应领域的研究价值将会很高.本文深入研究了正交矩阵，概括了正交矩阵的一部分性质，并作出部分的改进和推广.另外国内外有很多学者

12、也研究了酉矩阵和正交矩阵的性质和应用，所以说正交矩阵在线性代数系统理论中的应用将会非常之广泛.特殊矩阵理论中，幂等矩阵主要在趋向于应用.当然，在本文中将会有部分的良好兴致会被发现.由于特殊矩阵的应用越来越广泛，所以就引发更多的研究者对其进行透彻的研究.国内外学者研究得出这些特殊矩阵在矩阵分解、数值分析、数理统计等相关方面的应用非常的广泛.他们对矩阵理论研究做了重大的贡献，对于高等代数的深入研究学习有重大的理论和现实意义.2 预备知识2.1 符号说明 为矩阵 的转置 的共轭 的伴随矩阵 的行列式 的逆矩阵 元素与的内积 线性空间的零元素或零向量 其余分量为0第个分量为1 的迹 的行列式 的秩 标

13、准型矩阵 属于2.2 基本定义为了迎合下文的需要，我们首先引入伴随矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵的有关基本概念. 定义1 伴随矩阵：设n阶方阵，则称为矩阵的伴随矩阵，其中是的代数余子式. 定义2 正交矩阵：如果对于实数域上的矩阵来说，如果满足,那么就称为正交矩阵. 定义3 幂等矩阵：定义4 幂零矩阵：对于矩阵来说，如果有一个正整数，并能使等式成立，那么就称是幂零矩阵.3 伴随矩阵3.1 伴随矩阵的性质性质1 假设的伴随矩阵是，那么，并且当且仅当时，有证明：设，那么于是；同样，由此可见，当时，可逆，则由可以得到也就是说所以 .性质2 等式都成立，无论是否为奇异阵. 证明：（1）当为非奇异阵时

14、，因为，得到 所以. （2）当为奇异阵时，因为，所以，从而有等式成立. 性质3 设均为阶可逆矩阵，那么 证明：因为，所以也可逆，并且；又因为，由，可以得到： 性质4 如果是阶方阵，那么. 证明：（1）如果是非奇异阵时，则有也就是说也是非奇异阵.因为，所以有又因为，所以，即. （2）如果是奇异阵，设，那么的第行第列元素则为.的第行第列元素则为，所以. 推论：（1）如果矩阵是非奇异矩阵，且是常数，那么. （2）设是阶方阵，那么有.同理，设都是阶方阵，那么当然会有 . （3）设都为阶方阵，那么. （4）设都为阶可逆方阵，那么 （5）设是阶非奇异矩阵，那么. 注：上述推论均可以通过定理进行论证，有兴趣

15、的同学不妨一试.性质4 设是阶方阵，是的伴随矩阵，那么对于任意的来讲，它的特征向量也是的特征向量.证明：（1），则有.假设是的属于特征值的任 一特征向量，也就是说，则成立.又由于，则，等价于.由于，所以有，从而成立.我们可以得到，是的属于特征值的特征向量. （2），则有，这种情况下就可以表示成，(其中是维非零列向量). （i）如果的属于特征值的特征向量是，就会有存在，因此就有.由题意知，那么，又因为，故而成立，因此的属于特征值0的特征向量同时也是的属于非零特征值的特征向量. （ii）如果的属于特征值0的任一特征向量是，就会有存在，在的情况下，的各列都是的属于特征值0的特征向量，又因为可以表示为

16、，那么自然而然就成立.又因为成立，所以同样可以说明的属于特征值的特征向量同时也是的属于特征值0的特征向量. （3）时，则有，也就是说，那么显然的特征值都为0. 设的属于任意特征值的一个特征向量是，那么恒成立.那么再一次证明，的属于特征值0的特征向量同时也是的特征向量. 综其（1）（2）（3）可知，对于任意阶方阵来讲，其伴随矩阵的特征向 量同时也是的特征向量. 性质5 对于任意阶方阵，其伴随矩阵为，那么都可以表示成方阵的多项式. 证明：（1）在的情况下，根据哈密顿凯莱定理，如果的特征多项式为那么 . 因为是可逆矩阵，所以.由，可得.即.又因为，因此. （2）当时，令. 因为，所以.任取，则，易得

17、.另外，任取，那么.因此，集合是数域上方阵空间的子空间.对任取的，都有，那么，又，所以.因为，可得.又，则有与的解空间都是一维的，令是解空间的一组基，是解空间的一组基，（其中），则中的任一元素都可以写成的形式，其中为上的任意常数.因此，是一维的线性空间. 设的最小多项式为，则有.易得，所以.由最小多项式的定义可知，因，所以.而是一维的线性空间，则一定存在非零常数，使得，也就是说是的多项式.（3）当时，则.此时，显然可表示为的多项式.综上可知，任意阶方阵的伴随矩阵都可以表示成方阵的多项式. 推论 如果是循环矩阵，是的伴随矩阵，那么也是循环矩阵.证：由上述定理知，伴随矩阵可以表示成矩阵的多项式，因

18、为由定理易知两个循环阵的和是循环阵，任意两个循环矩阵的积同样也是循环矩阵，所以也是循环矩阵.3.2 伴随矩阵的应用例1 假设是的伴随矩阵，为4阶，且是一个可逆矩阵，如果说符合条件，那么解： 法1 针对，我们将同时右乘其两边，于是，又根据，所以，从而有，再将左乘在等式的两侧，通过，于是有，通过计算简化可得：，.所以综上可知，是一个可逆矩阵，所以将同时左乘在的两边，于是有.法2 根据上面的计算方式，我们可以得到，所以.于是得到可逆，我们将同时乘在的两边，所以有.而根据，将其简化，于是，.所以可知也可逆，将和同时乘在的左侧和右侧，于是可知.4 型矩阵4.1 型矩阵的性质 对于矩阵和两个维列向量、，另

19、设的转置为. 在研究形如的矩阵的时候我们用到了分块矩阵的初等变换思想，并举例说明了部分性质在行列式的计算中的重要作用.我们得到了下面的一些结果.性质1 对于矩阵和两个维列向量、，另设的转置为，我们可以得到这些性质： （1）； （2）时，矩阵和均可逆，且；.证明：假设是阶单位矩阵. （1）根据分块矩阵的乘法法则，我们有如下结论.则 ；.故 . （2）时，由（1）知矩阵和都可逆. 因为得到 .又因为，那么可得 .对比两式，由逆矩阵的唯一性可知，与之相对应分量相等，可得.性质2和性质3都可以通过定理1论证得到. 性质2 对于矩阵和两个维列向量、，另设的转置为，且用表示的伴随矩阵, 则有 . 证明：（

20、1）时，由定理1可得. （2）时，令，则存在，使得时，有，则.因为两边均为关于的多项式，且多项式是连续函数，则令，得到 .综上可得定理2成立. 性质3 对于矩阵，和均为阶矩阵，的转置为，那么 （1）； （2）当可逆，即时，和均可逆且；.其中表示阶单位矩阵. 证明：（1） . （2）若，因为，由（1）可知，故可逆.因为 则 . 又，则. 对比两式，可得 . 性质4 对于矩阵和两个维列向量、，另设的转置为，的伴随矩阵为，那么 （1）；（2）为1或，且当且仅当. 证明：（1）(i)当时，由定理1知. (ii) 首先证明：若为阶幂等矩阵且，那么有.因为是阶幂等矩阵，也就是说恒成立，所以有，等价于，因此

21、也是幂等矩阵.由于，则 ，于是 ，那么同样也有也是幂等矩阵.由于，故而，又因为幂等矩阵自身的特点：它的秩等于它的迹，所以有，因此成立.在幂等矩阵的前提下，根据其自身特点幂等矩阵一定可以对角化，并且幂等矩阵的特征值只能是1或0，所以一定会有一个可逆矩阵，满足，因此有.当时，即，矩阵不可逆，即.因为，则为幂等矩阵，那么.所以，则，两边同时右乘，得.综上所述：. （2）因.又因为是可逆矩阵，所以就有，在初等变换并不会使矩阵的秩有任何变化，因此就有下式成立 ，所以有 .因为矩阵本身的秩和它的伴随矩阵之间的内在关系，所以有 等于1或.注意到：当且仅当.因为当且仅当，又且，所以当且仅当.故 当且仅当. 性

22、质5 对于阶单位矩阵，实数，和维列向量、，那么矩阵 的全部特征值只有两个，一个为(重)，而另一个是，同时还有它的迹是，进而可以算出它的行列式是. 证明： 矩阵的特征多项式为.（1）当时，则由定理1得.（2）当时，仍然适合上式.综上可得 .在时，矩阵的重特征值是，其另一个特征值是，矩阵的迹是，它的行列式是. 性质6 设为阶可逆矩阵，和是两个维非零列向量，表示的转置，则多项式有一个根为，其余的根全为0.证明：令，则，则. 当时，显然成立；当时，由定理1可知.因为同样适合，所以由可以推出. 因此 单根是，同时重根是.4.2 型矩阵的应用 例1 计算下面的行列式 解：（1）当时，令由定理3知，（2）

23、若，则存在，（3） 此时易求 ，这时同样适合. 综上所述，行列式的计算结果就是式. 例2 假设称为的代数余子式，试证明： 证：令 .由定理2可知 ，故.5 正交矩阵5.1 正交矩阵的充要条件 对于矩阵来讲，它是正交矩阵的充分必要条件有如下几个： 条件1 的行（列) 向量组是单位正交向量组； 条件2 的个行（列)向量是维向量空间的一组标准正交基；条件3 的行向量组两两正交并且都是单位向量；5.2 正交矩阵的性质 性质1 也是正交矩阵； 性质2 （是单位矩阵）； 性质3 对于矩阵，它的各行是单位向量并且两两正交； 性质4 对于矩阵，它的各列也是单位向量并且两两正交； 性质5 ； 性质6 ； 性质7

24、 对于阶的非零实方阵，假设的代数余子式是，那么有如下结论成立： （1）是行列式为1的正交矩阵的充要条件为：； （2）是行列式为-1的正交矩阵的充要条件为：. 证明：（1）必要性：如果是正交矩阵并且它的行列式为1，那么就有成立，因为是正交矩阵，那么由正交矩阵的定义可知 ，所以都是的逆矩阵，而矩阵的逆矩阵是唯一的，所以根据这一性质可知 ，所以. 充分性：由，可知，则，即.由于且，则，即.因为，所以，又，所以. 于是，因此，是行列式为1的正交矩阵. （2）的证明方法与（1）完全相同. 注：定理3表明可以用矩阵的元素与其代数余子式之间的关系来刻化了正交矩阵的特性. 性质8 对于阶正交矩阵来说，任何的阶

25、子式和它的代数余子式最多只相差一个负号. 证明：我们选取作为维标准单位向量组，也就是说，那么，于.由引理2及是正交阵. 我们使，可以通过互相交换相邻两行与两列的办法，使得阶行列式的前列中的第列调到前列，同样的方法再将它的前行中的第行调到前行，在这种调动情况下我们可以得到一个新的阶行列式.，其中.由于，. 因，所又，且，则. 推论： 设是阶正交阵，则对于满足的任何以及满足的任意正整数，恒有证明：根据拉普拉斯定理，又因为是阶正交阵并且我们结合定理4的证明过程可以得到.则，故. 性质9 对于阶可逆矩阵，那么对满足的任何正整数和，的任何与，恒有（1）；（2）. 证明：（1）因可逆，所以，则.由定理4

26、的证明过程可知，.并且，故（1）得证.(2) 由定理4的证明过程，易知 .5.3 正交矩阵的应用例1 对于任何一个矩阵来讲，设向的投影矩阵（正交）是，那么会有.证明：对于矩阵，假设满足，那么我们选取的任何一个向量，我们可以把进行分解，可得到如下式子.（其中和是恰当的两个向量）.根据可得，对于任何的和都成立.如此，即符合如下方程，所以有.所以，必然有（为一矩阵），满足.根据上式，从而有，也就是.所以，根据以上定理我们可以得到上式的解为.将其带入中，则有，所以上式得证.6 幂等矩阵6.1 幂等矩阵的性质 幂等矩阵的定义：假设为方阵，如果有，那么称为幂等矩阵. 幂等矩阵的基本性质： 性质1 对于幂等

27、矩阵，的转置是矩阵，可以证明同样也是幂等矩阵. 证明：根据幂等矩阵的定义，我们有成立，又因为的转置矩阵是，所以有，因此也是幂等矩阵. 性质2 对于幂等矩阵，的相似矩阵是，可以证明也是幂等矩阵. 证明：假设、都是阶方阵，因为是幂等矩阵，所以有，并且因为与相似，所以必然有（为可逆矩阵）满足，因此 性质3 对于幂等矩阵，的伴随矩阵是，则可以证明也是幂等矩阵. 证明：根据幂等矩阵的定义，因为是幂等矩阵，所以有，并且的伴随矩阵是，所以. 性质4 对于幂等矩阵，假设并不是单位矩阵，则有如下理论成立，即是奇异矩阵，也就是说的行列式等于0. 证明：设为阶幂等矩阵，则由幂等矩阵的定义可知，假设存在单位矩阵，且，

28、如果是非奇异矩阵，那么是可逆矩阵，即存在，因为由题可知，在其两边同时乘以，则有,与题设矛盾，所以，即是奇异矩阵. 性质5 对于阶单位矩阵，维非零列向量，我们设的转置是，同时使得，那么要想使是幂等矩阵当且仅当. 证明：因为，那么，我们首先假设是幂等矩阵，在这个前提之下，根据幂等矩阵的定义，我们可以知道恒存在，故而，因为，所以，即. 反之，如果，那么有，即是幂等矩阵. 性质6 设是阶矩阵，同时假设的秩是，则如果是的是幂等矩阵，那么当且仅当存在一个矩阵，满足. 证明：（i）充分性：因为，则.（ii）必要性：假设的标准型是，因为，且有，是块. 因为，那么必有如果满足此条件，则必有.所以是一个对角矩阵.

29、由可得或0，所以.6.2 幂等矩阵的秩等式及其推广： 秩等式：设为阶幂等矩阵，则有. 推广：设为阶幂等矩阵，则有，对任意常数都成立. 证明：由题意可知是幂等矩阵，所以对于矩阵，必然和两个可逆矩阵的存在，满足，为的秩.我们记，则有，（分别为相应的分块矩阵）.所以有.所以下式成立：.由题意知，因为，所以有，也就是说，故而有.又由于是行满秩矩阵可知，所以.所以.由可知，且有如下成立：.根据初等行变换的变换原理，将此式进行初等行变换可以转化得到.根据初等行变换的性质：初等行变换并不会改变矩阵的秩这一原理，同时根据的逆同时也是可逆矩阵，所以有.因为和都是满秩矩阵，所以根据这两个条件，显然成立.所以，综上

30、可知.7 小结与展望本文对伴随矩阵、正交矩阵等四类特殊矩阵的性质做了较为深入的探讨.在前辈探讨的基础上将其性质加以引申，相互联系，得出很多有意义的推论，又将这些推论加以证明，学以致用，为特殊矩阵的探究又注入了一股新鲜的血液.而对于特殊矩阵的研究仅仅这些还远远不够，需要我们进行恩家深入的探讨，因为特殊矩阵的应用广泛，这些探究也显得尤为重要，所以希望接下来探究特殊矩阵的学者能以学术研究为目的来对特殊矩阵进行探讨，发散特殊矩阵的性质，开拓我们的视野的同时拓宽自己的学术功底.参考文献1 毛纲源. 线性代数解题方法技巧与归纳M. 武汉:华中理工大学出版社,2000：1-150.2 何旭初，孙文瑜.广义逆

31、矩阵引论M. 江苏：江苏科学出版社，1991.3 张禾瑞，近世代数基础M. 修订版，北京:高等教育出版社，1978:1-124.4 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数M. 北京:高等教育出版社，1978：1-277.5 北大数学系.高等代数M. 北京：高等教育出版社，1999.6 Wang Rui. Structure of irreducible polynomial over a unique factorization domain RJ.Journal of mathematical research and exposition, 1999: 367-373.7 程云鹏

32、.矩阵论M. 西安：西安工业大学出版社，2005.8 R.A. Horn, C.R.Johnson. Matrix AnalysisM. 北京:人民邮电出版社, 2005: 1-244.9 王品超. 高等代数新方法M. 北京：科学出版社，1985:1-100.10 陈景良，陈向晖.特殊矩阵M. 北京：清华大学出版社，2001.11 T. W. Hungerford . AlgebraM. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin, World Publishing Corporation, Beijing China,1974，1-366.(外文翻译

33、文件).12 孟道骥. 高等代数与解析几何M. 下册. 北京：科学出版社，1998：100-287.13 田秋菊，宋岱才.特殊矩阵的几种性质J. 辽宁：辽宁石油化工大学学报，2006致谢经过一两个月的不懈努力，毕业论文的撰写终于圆满结束，激动心情溢于言表。这一两个月中有失落、有心酸、有欢乐、有成长，当然不单单是因为毕业论文，这两个月发生太多太多我意想不到的、足以改变我一生的事情，也只有我才能明白这一两个月的心酸历程。论文创作中，自己通过多方查找文献，整合材料，梳理知识终于使论文成型，而在整个创作过程中我不得不说有太多人帮我，我有太多的人要感谢：首先，我要感谢我的指导老师游兴中老师，毕业论文是第一次也是最后一次撰写，感谢老师在百忙之中抽出时间，在论文写作过程中给我帮助和批评指正以及悉心指导，让我在论文写作过程中没怎么走弯路，一直按照要求和进度进行，为我的论文结稿奠定了坚实的基础；然后，我要感谢同在游老师指导下的成员、我的室友和同学、哥们儿，一起调侃，一起欢笑。还有在写论文过程中，由于自己有时候不在学校，感谢他们那么热心的帮助，才使得我的论文进度没有落下；毕业论文终将落下帷幕，大学四年弹指一挥间。漫漫人生，愿大家走好以后的路，且行且珍惜第 30 页 共 30 页