历年中考数学真题汇编 49 运动变化类的压轴题（含答案解析）.pdf

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1、运动变化类的压轴题年运动变化类的压轴题，题目展示涉及：单 一（双）动点在三角形、四边形上运动；在直线、抛物线上运动；几何图形整体运动问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质；特殊四边形形的判定和性质；圆的相关性质；解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想.解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.现选取部分省市的年中考题展示，以飨读者.一、单动点问题【题1（年江苏徐州第28题）如图，矩形A B C D的边AB=3cm,AD=4 aw,点E从点A出发，沿射线移动，以CE为直径作圆。，点尸为圆。与射线BC的公共点，连接EF、C F,过点E 作 EGLEF

2、,EG与圆0相交于点G,连 接CG.（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆0与射线8 0相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形E/C G的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点G移动路线的长.【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质.【专题】：压轴题；运动变化型.【分析】：（1）只要证到三个内角等于90。即可.（2）易证点。在。上，根据圆周角定理可得从而证到根据相似三角形的性质可得到以舷ABO=2SK F 一.然后只需求出C F的范围就可求出S做的范围.

3、根据圆周角4定理和矩形的性质可证到/G D C=/F Z）E=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可.【解答】：解：（1）证明：如 图1,：CE为。的直径，；.NCFE=NCGE=90.VEG1 EF,，NFEG=90.：.Z CFE=Z CGE=Z FEG=90.四边形E F C G是矩形.(2)存在.连 接0 0，如 图2，.四边形A B C D是矩形，：.ZA=ZADC=90.点0是CE的中点，：.OD=OC.点。在。上.Z FCE=Z FDE,ZA=Z CFE=90,./CFECF.2 2.4x3=5xC尸”.：.CF=H.5.乌 W 4.

4、54 ax(工？)2E=定值，点 G 的起点为O,终点为G”,，点G的移动路线是线段DG.V Z G D C=Z F D E,ZDCG=ZA=W,：./XDCG/DAB.D C L”D G”.D A D B 3 _ D G 4 5：.D G=1 .4【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强.而发现N C D G=N A D B 及4 F C E=N A D B是解决本题的关键.【题 2】（湖州第24题）已知在平面直角坐标系xOy中，0 是坐标原点，以P（1,1）为圆心的

5、。尸与 x 轴，y 轴分别相切于点M 和点M点尸从点M 出发，沿 x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接P F,过点PELPF交 y 轴于点E,设点厂运动的时间是f 秒（f 0）（1）若点E 在 y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点尸运动过程中，设 OE=a,O F=b,试用含a 的代数式表示从（3）作点尸关于点M 的对称点尸，经过M、E 和尸三点的抛物线的对称轴交x 轴于点,连接Q E.在点尸运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、0、E 为顶点的三角形与以点P、例、尸为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出f 的值；若不存在，请说明理由.【分析】：（1）连接P

6、M,P N,运用PMP也证明，/T（2）分两种情况当f l 时，点后在轴的负半轴上，0在1时，点 E 在y 轴的正半轴或原点上，再 根 据（1）求解，一（3）分两种情况，当 1 /2 时，三角形相似时还各有两 /种情况，根据比例式求出时间八【解答】：证明：（1）如图，连接PM,PN,.（DP与 x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N,C.PM LM F,P N 1 0 N 且 PM=PN,：.ZPM F=NPNE=9 Q 旦/NPM=9 0,=PEA.PF,NNPE=NM PF=9 0 -NM PE,/NPE=NMPF在PMF和2可 中，2时，：F(1+r,0),F和尸关于点M对称，：.F(1-

7、r,0)经过M、E和斤三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,：.Q(1-It,0)：.O Q -1,由(1)得 APMFgAPNE；.NE=MF=t,：.OEt-1当O E Q sM P F.空 第.t -1=2-,无解,MP MF 1 t当OEQSM F P时，O L O Q,-l z l=2-解得，r=2&,MF MP t 1所以当片1+五 工4近,仁2土 扬f,使得以点Q、。、E为顶点的三角形与以点尸、用、尸为顶点的三角形相似.【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系.【题3】(年四川省绵阳市第2 4题)如 图1,矩形A B C Q

8、中，A B=4,AD=3,把矩形沿直线A C折叠，使点B落在点E处，A E交C D于点、F,连接。E.(1)求证：力E C四E D 4；(2)求D F的值；(3)如图2,若P为线段E C上一动点，过点尸作人(7的内接矩形，使其定点Q落在线段A E上，定点M、N落在线段A C上，当线段P E的长为何值时，矩形P Q M N的面积最大？并求出其最大值.【考点】：四边形综合题.【分析】：(1)由矩形的性质可知A O C丝 C E 4,得出A Z)=C E,D C=EA,Z A C D=Z C A E,从而求得O E C 四(2)根据勾股定理即可求得.(3)有矩形P Q M N的性质得产。C 4,所

9、以 居 里，从而求得尸。，由PN EG,得 出 里 里1求得C E C A C E E GP N,然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得.【解答】：(1)证明：由 矩 形 的 性 质 可 知 丝C E 4,：.AD=CE,D C=EA,ZACD=ZCAE,在A A D E与A C E D中 A D=C E D E=E D,D C=E A:.AD EC必ED A(S S S)；(2)解:如图 1,V ZACD=ZCAE,：.AF=CF,设。F=x,则 AGCFM -x,在 RTZA 尸中，A E T+D A F1,即 32+X2=(4-x)之，解得；x=l,8即 DF=1.8(3)解：如图2

10、,由矩形PQMN的性质得PQC4-P E _ P Q,C E=C A又 CE=3,A C=5 设 PE=x(0 x 3),则&M，即 P。=至丫3 5 3过 E 作 E G V A C 于 G,则 PN/EG,；C P,P NCE EG(又：在 R 4 E C 中，E GAC=AEC E,解得E G*5.3-K聿,即 PN=9(3-x)3 1 2 55设矩形PQMN的面积为S2贝 I S=PQPN=-&2+4x=-(x-W)+3(0 xV 3)3 5 2所以当x=E 即 PE=寸，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3.2 2 【点评】：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分

11、线段成比例定理.【题 4】(年浙江绍兴第25题)如图，在平面直角坐标系中，直线/平行x 轴，交 y 轴于点A,第一象限内的点8 在/上，连结。3,动点P 满足/APQ=90。，PQ 交x 轴于点C.(1)当动点P 与点8 重合时，若点B 的坐标是(2,1),求以的长.(2)当动点P 在线段。8 的延长线上时，若点A 的纵坐标与点B 的横坐标相等，求 以：PC 的值.(3)当动点尸在直线0 B 上时，点。是直线0 B 与直线CA的交点，点 E 是直线C P与y 轴的交点，若ZACE=ZAEC,P D=2 0 D,求 BA：PC 的值.【考点】：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质

12、：等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质.【专题工 压轴题.【分析】：（1）易得点P的坐标是（2,1）,即可得到血的长.（2）易证N A O B=4 5。，由角平分线的性质可得%=P C,然后通过证明 A N P gA.CMP即可求出 附：PC的值.（3）可分点尸在线段0B的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论.易证出：PC=PN：P M,设O A=x,只需用含x的代数式表示出P N、PM的长，即可求出B 4：PC的值.【解答】：解：（1）,点P与点B重合，点 8的坐标是（2,1）,.点P的坐标是（2,1）.PA的长为2.（2）过点2

13、作/5，轴，垂 足 为 过 点 尸 作 P N，），轴，垂足为M 如 图 1 所示.点A的纵坐标与点B的横坐标相等，：.OA=AB.,：ZOAB=9 0,：.ZAOB=ZABO=4 5.,：ZAOC=9 0,：.N P O C=4 5。.：P M _L x 轴，P N _L y 轴，PM=PN,Z A N P=Z CM P=9 0.：.NNPM=9 0.ZAPC=9 0.：.NAPN=9 0 0 -Z A P M=Z C P M.在?1 可 2和 C M P 中，：N A P N=N C P M,PN=PM,N A N P=N C M P,：.A A N P A C M P.PA=PC.：.P

14、A：PC 的值为 1：1.(3)若点P在线段0 8的延长线上，过点P作尸轴，垂足为M,过点P作PN_Ly轴，垂足为M与直线AC的交点为凡 如图2所示.V ZAPN=ZCPM,NANP=NCMP,.A N PsaC M P.P A _ P N一.P C-P M,/ZACE=ZAEC,：.AC=AE.VAPPC,：.EP=CP.PMy轴，：.AF=CF9 0M=CM.工FM=loA.2设 0A=x99：PF/OA,:PDFSRODA.P F P D O A=O DY PD=20D,：.PF=2OA=2xf FM=XK.2 PM:球.2V ZAPC=90,AF=CF,：.AC=2PF=4x./NA0

15、090。，*.oc=VT.N PNO=N N0M=N 0MP=9。,四边形PMON是矩形.:PN=OM=痣2：.PAz PC=PN：PM-痣 旦a运2 2 5若点尸在线段O B的反向延长线上,过点P作轴，垂足为M,过点P作 P N L y 轴，垂足为N,PM与直线AC的交点为F,如图3 所示.同理可得：PM=x,C 4=2 P F=4 x,OC=m.22 2 _.PA：PC=PN：鼠名 A 运2 2 3综上所述：PA：PC的值为Y 运 或 退.5 3【点评】：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、

16、勾股定理等知识，综合性非常强.【题 5】(无锡第2 8 题)如 图 1,已知点A (2,0),B(0,4),NAOB的平分线交AB于 C,一动点P从 O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿 y 轴向点3作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作尸、。关于直线OC的对称点M、N.设尸运动的时间为f (0 V/V 2)秒.(1)求 C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标(用含f 的代数式表示)；(2)设与。48重叠部分的面积为S.试求S 关于f 的函数关系式；在图2的直角坐标系中，画出S 关于f 的函数图象，并回答：S 是否有最大值？若有，写出S 的最大值;若没有，请说明理由.【考点】：相似

17、形综合题【分析】：(1)如答图1,作辅助线，由比例式求出点。的坐标；(2)所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论.答图2-1,答图2-2 表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解;【解答】:画出函数图象，由两段抛物线构成.观察图象，可知当仁1 时，S有最大值.解：(1)如答图1,过 点 C 作 C FLx轴于点F,CELy轴于点E,由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x.；CEx 轴，.至 g,即自二2 二，解得49.OB 0A 4 2 3.C点坐 标 为(4；3 3.PQ/AB,.OP 0Q,即 OP _ 0Q,丽荻、石下，.0P=20Q.V P(0,2力,：.Q(r,

18、0).对称轴OC为第一象限的角平分线，对称点坐标为：M(23 0),N(0,t).SCMN=S 四边形 CMON-SOMN-(SacO/w+SacON)-SAOMN-2 3 2 3 2=-*+2%当 l fV 2 时，如答图2-2 所示，点 M在。A的延长线上，设 MN与 AB交于点D则重叠部分面积为SACDN.设直线MN的解析式为产区+人 将 M ，0)、N(0,r)代入得 2tk+b=I b=t解得4k=-l3b=ty=-x+t2同理求得直线A B的解析式为：y=-2 x+4.联立y=-ir+r与）=-2 x+4,求得点D的横坐标为_ 2SACDN=SABDN-SABCN=1 (4 -f)

19、8-2 t-1 (4 -r)x J2 3 2J?-2 t+.3 33综上所述，s=-t2+2t(0 t l)t2-2 t+1 (l t 2,-2&=&+%.2 x+2 2：.D (x,4+k),代入抛物线解析式产X (x+2)(x-4),2-8得上(x+2)(x -4)=耳+鼠 整理得：f -6 x -1 6=0,8 2解得：户8或x=2 (与点A重合，舍去)，：.P(8,5 k).：A B C s AP B,.空1，明 必 瓦1 6四 研 6 4 2 5 k 2+1 0 0解得：上 延.5若 ABCs/M BP,则有N A B C=N%8,如答图2-2所示.与同理，可求得：k=yf 2-综上

20、所述，仁 延 或 上&5(3)由(1)知：D(-5,3 ),如答图 2-2,过点。作 Z)N，x 轴于点 M 则 W=3 j&ON=5,BN=4+5=9,：.tan/8 A=也 士 叵 立，ZD BA=3O.过点 D 作 OKx 轴，则 N KOK=N OBA=3 0.过点F作FG D K于点G,则FG=%F.2由题意，动点M运动的路径为折线AF+OF,运动时间：f=AF+OF,2.t=AF+FG,即运动时间等于折线AF+FG的长度.由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点4作于点H,则IM QAH,A H与直线8。的交点，即为所求之F点.：A点横坐标为-2

21、,直线B Q解析式为：-=-返+延，3 3争（一 2）+警2仃：.F（-2,2我）.综上所述，当点F坐 标 为（-2,2、右）时，点M在整个运动过程中用时最少.【点评】：本题是二次函数压轴题，难 度 很 大.第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数%增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中,运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会.【题9】（黄冈第2 5题）己知：如图，在四边形OAB C中，AB/OC,8 C_ Lx轴于点C,A（l,-1）,8（3,-I）,动点P从点。出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作 尸。垂直于直线0

22、A,垂足为点Q，设点尸移动的时间r秒（0 f 2）,O P Q与四边形0 A 8 C重叠部分的面积为S.（1）求经过0、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含f的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将 0 P Q绕着点P按逆时针方向旋转9 0。，是否存在f,使得 O P Q的顶点。或顶点。在抛物线上？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与f的函数关系式.【考点】：二次函数综合题.【专题】：压轴题.【分析】：（1）设抛物线解析式为），=2+公（4翔），然后把点A、B的坐标代入求出4、的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；（

23、2）根据点P的速度求出O P,即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出N A O C=4 5。,然后判断出 P O Q是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可;（3）根据旋转的性质求出点0、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；（4）求出点。与点A重合时的仁1,点尸与点C重合时的匚1.5,仁2时尸。经过点8,然后分0也1时，重叠部分的面积等于 P O Q的面积，K W 1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，1.5 f 2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解.【解答】：解：(1)设 抛 物 线 解 析 式

24、 为+瓜(“翔)，把点 A (1,-1),B(3,-1)代入得，a+b=一1 9a+3b=-1 抛物线解析式为y=lr2-3 3y=Xx2-x=(x -2)2-,3 3 3 3，顶点M 的坐标为(2,-W)；3(2).点P从点。出发速度是每秒2 个单位长度，A 0 P=2 t,.点P的坐标为(2f,0),V A (b -1),ZAOC=4 5,点。到 x轴、y轴的距离都是工O P=L 2U 32 2二点。的坐标为(f,-r)；(3);O P。绕着点尸按逆时针方向旋转9 0。，.旋转后点0、。的对应点的坐标分别为(2r,-2 t),(3r,-f),若顶点。在抛物线上，则L(2r)2-久(2r)=

25、-2 t,33解得t=l,2若顶点。在抛物线上，则L(3 f)2-久(3f)=-t,33解得r=l,综上所述，存在片工或1,使得 O P Q 的顶点0或顶点。在抛物线上;2(4)点。与点 A 重合时，。尸=1 x 2=2,z=2+2=l,点户与点C重合时，0 P=3,r=3+2=1.5,b 2 时，OP=2x2=4,P C=4-3=1,此时尸Q 经过点8,所以，分三种情况讨论：0芯1时，S=L (2/)X匹上，2 2 1耳 1.5 时，S=L (2力 x2t-lx (后-&)2=2 t-1 ；2 2 2 1.572 时，S=L (2+3)xl-lx l-(2r-3)2=-2(?-2)2+32

26、2 22(0 t l)所以，S与r的关系式为S=2 t 7(l t C,CB 上移动时，连接A E和。尸交于点P,由于点E,F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图.若A Q=2,试求出线段C P 的最小值.E【分析】：(1)AE D F,A E 1 D F.先证得 AD E g/X D C E由全等三角形的性质得4 E=D凡ND AE=N C D F,再由等角的余角相等可得AELQF；(2)是.四边形 A BCD 是正方形，所以 A ZXOC,ZAD E=ZD CF=9 0 ,D E=C F,所以ADE0 ZZ)CF,于是 A E=OF,N D A E=/C D F,因

27、为NC/+/A F=90,Z D AE+ZAD F=9 0 ,所以 A E_LD尸；(3)成 立.由(1)同理可证A E=OF,Z D A E=Z C D F,延长F。交AE于点G,再由等角的余角相等可得 A E_LZ)产：(4)由于点P在运动中保持/4 P0=9O。，所以点P的路径是一段以4D为直径的弧，设4。的中点为0,连接0C交弧于点P,此时CP的长度最小，再由勾股定理可得0C的长，再求CP即可.【解答】解：(1)A E=Z)F,A E L DF.理由：,四边形A BCO是正方形，：.AD=D C,ZAD C=ZC=9 0.:D E=CF,：./XAD E D CF.：.AE=D F,Z

28、 D A E=Z C D F,由于NCDF+NA OF=90,A ZD AE+ZAD F=9 0 .：.AE D F；(2)是；(3)成立.理由：由(1)同理可证A E=。凡 Z D A E Z C D F延长尸。交AE于点G,则 NCDF+NA G=90,ZAD G+ZD AE=9 0 .AAE ID F；(4)如图：由于点P在运动中保持NA PZX90。，点P的路径是一段以A D为直径的弧，设AO的中点为0,连接0C交弧于点P,此时CP的长度最小,在 RtODC 中，O C=VCD2+0D2=722+12=V5,:.CP=OC-0P=4s 1.【点评】：本题主要考查了四边形的综合知识.综合

29、性较强，特别是第(4)题要认真分析.【题2】(温州第2 4题)如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从8出发，沿射线8 0方向以每秒2个单位的速度运动，以CP,C。为 令B边构造呼C O D,在线段O P延长线上取点E,使P E=A。，设点P运动的时间为，秒.(1)当点C运动到线段。8的中点时，求r的值及点E的坐标.(2)当点C在线段O B上时，求证：四边形A O E C为平行四边形.(3)在线段P E上取点凡 使P F=1,过点尸作M M L P E,截取FAf=2,FN=l,且点M,N分别在

30、一，四象限，在运动过程中o P C。的面积为S.当点M,N中有一点落在四边形A Q E C的边上时，求出所有满足条件的，的值；若点M,N中恰好只有一个点落在四边形A O E C的内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围.【考点】：四边形综合题.【分析】：(1)由C是0 B的中点求出时间，再求出点E的坐标，(2)连 接 交0 P于点G,由 口P C O D的对角线相等，求四边形A O E C是平行四边形.(3)当点C在B 0上时，第一种情况，当点M在C E边上时，由 E M Fs/X E CO求解，第二种情况，当点N在。E边上时，由求解，当点C在8。的延长线上时，第一种情况，当点M在 边 上

31、时，由EMFS/EQP求解,第二种情况，当点N在C E边上时，由 E FN s/X E O C求解，当 寸 和 当8 华5时，分别求出S 的取值范围，4 2【解答】：解：(1)-：OB=6,C是。8的中点，：.BC1JOB=3,2/.2f=3 即,2.OE=W+3=2,E a 0)2 2 2：.AG=EG,四边形A OEC是平行四边形.(3)(I)当点C 在 8。上时，第一种情况：如图，当点M 在 CE边上时,:./EM Fs4EC0,.MF-EF 即 2 2CO E0 6-2t 3+t第二种情况：当点N 在。E 边CNF/PD,:.EFNs EPD,.PhLEF 1-2 PD EF6-2t.

32、,_94(II)当点C在BO的延长线上时;第一种情况：当点M在Q E边上时,JM F/PD,:.E M F s 丛 ED P,MF-EF pn 2 _2DP EP 2 t-6 3.NF/OC,：./EFN/EOC,FN_EFmj 1 _ 2,记 育 2 t-6 3+t：.t=5.2 Z sw9或&v S20.8 2 2当1勺 珈，4S=t(6 -2 r)=-2 (t-W)2+g,2 2.片 多 范 围 内，2 4.2s28 2当9匹5 时，S=t(2/-6)=2 (z-J)2-22 2 2/.2Z5,动点尸从点O出发，以近个单位/秒的速度沿。82 5方向运动，1秒后，动 点。从O出发，以2个单

33、位/秒的速度沿折线O-A -8方向运动，设点P运动时间为/秒(0/6),是否存在实数/,使得以P、0、B为顶点的三角形与 AO O相似？若存在，求出相应的f值；若不存在，请说明理由.【考点】：二次函数综合题.【分析工(1)求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2)首先求得菱形的面积，即可求得多的范围，当S 1取得最大值时即可求得直线的解析式，则 的值的范围即可求得；(3)分 当1 /BC=20,：.SI|交于点E(,n).2过点。作O N _ L M E,点N为垂足，若 O N 二 匹,由MNOSAO GB,得O M=5,Ay=2x -5,y=2x -5

34、由，5 ，解得：y=0,即E的坐标是(至，0).2.与O B平行且到O B的距离是在的直线有两条.，由对称性可得另一条直线的解析式是：产2x+5.则 的 坐 标 是(2 1 0).2由题意得得，的取值范围是：0S W1 0且#5.(3)如图2,动点P、。按题意运动时，当 l r 3.5 时，0尸=渔，BP=2底-立t,0 Q=2 G-1),55连接Q P,当QPJ_OP时，有 里=,OQ V 5：.PQ=-(L 1),若 里 工 则 有 里 奥，P B 2 P B 0A又；NQ PB=/D 0 A=9 Q ,：.X B P Q s 丛 A O D，此时，PB=2 P Q,即 2代 一(f-1)

35、,5 V 51 0-仁8(r-1),*./=2；当 3.5SS6 时，QB=10-2(r-1)=12-2 t,连接。尸.若 Q PLBP,贝 IJ 有 NPBQ=NOO4,又.NQPB=/AO)=90,:.BPQ slXD OA,此时，PBf P B,即 12-2 r=V s(2娓-渔)，12-2/=10-t,5二六2(不合题意，舍去).若 QPJ_BQ,则BPQS/D 4 0,止 匕 时，PB=-/SBQ,即 2代-再依(12-2Z),2-U 1 2-2 1,55解得：仁 日9则t的值为2或里.9【点评】：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求

36、有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.【题4】(武汉第2 4题)如图，R f Z 4 BC中，ZACB=9 0,AC=6c r o,BC ctn,动点P从点8出发,在B A边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点。从点C出发，在C B边上以每秒4 c m的速度向点3匀速运动，运动时间为f秒(0r=8,将矩形ABC。折叠，使得顶点8落在C。边上的P点处.(1)如 图1,已知折痕与边8 C交于点0,连结AP、O P、0 A.求证：0CPSPD4；若A O C P与 的 面 积 比 为1：4,求边A B的长；(2)若 图1中的点P恰好是C O边的中点，求N O 4 B的度数；(3)如图

37、2,在(1)的 条 件 下；擦去折痕A 0、线段0尸，连结8 P.动点M在线段A P上(点M与 点P、A不重合)，动点N在线段A 8的延长线上，且BN=PM,连结MN交P B于点F,作M E B P于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段E P的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.【考点】：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值.【专题】：综合题；动点型；探究型.【分析】：(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出P C长以及A P与0 P的关系，然 后 在 放

38、 中 运 用 勾 股 定 理 求 出0 P长，从而求出A B长.(2)S i DP=1DC=1AB=1AP&ZD=9 0 ,利 用 三 角 函 数 即 可 求 出 的 度 数，进而求出2 2 2N 0 A 8的度数.(3)由边相等常常联想到全等，但B N与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是P B 的一半，只需求出P B 长就可以求出E F 长.【解答】：解：(1)如图1,；四边形 A 8 C C 是矩形，：.AD=BC,DC=AB,NDAB=NB=N C=ND=90。.由折叠可得：AP=AB,PO=B

39、O,ZPAO=ZBAO.ZAPO=ZB.：.ZAPO=90.：.NA P D=9 0 -ZCPO=ZPOC.V ZD=ZC,ZAPD=ZPOC.：./OCP/PDA.:OC P 与 P D A 的面积比为1：4,.OC _ OP _ C P _ /1=1百 瓦5r七2-：.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.：A Q=8,：.CP=4,8 c=8.设 OP=x,则 OB=x,C 0=8 -x.在 Rt/PCO 中，V Z C=9 0,C P=4,OP=x,C O=8-x,/.x2=(8 -x)2+42.解得：x=5.：.AB=AP=2OP=l0.边A B 的长为1 0.(2)如图1,:是

40、C D 边的中点，:.DP=1DC.2：DC=AB,AB=AP,:.DP=1AP.2V Z D=9 0,：.sinZ D A P=kA P 2ZDAP=30.V ZDAB=90,APAO=ZBAO,ND 4 P=3 0,，/048=30。.：.ZOAB的度数为30.（3）*MQA N,交PB于点Q,如图2.AP=AB,MQ/AN,：.ZAPB=ZABP,ZABP=ZMQP.：.ZAPB=ZMQP.：.MP=MQ.：MP=MQ,MEVPQ,：.PE=EQ=hQ.,:BN=PM,MP=MQ,:.BN=QM.,JMQ/AN,：.AQMF=ABNF.在MFQ和由 中，ZQMF=ZBNF ZQ FM=Z

41、BFN-QM=BN:.丛 MFQQ 丛 NFB.：.QF=BF.：.QF=2B.EF=EQ+QF=1PQ+1QB=1PB.2 2 2由（1）中的结论可得：PC=4,BC=8,ZC=90.正+产 石：.EF=%B=2 近.2.在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2旗.【点评】：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键.【题6】昆明笫2 3题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =。X2+/3(。#0

42、)与 轴交于点4(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段A B上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点。从8点出发，在线 段B C上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当 P B Q存在时，求运动多少秒使 P B Q的面积最大，最多面积是多少？(3)当尸8。的面积最大时，在B C下方的抛物线上存在点K,使SA C B K：SA P B Q=5:2,求K点坐标.【分析1【考点】:(2考查动点与二次函数最值问题：先写出S与，的函数关系式，再确定函数最值;(3)存在所求的K点，由(2)可求出口A C

43、B K的面积，再把A C B K分成两个三角形进行面积运算.【解答】：解：(1)将A (-2,0)、8 (4,0)两点坐标分别代入y =a d +bx-3(a 0),4以一2 Z?3 =0即41 G z+4人 一 3 =0，解得:,3b I 4抛物线的解析式为:3 2 3 .y=x x-3-8 4（2）设运动时间为f秒，由题意可知：0 r 0）.求点M的运动时间t与A A P H的面积S的函数关系式，并求出S的最大值.X=1【分析】：(1)根据抛物线产以2+法-4与 X轴交于点A (-2,0),直线A l 是该抛物线的对称轴，得至I 4 a-2b -4=0方程组|b ，解方程组即可求出抛物线的

44、解析式；-=2a(2)由于点M 到达抛物线的对称轴时需要3 秒，所以也3,又当点M 到达原点时需要2 秒，且此时点”立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：当()区2 时 一，由AMPSAOC,得出比例式，求出PM,AH,根据三角形的面积公式求出即可；当2注3时，过点尸作P MLx轴于M,P F Ly轴 于 点 凡 表 示出三角形A PH的面积，利用配方法求出最值即可.【解答】解：(1)抛物线产a?+bx-4 与x 轴交于点4 (-2,0),直线4 1 是该抛物线的对称轴，4 a-2b-4=0 f 二J b，解得：，抛物线的解析式是：y=lr2-x-4,、2a 1 b=-1 2(2)分两种情况：当

45、 0 也2 时，JPM/OC,.AMPs/vioc,.,艮J ,二 PM=2t.O C AO 4 2解方程 2_工-4=0,得 X=-2,必=4,2VA (-2,0),：.B(4,0),：.AB4-(-2)=6.：AH=AB-BH=6-t,：.S=PMAH=lx2t(6-r)=-r+6r=-(r-3)2+9,2 2当仁2 时 S 的最大值为8；当2也3时，过 点 尸 作 轴 于 M,作尸/_Ly轴于点尸，则 COBs/CFP,又8=013,：.FP=FC=t-2,PM=4-(r-2)=6-r,A”=4+(r-2)=昌+1,2 2：.S=PMAH=1(6-f)(2+1)=-多+4 f+3=(r-

46、J)2+空2 2 2 4 4 3 3当匚身寸，S最大值为匙.3 3,-t2+6 t(0t 2)综上所述，点 M 的运动时间/与APQ面积S的函数关系式是S=Q o/,S的最-t2+4 t+3 (2t 3)大值为世.3【点评】：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.三、几何图形运动问题【题1】(苏州第28题)如图，已知。与 3，2都相切，。的半径为20篦，矩形A BCQ的边A D、AB分 别 与，2重合，AB=4匹m,AD=4 cm,若。与矩形A 8C。沿乙同时

47、向右移动，。的移动速度为3 c7”，矩形A BC。的移动速度为4 cm/s,设移动时间为f(s)(1)如图，连接OA、A C,则N。4c的 度 数 为1 0 5。:(2)如图，两个图形移动一段时间后，。到达。0 1的位置，矩形A BCQ到达AB iG Q的位置，此时点O”A”G恰好在同一直线上，求圆心。移动的距离(即0 0 1的长)；(3)在移动过程中，圆心。到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(c 7 ),当 2时，求，的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).【考点工 圆的综合题.【分析】：(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出NOA D=4 5。，N

48、D 4 c=60。，进而得出答案；(2)首先得出，/G AQ i=6 0。，再利用A|E=A 4 i-。0|-2=L 2,求出/的值，进而得出。产3得出答案即可；(3)当直线AC与。第一次相切时，设移动时间为小 当直线AC与。第二次相切时，设移动时间为殳，分别求出即可.【解答1 解：V Z.X fe,。与 人,4都相切,：.ZOAD=4 5,A B=4 f cm,AD=4 cm,:.CD=4，:m,AD=4 cm,tanXD AC=至 正 如,AD 4，ZD AC=6 0,.,.NOA C 的度数为：ZOAD+ZD AC=0 5 ,故答案为：1 0 5；(2)如图位置二，当O”4,G恰好在同一

49、直线上时，设。与/i的切点为E，连 接O i E,可得。上=2,O i E L i，在用 4 Q i G 中，；4。=4,Ci D i=4如,：.tanACAD x=-4 z A Z C1A1D,=6 0 ,在用A O i E 中，N O p 4|E=/G 4)i=6 0,4 E=冬 叵t a n 6 0 3*：Ai E=AA-0。|-2=r-2,：.t-2=.2/,3屋 返+2,3O O i=3/=2 5/3+6；(3)当直线AC与。第一次相切时，设移动时间为小如图，此时。移动到。2的位置，矩形A8CD移动到4 282c2。2的位置，设。2与 直 线A 2c2分别相切于点F,G,连接。2/，

50、02G,0 2A 2，：.O2F-Lh，O2G 1 A2G2,由（2）得，Z C2A2D2=6 0%：.ZG A2F=2 0 ,：.N O 2 A 2尸 =6 0 ,在放/VUOz尸中，0，F=2,：.A F=H,3：0 0,=3 f,A F=A A,+A,尸=4+/,_ _ 3.4 f|+.2亚-3 fl=2,3 _.=2 -3当直线A C与。第二次相切时.，设移动时间为t2,记第一次相切时为位置一，点0 1,4,G共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，.2 V +2 ,（2 -2V s）=打-（冬 区2）,3 3 3解得：益=2