华罗庚学校数学课本六年级下册.pdf

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1、华罗庚学校数学课本（六年级修订版）下册第一讲列方程解应用题第二讲关于取整计算第三讲最短路线问题第四讲奇妙的方格表第五讲巧求面积第六讲最大与最小问题第七讲整数的分拆第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题第九讲从算术到代数（一）第十讲从算术到代数（二）第十一讲综合题选讲（一）第十 二 讲 综合题选讲（二）第十 三 讲 速算与巧算第十四讲关于空间想象力的综合训练题第一讲列方程解应用题这一讲学习列方程解应用题.例 1 甲乙两个数，甲数除以乙数商2余1 7.乙数的1 0倍除以甲数商3余4 5.求甲、乙二数.分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数X商+余数.如果设乙数为X,则根据甲数除以乙数商2余1 7

2、,得甲数=2 x+1 7.又根据乙数的1 0倍除以甲数商3余4 5得1 0 x=3 （2 x+1 7）+4 5,列出方程.解：设乙数为x,则甲数为2 x+1 7.1 0 x=3 （2 x+1 7）+4 51 0 x=6 x+5 1+4 54 x=9 6x=2 42 x+1 7=2 X2 4+1 7=6 5.答：甲数是6 5,乙数是2 4.例2电扇厂计划2 0天生产电扇1 6 0 0台.生产5天后，由于改进技术，效率提高25%,完成计划还要多少天？思路1：分析 依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）.原有的工效：1 6

3、0 0 4-2 0=8 0 （台），提高后的工效：8 0 X （1+2 5%）=1 0 0（台）.时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x所需的天数=剩下台数.解：设完成计划还需x天.1 6 0 0 4-2 0 X（1+2 5%）Xx=1 6 0 0-1 6 0 0 4-2 0 X58 0 X1.2 5 x=1 6 0 0-4 0 01 0 0 x=1 2 0 0 x=1 2.答：完成计划还需1 2 天.思路2：分 析“思路1”是从具体数量入手列出方程的.还可以从“率”入手列方程.已知“效率提高2 5%”是指比原效率提高2 5%.把原来效率看成单 位“

4、1”，原计划2 0 天完成，每天完成总数的，5 天完成9,剩下的台数则占总数的1-5 =：.解：设完成计划还要x 天./X (1 +2 5%)Xx=l-X 51 3X 1 6 4x=1 2.答：完成计划还需1 2 天.例 3有一项工程，由甲单独做，需 1 2 天完成，丙单独做需2 0 天完成.甲、乙、丙合作，需 5 天完成.如果这项工程由乙单独做，需几天完成？分析如果把全部工程看作单位“1”，则甲每天完成白，丙每天完成!.若乙单独做完成这件工程用x天，则乙每天完成二，甲、乙、丙合作一天完成(2+工+士)，他们合作5 天完成这项工程的(得+1+1 2 x 2 0 1 2 x)X 5.于是我们找到

5、等量关系(1+1 +5)X 5=l,即工作总量=2 0 1 2 x 2 0工作总量.解：设乙单独做，需X 天完成这项工程.z1 1 1、(+)X 5=11 2 x 2 01 1 1 1 H-F =-1 2 X 2 0 56 0 ,5+3=1 26 0 ,=4x=1 5.答：乙单独做这项工程需1 5天完成.例4中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有3 8 04 5 0人参赛.比赛结果全体学生的平均分为7 6分，男、女生平均分数分别为7 9分、7 1分.求男、女生至少各有多少人参赛？分析 若把男、女生人数分别设为x人和y人.依题意全体学生的平均分为7 6分，男、女生平均分数分别为7

6、 9分、7 1分，可以确定等量关系：男生平均分数X男生人数+女生平均分数X女生人数=（男生人数+女生人数）X总平均分数.解方程后可以确定男、女生人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而使问题得解.解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人.7 9 x+7 1 y=（x+y）X7 67 9 x+7 1 y =7 6 x+7 6 y3 x=5 y x：y=5：3总份数：5 +3=8.在3 8 0 4 5 0之间能被8整除的最小三位数是3 8 4,所以参加邀请赛学生至少有3 8 4人.男生：3 8 4 X|=2 4 0 （人）O3女生：3 8 4 X -=1 4 4 （人）.O

7、答：男生至少有2 4 0人参加，女生至少有1 4 4人参加.例5瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克.现在又分别倒入100克 和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为1 4%.已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度.分析 依题意,A种酒精浓度是B种酒精的2倍 设B种酒精浓度为x%,则A种酒精浓度为2x%.A种酒精溶液100克，因 此100 X2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数.B种酒精溶液400克，因此400Xx%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数.解：设B种酒精浓度为x%,则A种酒精的浓度为2x%.1000 x15%+100 x2x%+400 xx%1000+1

8、00+400=14%150+2x+4x1500=14%150+6x=14X156x=602x%=2X10%=20%.答：A种酒精的浓度为20%.例6有人用车把米从甲地运到乙地，装米的重车日行50里，空车日行70里，5日往返三次.问两地相距多少里？（选 自 九章算术）分 析 当你用算术法解这道题时会感到比较困难.但用方程解这一算术“难题”就容易多了.列方程解应用题的关键在于确定等量关系，确立等量关系还有一种常用的方法叫译式法，即把日常用语译成代数语言，通过列表可以看出列方程的过程.日常的语言代数的语言两地相距多少里X（里）重车从甲地到乙地需要时间X一（日）50空车从乙地到甲地需要时间X一（日）7

9、0往返一次需要的时间X X一一（日）50 705日往返3次X X(+)义3=550 70解：设两地相距X里.3 X (.+)=55 0 7 03 x 3 x-1-=55 0 7 02 1 x +1 5 x =1 7 5 03 6 x =1 7 5 0 x=4端答：甲乙两地相距482 里.l o例7设六位数l a b c d e乘以3以后变成a b c d e l,求六位数l a b c d e.分析与解答 设 五 位 数 赤 硒x,则l a b c d e =1 0 0 0 0 0 +xa b c d e l =1 O x +1依题意列方程：3 X (1 0 0 0 0 0+x)=1 0 x

10、+l3 0 0 0 0 0+3 x=1 0 x+l7 x=2 9 9 9 9 9x=4 2 8 5 7/.l a b c d e =1 4 2 8 5 7.例8兄弟二人三年后的年龄和是2 6岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的2倍.问，3年后兄弟二人各几岁？分析 设3年后哥哥年龄为x岁，弟弟年龄为(2 6-x)岁.则今年哥哥年龄为(x-3)岁，弟弟年龄为(2 6-X-3)岁，兄弟二人的年龄差是(x-3)-(2 6-X-3)岁.列方程的等量关系是：弟弟今年的年龄=兄弟二人年龄差的2倍.解：设3年后哥哥x岁，则弟弟3年后的年龄是(2 6-x)岁.(x-3)-(26-X-3)X2=26-x-3E

11、2x-26 X2=23-x4x-52=23-x5x=75x=1526-x=26T 5=ll答：3 年后哥哥年龄是15岁，弟弟11岁.习题一1.某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半少1人.三个车间各有多少人？2.甲,乙两个容器共有溶液2600克，从甲容器中取出：，从乙容器中取出;，两个容器共剩溶液2000克，求两个容器原来各有溶液多少克？3.25支铅笔分给甲、乙、丙三人.乙分到的比甲的一半多3 支，闪分到的比乙的一半多3 支.问：甲、乙、丙三人各分到儿支铅笔？4.甲、乙共有图书63册，乙、丙共有图书77册.三人中图书最多的人的书数

12、是图书最少的人的书数的2 倍.问：甲、乙、丙三人各有图书多少册？5.体育用品商店购进50个足球、40个篮球，共 3000元.零售时足球加价9%,篮球加价1 1%,全部卖出后获利润298元.问：每个足球、篮球进价各多少元？6.王虎用1元钱买了油菜籽、西红柿籽和萝卜籽共100包.油菜籽3 分钱一包，西红柿籽4 分钱一包，萝卜籽1分钱7 包.问王虎买进油菜籽、西红柿籽和萝卜籽各多少包？第二讲关于取整计算在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分.比 如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料 们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨

13、数收费把余量推至下一个月一起收.所以数学上引进了符号()，使我们的表述简明.a 表示不超过a的最大整数，称 为a的整数部分.f?i j：0 =0,0.0 3 =0,1 =2,1 0.2 5 =1 0,7 =7,1 =0.a 显然有以下性质：a 是整数；x W x；x V x +l；若 b e l,则 a+b (a)；若 b W l,则(a+b)W a +1.请你自己举些例子验证前三条性质.性质举例：a取2.7,则(a)=2.若 b=l.l,那 么(a+b)=(2.7+1.1)=3 2=(a).若 b=0.5,那 么 a+b =2.7+0.5 =(3.2)=3=(a)+1；若 b=0.1,那 么

14、 a+b =(2.8 =2 (a)+1.(a)还有许多性质.例：若n是整数，则有：(a+n)=(a)+n.与(a)相关的是数a的小数部分，我们用符号表示.例0 =0,0.0 3 =0.0 3,1 (1 0.2 5)=0.2 5,显然，a=(a)+a,而且 0 W a V l.下面我们应用取整符号（）解题.例 1 判断正误：若 2 x+3 （x）=1.则x=0.解：不正确.假 设 x=0,则:x =x.原式为：2 （x）+3 （x）=1,5 x =1,（x）=；,矛盾.例 2求 1-1 9 9 3 中可被2 或 3 或 5 整除的整数的个数.分析我们知道，自然数中不超过x 的n 的倍数的个数是（

15、上）.所以1n 1 9 9 3 中能被2、3、5 整除的数分别有（琴）=9 9 6 （个），（彳）=6 6 4 （个），（等1 9 9 3）=3 9 8 1 个）.但若把这三个数相加，作为答案就多了，因为有些数被重复计算了.例如6 及其倍数，既是2的倍数，又是3的倍数，被计算了两次.同理，重复计算两次的数还有1 0 及它的倍数和 1 5 步还要考虑3 0 及它的倍数，它们既是2、3 与 5的公倍数，也是 6、1 0 与 1 5 的公倍数.开始计算了三次，后来又减去了三次，所以要补上.解：合题意的数有：1 9 9 3,1 9 9 3,1 9 9 3,1 9 9 3,1 9 9 3,1 9 9 3

16、,1 9 9 3,L 2 3 5 6 J L 1 0 J L 1 5 3 0=2 0 5 8-6 6 3+6 6 =1 4 6 1 （个）.m例ic3+求 r 3 x 1:,I +,3 x 2、+1r3fx lT0的值.分 析 加法运算中常用高斯求和法简算.求x 的基本方法是根据定义x=x +x .要善于观察特殊值.解：舒+（彳2）是整数，（?+*=弛是整数,.-3x 1 3x 10 3x 1,3x 10,3x 1,3x 10、而 下+k=丁+干+丁 +寸,.*+*是整数，又因0 筌 1,0 答 1,0 2,在0至2之间的整数只有1.,3x 10+113x 1 同 理 答 3x 1()11+W

17、+号)+小=3-1=2.c ,3x 5.,3 x6、=2,，()+(),3 x 1 0、+=10.=2.例4求满足方程(x)+L2 x)=1 9的x的值.分析 解这道题的关键是由x=(x)+x 求2 x的整数部分和小数部分.解:因为 x=x +x ,则 2 x=2 x +2 x .(2 x)=2 x +2 x =2 x +2 x .因 0 WxV L，0 W 2 x V 2.现在对 x 分段来讨论：当0 4 (x):时，0 W 2 x 1,这 时 )=2 X,19原方程化为：3(x)=19,x l =,此时无解.当:x v l时，l4 2 x 2,这 时(2x)=2(x)+l,原方程化为：3x

18、+l=19,3x=18,;x=6.故满足原方程的X为大于或等于6且小于7的数，即6：4 x 7.说明：此题运用了适当分类讨论的数学思想.例 5 问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数？I2 22 19 9 3219 9 3,19 9 33,19 9 3】分 析 首先要考虑由已知条件我们能推出什么？I2 22 可 推 知 这 一 列 数 的 第 一 项(许)=0,第 二 项 会)=0,19 9 32一共有19 9 3个数，最后一项)=19 9 3.可推知这一列数不等于同一个数，但也不是互不相同.I2 22 19 9 32可推知这一列数是逐渐增大的，即 诉 诉 K 考 虑 利 用 公 式(a+b

19、)2=a2+2ab+b?分析项的变化.因 需E 短+得，根据性质4，9tr 4-1若 表 u l,则这列数的相邻两项有关系：k2 v k2 1 2k+l1993 1993+1993,若粕（许+不），即相邻两项或相等或是相邻自然数。关键在确定k.解：数列的第k项是 息,k=l、2,、1993 1993.9V+1由 F T】得2k+l1993,iyys也就是k996.9V+1这说明当k996时，/3L1 y y j1993-997+1=997（个）.而当kW996时 前 996项的相邻两项相等或差1.因知第一项 同的数.综上所述，这一列数共有997+498=1495个不同的数.例 6 设A=100

20、!=120M,其中M、n 均是自然数.则n 最大取多少？解:V12=22X3,而A中因数2有 rlOi+r-1J0-0,+,+,(,1-0j-0).=9y7 个人,乙 乙 乙A中因数3有 亍 I +(r 110-0,+(,1亍00、-+(f 1丁00.)=4m8 个人.A=248x2+I 348 k=2 (12)48 k=1248 M,其中12 PM.n最大取48.习题二1.在110000这一万个自然数中，有多少个数能够被5或7整除?S=?3.求 满 足 方 程（x）+2x=18的x的值.4.k是自然数，且1001 1002 -1985 1986口有以 小 曰,人 口-门-K-是整数，k的最大

21、值是多少？第三讲最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.这里还想指出

22、的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如,在 地 球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心0的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线.关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲.在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法.例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地 取 情 报.在 去B地

23、之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.作 点A关于河岸的对称点A，即 作A A 垂直于河岸，与河岸交于点C,且 使A C=A C,连 接A B交河岸于一点P,这 时P点就是饮马的最好位置，连 接P A,此 时P A+P B就是侦察员应选择的最短路线.证明：设河岸上还有异于P点的另一点P,连 接P A,P B,P A.V PZ A+P B=P A +P B A/B=P A +P B=P A+P B,而这里不等式P A +P B A B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以P A+P B

24、是最短路线.此例利用对称性把折线A P B化成了易求的另一条最短路线即直线段A B,所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上A点，爬到邻近的另一面墙壁B上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙B顺时针旋转9 0 （如下页右图），使它和含A点的墙a处在同一平面上，此 时B转过来的位置记为B ,B点的位置记为B,则A、B，之间最短路线应该是线段A B,设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折 线4P B就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线.证明：在墙棱上任取异于P点 的P 点，若沿折线A P B走

25、，也就是沿在墙转9 0 后的路线A P B 走都比直线段A P B 长，所以折线A P B是壁虎捕蛾的最短路线.由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线.例 3 长方体 A B CDA B C D 中，A B=4,A A=2 ,A D=1,有一只小虫从顶点D 出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见 图（1）(1)解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面

26、上，在这个“展开”后 的 平 面 上 球B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D 点出发，到B点共有六条路线供选择.从”点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上 页 图（2）,这时在这个平面上6、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形A B D的斜边,根据勾股定理，D B2=DZ A2+A B2=（1+2）2+42=2 5,：.D B=5.容易知道，从D 出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.从D，点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（上 页

27、 图（3）,有：D B2=22+（1+4）2=2 9.容易知道，从D 出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是2 9.从“点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D 、B两点间的最短路 线（见图），D B2=（2+4）2+1 2=3 7.容易知道，从 D 出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是3 7.比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从 标 点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上 页 图（2）,或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5 个单位长度.利用例2、例 3中

28、求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和 B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连 接 A、B成线段A P 1 P 2 B,P l、P 2 是线段A B 与两条侧棱线的交点，则折线A P 1 P 2 B就 是 A B 间的最短路线.圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线.因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例

29、题.例 4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图,如果将金线的起点固定在A 点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B 分别与A、B重合），连接A B,再将上页右图还原成上页左图的形状，则A B 在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.圆锥表面的最短路线也是-条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为A0的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.o解：将圆锥面沿母线A0剪开，展

30、开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A，、Bz分别与A、B重合），在扇形中连A B,则将扇形还原成圆锥之后，A B 所成的曲线为所求.例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口 C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B 点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F,使 D F=BD,即以直线CD为对称轴，作出点B 的对称点F,用 F 代 替 B,即可找出最短

31、路线了.解：将圆柱面展成平面图形（上图），延 长 BD到 F,使 DF=BD,即作点 B关于直线CD的对称点F,连 结 A F,交桶口沿线CD于 0.因为桶口沿线CD是 B、F 的对称轴，所 以 0 B=0 F,而 A、F 之间的最短线路是直线段A F,又 AF=A0+0F,那 么 A、B之间的最短距离就是A0+0 B,故蚂蚁应该在桶外爬到0 点后，转向桶内B 点爬去.延 长 AC到 E,使 CE=DF,易知4AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD,根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2=（12+8）2+好=625=252,解得 AF=25.即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.例 7

32、A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点,使 A、B两个村子之间路程最短.分 析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值.因此，从 A点作河岸的垂线，并在垂线上 取 AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找 出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决.解：如上图，过 A 点作河岸的垂线，在垂线上截取AC 的长为河宽，连结B C 交河岸于D点，作 D E 垂直于河岸，交对岸于E点，D、E 两点就是使两村行程最短

33、的架桥地点.即两村的最短路程是AE+E D+D B.例 8在河中有A、B 两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛,规则要求船从A 岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B 岛，最后回到A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B 关于甲岸线、乙岸线的对称点A 和 B,连结A，、B 分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A-E-F f B A 是最短路线，即最短路程为：AE+E F+F B+BA.证明：由对称性可知路线A f E-F-B 的长度恰等于线段A B 的长度.而从A 岛到甲岸，又到乙岸，再到B 岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A、B，之间的

34、折线，它们的长度都大于线段 A B,例如上图中用“-”表示的路线A-E -F -B的长度等于折线AE，F B 的长度，它大于A，B 的长度，所以A E Ff Bf A 是最短路线.习题三1 .如下图，E F 为一河流的河岸线，假设成一条直线，A、B 是河中两个小岛，有一只船经常从A 岛把水产运回岸上，再把食品等物运回B 岛，再由B 岛将水产运上岸上，最后由岸上将食品等物运回A 岛，问转运码头应设在何处，才能使运输船的航程最短.B2 .少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A 点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B 点.接着，离B 点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到C 点.问选

35、择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.墙B3.如 下 图，在河弯处M点有个观测站，观测员要从M点出，先 到AB岸，再 到CD岸，然后返回M点，问船应该走什么路线最短？4.如 下 图，A、B两个村子之间隔了两条河，两条河的宽度相同，为了使两个村子之间的行程最短，在这两条河上架桥的时候，应该把桥架在哪里？（两座桥分别垂直于两条河的河岸.）5 .如下图，在河的两岸共有三个小镇A、B、C.问应在河的什么位置架两座桥，使两岸人们来往路程最短？（两座桥都垂直于河岸.）6 .如下图是一张台球桌子，桌子上球A与 球B之间有其它球阻隔.现在要击A球，经桌边CD、CF两次反射再碰到B球，请你画出A球行走的最短

36、路线.O OB o 0OOOo ACD7 .如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点，一只小虫沿着正方体的表面从点A爬到点C,图中所示路线是否为小虫爬行的最短路线？8.如 下 图，A、E为长方体同一棱上的两个顶点，且AE=8,底面为边长 是2的正方形，B、C、D分别到底面距离为2、4、6,连 接AB、BC、CD、D E,则折线ABCD E为以A为起点，以E为终点绕棱柱侧面一周最短的路线,请说明理由.9.。的半径为8厘米，扇 形O A A，是。0的四分之一（下左图），把 扇 形O A A 卷成圆锥面（下右图）,取 母 线0 A中点B及A B中点M.从M拉-绳子，围绕圆锥面转到下底面A点（下

37、右图），试求此绳的最短长度.第四讲奇妙的方格表方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题.许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理.这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到.一、计数问题例1下图中共有多少个矩形?分 析 如果直接数，很容易遗漏或者重复.为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加.在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了.解 法 1：在已知的方格表中，“口”共 有 5X3=15个，“口”共有4X3=12个，“口口”共 有 3 X 3=9 个

38、，如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总数为90个.解 法 2：将各类矩形列出表来(如下页图)，分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：(1+2+3+4+5)X(3+2+1)=90 个.5X3 4X3 3X3 2X3 1X3 rm 5X2 4X2 3X2 2X2 1X2B m5X1 4X1 3X1 2X1 1X1例 2在上史的方格表中，共 有 几 个“士f 形(含 有 3 个小方格的拐，也可以是“田或“T或“田，)分析 不 妨 称“出 形 为 L形.容 易 看 出，在每个由4 个小方格组成的正方形中都含有4 个 L 形.因此为了求L 形的个数，只需先求“田”字形的

39、个数.解：在上页的方格表的第1、2 行中含 有“田”字 形 4 个，第 2、3行中也含4 个，共 有“田”字 形 8 个，每 个“田”字形对应4 个 L形，因此共有L形 4X8=32个.说明：计数最基本的方法是分类讨论.如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法.例2 中的计数方法利用了对应的思想.当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化成计算另一事物的个数，然后再研究这两 个数，可以先计算2 X 3 的矩形共有多少个，然后由每个2 义3的矩形中都 10X4=40个.在例1中计算矩形个数还有一些更高明的方法，这些方法将在中学里学到.8 X 8的方格表，结果如何？解：如图，在4 X 4的方

40、格表中放下3个L形，即不能再放下一个L形了.如果只放了两个L形，那么可以证明总还能再放下一个L形.因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形，而4 X 4的方格表中共有4个不相重叠的“田”字形，至少应盖住2X 4=8格后，才不再能放一个L形，如果只放了两个L形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L形.从以上两步，可以看出4 X 4的方格表中至少放上3个L形后，才能使这一表中不再能放下一个L形.在6 X 6的方格表中有9个不相重叠的“田”字形，每 个“田”字形至少盖住两格，才不再能放下一个L形，这样至少应盖住18格，也就是至少要放上6个L形.如右图，已放了 6个L形，确实已不能再放下一个L

41、形了，因此6个是最少的数目.T1-+1一 JL用同样的方法可以得到在8 X 8的方格表中至少放上11个L形后，就不再能放下一个L形了.二、染色方法染色方法实际上是一种分类方法，不过对有些问题来说，通过染色能使问题比较直观，解决起来更方便.例4如图是半张象棋盘，一只马能否从A处出发，跳遍半张象棋盘而使每个格点只经过一次？解：把半张象棋盘的格点（共45个）相间地涂上黑、白 两 色（黑色用“X”表示，如图共有22个黑点，23个白点.按照马走步的规则，每步走 日 字的对角线，不论马在何处也不论往哪个方向跳，起点和终点的颜色总是不同的.由于A处是黑格点，如果马从A处出发跳遍每个格点且每个格点只经过一次，

42、那么需经过21个黑点，23个白点，黑、白格点数相差2,故这样的走法是不可能的.例5正方体形的房子共分27个小房间，每相邻两个房间都有门相通（上、下两间也有门相通）.每个房间里都有一块奶酪，右下角的房间有一门通向外面.一只耗子从最中间的房间出发，想走遍各个房间，且每个房间只经过一次，最后从右下角出来，这样是可否能？如果可能，该怎么走？解：将27个小正方体相间染成黑、白两色（如图），共13个房黑间,14个白房间，中间房间是黑色.如果从中间房间出发，每个房间经过一次，共需经过12个 黑 房 间（除中间房间外）、14个白房间.但是与黑房间相邻的都是白房间，与白房间相邻的都是黑房间，路线只能是：黑一白一

43、黑一白这是不可能实现的.如果改从任一个（不是右下角的）白房间出发，就能达到目的.请自己设计路线.三、抽屉原理例6能否在8X 8的方格表的每个方格中写上0、1、2中的一个数，使每行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等？解：8行、8列及两条对角线共有18个和数，将 这18个和数作为“苹果”.8个 数（每个数是0、1、2中的一个）的和最小是0,最 大 是16,共 有17种不同的和，将 这17个不同的和作为“抽屉”.根据抽屉原理，必有一个“抽屉”中存在2 个或2 个以上的“苹果”，这就是说，在 1 8个和数中至少有2个相等，不可能都互不相等.例 7在 5 X 5 的方格表中，任意挖去一个方格后，是

44、否总能用8个土 形 完 全 盖 住？如果不能，请说明道理.解法1：如右图，将 5 X 5 的方格表挖去一格（阴影）后，剩下的2 4住 a 格，需要用一个L 形盖住a、d、e 或 a、b、c 三格，由于两边对称，不妨设盖住a、b、c 三格，这样，x 格就不可能被任何一个L 形盖住（否则就重叠了），所以这2 4 格不可能被完全盖住.解 法 2：如图，标上“X”的格共有9 个，如果挖去的一格不是标上“X”的格，那么剩下的2 4 格不可能被8 个 L 形盖住.这是因为任意两个“X ”格不可能被同一个L 形盖住，这 9个“X ”格若都能被盖住，至少需要9 个 L 形，因此不能用8 个 L形盖住剩下的2

45、4 格.说明：解法1 虽然很简单，但要想到这种解法，需要做多次试验（当挖去的一格在某些位置时，题目的要求是可以成立的）.解法2 实际上用了抽屉原理，“X”格看作“苹果”，8 个 L 形看成“抽屉”.用抽屉原理的关键是要设计好“抽屉”和“苹果”.四、分类、试验、递推、寻求规律例 8在 4 X 4 的方格表中任意挖去一格，是否总能用5 个“FH形羔住?对干8 X 8 或 1 6 X 1 6 的方格表，结论如何？分 析 对于4 X 4 的方格表，由挖去一格的位置不同，可分三种情况讨论.这种分类讨论的方法，对于4 X 4 的方格表来说，由于试验次数较少,还比较容易得到结论.但对于8 X 8 的方格表，

46、需要分1 0 种情况，分别去试验；对于1 6 X 1 6 的方格表，则需要分3 6 种情况.对于每种情况，由于表格较大，试验起来也很繁琐.如果运用数学上称为“递推”的方法，问题就简单得多了，不仅能轻易地解决8X8、16X16的方格表的问题，还能解决32X32、64X64、等方格表中的类似问题.解法1：对于4 X 4的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三种情况，每种情况都能运用5个L形盖住，因此在4 X 4的方格表中任意挖去一格，总能用5个L形盖住（如下图）.对于8 X 8及16X16的方格表，由于分类情况较多，这里从略.解法2：先考虑2 X 2的方格表，任意挖去一格，剩下3格总是恰好能用1个L

47、形盖住.对于4 X 4的方格表，挖去的一格总在某个角上的2 X 2小方格表内，不妨设在左上角，那么左上角的2 X 2小方格表中剩下3格能用1个L形盖住.在右上、右下、左下的3个2 X 2方格表中，先各挖去靠中间的一格（如图），剩下的各能用1个L形盖住，而挖去的3格也恰能用1个L形盖住.对于8 X 8的方格表，挖去的格总在某个角上的4 X 4方格表内，不妨设在左上角，那么左上角剩下的部分总能用5个L形盖住.在右上、右下、左下的3个4 X 4方格表中，先各挖去靠中央的一格（如右图），由上述结论，各4 X 4方格表中剩下部分总能分别用5个L形盖住.而挖去的3格也恰能用1个L形盖住，所以，8 X 8方

48、格表中任意挖去一格，总能用21个L形完全盖住.同样，对于16X16的方格表，任意挖去一格后，总可以用85个L形完全盖住.例9在 个6 X 6的方格表中，任 选5个方格涂黑，然后再逐步将凡是与两个或两个以上黑格相邻的方格涂黑，不断按这个法则做下去,证明：无论怎样选择最初的5个方格，都不可能按这样的法则将所有方格全部涂黑.(1)(2)分 析 先试验一下，在上图的方格表中选5格涂黑，然后按给定法则涂黑另一些格，直 到 上 图（4）,已无法再将其余的方格涂黑.如果改变最 初5格的位置，虽然最后涂黑的部分会不同，但都不能将所有方格全部涂黑.为了证明这一结论，如果将最初5格的不同位置一一列举出来，再逐个证

49、明，当然也是可以的（这种方法叫枚举法），不过过于繁琐.因此,应该在试验中寻求规律，不被表面现象迷惑.证明：考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度.设小方格的边长为1,则开始有5个黑格，黑色区域总长度不大于2 0.按照题设的涂黑法则，每格在涂黑前后，黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周界，当此格涂黑后，这两边已不再是边界，而另两边可能成为边界）.如果能将所有方格都涂黑，那么黑色边界的总长度应为2 4,由以上分析，这是不可能的，因此，无论怎样选择最初的5个方格，都不可能按照题设的法则将全部方格涂黑.习题四1 .在3 X 5的方格表中共有多少个正方形？共有多少个“土”形？2 .在

50、例5中，是否从任意一个（不是右下角的）白房间出发，都能走遍各个房间后从右下角出来？3 .在 例7中，如果挖去一个“X”格，剩下的方格表是否总能用8个L形完全盖住？4 .在 4X4的方格表中的任意5 个格中各放一枚棋子，是否总可选出 2行 2歹！J,使 这 5 个棋子都在这2行 2列中？如果放6个 棋 子（每个棋子占一格），结果如何？放 7 个棋子，结果如何？在 6X6的方格表中最多放几个棋子（每个棋子占一格），不论如何放，使得总能选出3行 3歹人使这些棋子都在这3行 3列中？5 .在 4X4的方格表中除一格写上“一”外，其余都写上“+”.现允许任选一行，或一列，或一条平行于对角线的斜线（特殊情