【课件】复数的几何意义+课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、复数的几何意义第七章 复 数学习目标1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.18世 纪，瑞 士 人 阿 甘 达(J.Argand,1768 1822)给 出 复 数 的 一 个几 何 解 释，他 注 意 到 负 数 是 正 数 的 一 个 扩 充，它 是 将 方 向 和 大 小结 合 起 来 得 出 的，他 的 思 路 是：能 否 利 用 增 添 某 种 新 的 概 念 来 扩充 实 数 系.在 使 人 们 接 受 复 数 方 面，高 斯 的 工 作 更 为 有 效.他

2、不 仅 将abi 表 示 为 复 平 面 上 的 一 点(a，b)，而 且 阐 述 了 复 数 的 几 何 加 法 和乘 法.使 人 们 对 复 数 不 再 有 种 神 秘 的 印 象.同 学 们，你 们 想 知 道 复 数的几何意义是什么吗？知识梳理在几何上，我们用什么来表示实数?类比实数的表示，可以用什么来表示复数？实数可以用数轴上的点来表示实 数 数轴上的点（形）（数）一一对应 0 4 5 7-3-3 45 7 0这些数值如何用数轴表示？知识梳理xyoZ(a，b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴实轴y轴虚轴复数平面(简称复平面)zabiba虚部b实部a（，）z abiab一个复数

3、由什么惟一确定？形成一对有序实数对1复数与复平面内点的关系问题提 示 复 数abi(a，bR)实 质 上 是 实 数 的 有 序 实数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应.有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？1知识梳理1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做，实轴上的点都表示；除了 外，虚轴上的点都表示.2.复数集C中的数和复平面内所有的点组成的集合是 的，即复数zabi 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.实轴虚轴 实数 原点纯虚数一一对应例 1在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点

4、：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在yx的图象上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m 8)(m23m 10)i 的实部为m22m 8，虚部为m23m 10.(1)由题意得m22m 80，解得m 2或m 4.反思感悟此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解.复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据.利用复数与点的对应关系解题的步骤找对应关系列出方程跟 踪 训 练 1求实数m分别取何值时，复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面内的

5、x轴上方；解点Z 在x 轴上方，m23m 20，解得m2.(2)在实轴负半轴上.解若复数z 的对应点Z 在实轴负半轴上，2复数与复平面内的向量的关系问题提 示 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，每 一 个 平 面 向 量 都 可 以 用 一 个有 序 实 数 对 来 表 示，而 有 序 实 数 对 与 复 数 是 一 一 对 应 的，这样就可以用平面向量来表示复数.能用平面向量表示复数吗？2知识梳理思考直角坐标系中的点Z(a，b)平面向量复数z abi一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a，b)zabi复数、向量、坐标系中的点有何联系？知识梳理如图所示，设复平面内的点Z表示复数zabi，连

6、接OZ，显然向量_由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 确定.唯一例 2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是23i,32i，23i，求点D对应的复数.解记O 为复平面的原点，故点D 对应的复数为32i.反思感悟 当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.复数与平面向量的对应关系3复数的模问题 能否类比定义复数的绝对值？实数绝对

7、值的几何意义是什么？zabi对应平面向量的模为复数zabi在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离xOzabiyZ(a，b)3知识梳理1.定义：向量 的模叫做复数zabi(a，bR)的模或绝对值.2.记法：复数zabi的模记作.3.公式：|z|abi|_.|z|或|abi|例 3(1)已知i为虚数单位，(1i)x2yi，其中x，yR，则|xyi|等于 解析由题意可得x xi 2yi，(2)设zC，且z在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.|z|2；解 方 法 一|z|2说 明 复 数z 在 复 平 面 内 对 应的 点Z 到 原 点 的 距 离 为2，这 样 的 点Z

8、 的 集 合 是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方 法 二 设z abi(a，bR)，由|z|2，得a2b24.故 点Z 对 应 的 集 合 是 以 原 点O 为 圆 心，2为半径的圆.1|z|2.不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.反思感悟 计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.设出复数的代数形

9、式，利用模的定义转化为实数问题求解.复数模的计算跟踪训练3(1)设复数z(x1)(x3)i，xR，则|z|的最小值为 解析z(x 1)(x 3)i，xR，解析由|z1|z2|，得x4x21(x2a)2.则(1 2a)x2(1 a2)0 对xR 恒成立.4共轭复数知识梳理1.定义：一般地当两个复数的实部，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做.2.表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果zabi(a，bR)，那么.相等 互为相反数共轭虚数abi例4 复数z34i的共轭复数对应的点在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限反思感悟 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.跟踪训练4(多选)下列说法正确的是 A.复数和其共轭复数都是成对出现的B.实数不存在共轭复数C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称D.复数和其共轭复数的模相等解析由共轭复数的相关知识可知，AD 正确.课堂小结1.知识清单：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.(2)复数的模及几何意义.(3)共轭复数.2.方法归纳：待定系数法、数形结合.3.常 见 误 区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.