直线与圆-2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（解析版）.pdf

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1、专题0 9 直线与圆-备战2023年高考数学母题题源解密(全国通用)考向一求圆的方程题昌【母题来源】2 02 2年高考全国乙卷(理科)【母题题文】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.答案(x _ 2+(y _ 3)2=3 或(x 2)2+(y _ l)2=5 或(x g)=?或(D题阂圈【试题解析】解：依题意设圆的方程为V +y 2+D r+助+尸=0,尸=0F =0若过(0,0),(4,0),(-1,1),则，16+4。+/=0 ,解得 =4,1 +1-。+E+E=0E 6所以圆的方程为f +y2-4x-6)，=0,B|J(x-2)2+(y-3)2

2、=13：了=0尸=0若过(0,0),(4,0),(4,2),则，16+4。+F=0,解得 +2 E +F =0E =2所以圆的方程为炉+；/4x 2=0,即(x 2)2 +(y l)2 =5；若过(o,o),(4,2),(-1,1),则尸=0F=0l +l-D +E+F =016+4+40 +2 E +/二=0解 得，D =E=8-314所以圆的方程为f9 +/9 一 8%14(4?y =0,I N x +/y-65-;331 3;3)91 +1-Z)+E+F =O若 过(-1,1),(4,0),(4,2),则116+4 0+尸=0,解得16+4+4 +2 E +F =0.16F=-55E=-

3、2所以圆的方程为 f +y 2 -3*一2丁 一3=0,即+(y-l)2=3 ：5 5 I 5,2 5故答案为：(x _ 2 1+(y _ 3)2=3或(x _ 2 j+(y _ l)2=5或=竺 或v 3 7 3)9(8x I 5|2/怦 169|+g)一【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填 空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点.常见的命题角度有:（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系.【得 分 要 点】（1）正确写出圆的一般方程的形式;（2）解方程组;（3）

4、一般式转化为标准式.考向二直线与圆的位置关系【母题来源】2 02 2年 高 考 全 国 甲 卷（文 科）2【母题题文】若 双 曲 线y 2一 二=（机0）的渐近线与圆元2 +）；2-4），+3=0相 切，则 机=m【答 案】U-l）2+（y+l）2=5题阂圈【试题解析】设 出 点M的坐标，利 用（3,0）和（0,1）均 在Q M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：点 M 在直线2 x+y-l=0 上,.设点M为(a,1-2。)，又因为点(3,0)和(0,1)均在QM上,.点M到两点的距离相等且为半径R,J(a-3)2+(l-2a)2=y/a2+(-2a)2=R，a2-6a+9+4a

5、2-4a+l-5 a2 解得。=1，A M(1,-1),R=5QM的方程为(x+(y+l=5.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点.常见的命题角度有：(1)直线的方程；(2)圆的方程；(3)直线与圆的位置关系；(4)圆与圆的位置关系.【得分要点】(1)正确写出圆的标准方程；(2)求出圆心到直线的距离；(3)由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系.囹题题混潟的一、单选题1.(湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题)“机=2”是“直线2

6、x+(m+1)y+4=()与直线版-阳-2=0 垂直”的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线2x+(%+l)y+4=0 与直线3x-阳-2=0 垂直求出机的值,再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】直线 2x+(/w+l)y+4=0 与直线 3x-?y-2=0 垂直，则2x3+(，+l)x(-?)=0,解得：?=2或 i =-3,所以“m=2”是“直线2x+(m+l)y+4=0 与直线3x-冲-2=0垂直”的充分不必要条件.故选：B.2.(2022四川乐山高一期 末)圆d +y2-2x+4)，-4=0

7、关于直线x+y-l=0对称的圆的方程是()A.(x-3)2+y2=16 B.x2+(y-3)2=9C.f+(-3)2=16 D.U-3)2+/=9【答案】D【解析】【分析】先求得圆/+丁-2+4了-4=0关于直线x+y-l=O对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.【详解】圆X?+y2-2x+4)，-4=0 的圆心坐标为(1,-2),半径为3设点(L-2)关于直线x+y-l =0 的对称点为(见)，+2 _ m-?=3则、。，解之得/?/+1 n-2._ H=0+1 =0 i2-2则圆/+/-2x+”-4=0关于直线x+y-1 =0对称的圆的圆心坐标为(3,0)则该圆的方程为“-3)2+产

8、=9,故选：D.3.(2022.四川成都.模拟预测(文)直线，nr-y-4m+l=0与 圆/+丁=25相交，所得弦长为整数，这样的直线有()条A.10B.9C.8D.7【答案】C【解析】【分析】求出过定点(4,1)的直线与圆的最短弦长 为 反e(5,6),最长的弦长为直径1 0,则弦长为6的直线恰有1条,最长的弦长为直径1 0,也恰有1条，弦长为7,8,9的直线各有2条，即可求出答案.【详解】直线y-4,w+l=0过定点(4,1),圆半径为5,最短弦长为2J25-万=屈？(5,6),恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；最长的弦长为直径1(),也恰有1条；弦长

9、为7,8,9的直线各有2条，共有8条，故选：C.4.(2022广西柳州模拟预测(理)已知直线y=H(%0)与圆C:(x-2)2+(y-l=4相交于A,B两点|AB|=2 G,贝 1 左=()1 4A.-B.-5 3【答案】B【解析】【分析】圆心C(2,l)到直线y=kxk 0)的距离为d,解方程即可求出答案.【详解】圆 C(x-2 y+(y-l)2=4 的圆心 C(2,l),-=2所以圆心C(2,1)到直线y=kxk 0)的距离为d,则d=毕，而d=Jr)=14 3=1,所以d=J =1,解 得:=*故选：B.5.（2022全国模拟预测）直线/：3x+4 y-l=0 被圆C:x?+y 2-2

10、x-4 y-4 =0 所截得的弦长为（）A.2亚 B.4 C.2 g D.2及【答案】A【解析】【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.【详解】由题意圆心C（l,2）,圆 C 的半径为3,故 C 到，：3x+4），-1 =0 的距离为=2,V32+42故所求弦长为2dy-*=26-故选：A.6.（2022.全国.模拟预测）若圆（-4+（丫-1）2=4.0）与单位圆恰有三条公切线，则实数。的值为（）A.&B.2 C.2&D.2 g【答案】C【解析】【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距d=+4.【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切

11、线），因此圆心距a2+12=2+1，结合a 0 年 猿 得a=2/2 故选：C.7.（2022湖南岳阳模拟预测）已知点A（2,0）,B（0,-1）,点 P 是圆N+（y-1）2-1 上任意一点，则P 4 5 面积最大值为（）A.2 B.4+75 C.1 +立 D.2+2 2【答案】D【解析】【分 析】结合点到直线距离公式及图形求出圆上点P到 直 线A B距离的最大值，由此可求 P4 B面积的最大值.【详 解】由已知|A 2|=6,要 使 PA 8的面积最大，只 要 点P到 直 线 的 距 离 最 大.由 于A8的方程为5+4 =1,即x-2 y -2=0,圆 心(0,1)到 直 线AB的 距

12、离 为 一 凯2|=生 叵,V 5 5故P到 直 线A B的距离最大值 为 逑+1,5所 以PA B 面积的最大值为 gx4 B x(+l)=；x5/x +l =2+g,故 选：D.8.(2 0 2 2河 南 安 阳 模 拟 预 测(理)已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4,点M为直线/“一，+8 =。上一个动点，过 点M作 圆C的两条切线，切 点 分 别 为A,B,则当四边形C 4 M B周长取最小值时，四边形C 4 A 的外 接 圆 方 程 为()A.(x-7)2+(y-l)2=4B.(x-l)2+(y-7)2=4C.(x-7)2+(y-l)2=2D.(x-l)2+(-7)2=2【答

13、案】D【解 析】【分 析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形C 4 M B周长 最 小 时 点M的坐标即可求解作答.【详 解】圆。一2)2 +(丁-6)2=4的 圆 心。(2,6),半 径“2点C到 直 线/的 距 离4 =|2-6 +8|7 i2+(-i)2=2收,依题意，C A L A M ,四边 形。M8周长2 1 C 4 1+2|=4+2 V C M2-C 42 4 +2yJd2-4=4 +2 2 6 -4 =8，当且仅当CM，/时取5此 时 直 线C M:x+y-8 =。，由I 尸x-y二+8 =。得0点 颉 ,四边形C 4 M B的外接圆圆心为线段CM中点(L 7),半 径0,

14、方 程 为(x-l)2 +(y-7)2=2.故选：D9.(2 0 2 2全 国 模 拟 预 测(理)已知圆 C 过圆 G：x2 +y 2+4 x-2)，-1 0 =0与 圆C 2：(x+3)2+(y-3)2=6的公 共 点.若 圆C-G的 公 共 弦 恰 好 是 圆C的直径，则 圆C的 面 积 为()c 26兀B.5 VBO-5-1 0 4 万D.-5【答 案】B【解 析】【分 析】根据题意求解圆G，G的公共弦方 程，再 计 算 圆 中 的 公 共 弦 长 即 可 得 圆c的直径，进而求得面积即可【详 解】由题，圆C，G的公共弦为/+9+叙-2 -1 0 =0和(x+3)2+(y-3)2=6的

15、两式相减，化简可得1-3-2 x3 +1 1 1 2x 2 y +l l =0,又。2（-3,3）到-_ 2 y +l I =0的距离d=/十 飞，故公共弦长为故选：B,故 圆。的半径为,故 圆C的面积为日万1 0.(2 0 2 2 广东 深圳市光明区高级中学模拟预测)已知圆C:(x-iy +y 2=4与抛物线)=加(。0)的准线相 切，则4=()A.-B.-C.4 D.88 4【答 案】A【解 析】【分 析】求出抛物线的准线方程，利 用 圆 与 准 线 相 切 可 得=2,求解即可.【详 解】因为圆C:（x _ 1）2 +V=4 的圆心为（1,0）,半径为r =2抛物线y =a?（a 0）的

16、准线为y =-,所 以-*=2,即”，故 选:A.二、填空题11.（2 02 2 江苏南京模拟预测）已知“A B C 中，A（-3,0）,8（3,0）,点C 在直线y=x+3上，白他。的外接圆圆心为E（0,4）,则直线E C 的方程为.【答案】y =x+4【解析】【分析】圆心 到 点 8 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐标，利用直线方程两点式即可求解.【详解】因为AABC的外接圆圆心为E（o,4）,所以A A B C 的外接圆半径为反不=5，即AABC的夕卜接圆方程为Y+（y 4）2 =2 5 .联立y=x+3x2+(y-4)2=2 5x=4解得 y

17、=7所以C（4,7）或C（-3,0）（与A点重合），舍，所以直线E C 的方程为=丹，即y =、+4.7-4 4-0 43故答案为：y=-x+4.412.（2 02 2 天津二中模拟预测）已知圆G：/+y 2=4 与圆6:/+丫 2-8+6.丫 +7 =0 外切，此时直线/:x+y =0 被圆C?所截的弦长【答案】7 34【解析】【分析】将圆C?的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得优，接着计算g 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详 解】由题可知：Ct:x2+y2=4C2:x2+y2-Sx+6y+m =0,E|(x-4)：+(y+3)-=2 5-m

18、J3.25-m0=/n 413.(2 02 2 安 徽 合 肥 市 第 八 中 学 模 拟 预 测(文)直 线/”+冲-机 1=0 被 圆。；/+丁=3 截得的弦长最短，则实数机=【答 案】1【解 析】【分 析】求 出 直 线 过 定 点 A (1,1),进 而 判 断 点 A在圆内，当。时，取最小值，利用两出线斜率之积为-1计算即可.【详 解】宜 线M N的方程可化为+冲 _ 帆 _ =0,由y-l=1,得x-l=0 x=1y =i所 以 直 线 MN 过 定 点 4 (1,1),因 为 产+1 2 0,即a+b2,在平面直角坐标系xOy中所有满足/(a)+/s)0,即a+b 2 的点(。,

19、切都不在圆C h,所以圆C 上的点都满足x+y 4 2,即圆C在x+y 4 2 表示的半平面内，故圆C 可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆 C 的方程可以为Y+丁=1故答案为：x2+y2=l(答案不唯一).三、解答题16.(2022江苏 南京市天印高级中学模拟预测)已知动点M(x,y)是曲线C上任一点，动点M 到点的距离和到直线y=-；的距离相等，圆M的方程为f +(y-2)2 =1.(1)求 C 的方程，并说明C是什么曲线；(2)设 A、&、&是 C 上的三个点，直线4 4、4 4 均与圆M 相切，判断直线4 4 与圆M 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)若直线AA2、

20、A 4 与圆M 相切，则直线&与圆M 相切，理由见解析【解析】【分析】(I)由抛物线的定义可得出曲线C 是以为焦点，直线y=-；为准线的抛物线，进而可求得曲线C 的方程；(2)分析可知直线AA?、A A、AzA的斜率都存在，设 儿(芭,疝、&(芯)、4(后，石)，其中毛、巧、马两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.(1)解：由题设知，曲线C上任意到点的距离和到直线y=-的距离相等，因此，曲线C 是以为焦点，直线y=-；为准线的抛物线，故曲线C 的方程为x2=y.(2)解：若直线4 A 的斜率不存在，则直线4 4 与曲线C 只有一个交点，不合乎题

21、意，所以，直线A 4、A 4、4 4 的斜率都存在,设A（W*）、4（孙君）、A3（X3,%3）,则X、*2、%3 两两互不相等,则以4=|一/=&+，同理以 小=%+三，砥 出=%+%，%1 X2所以直线A 4方程为y-片=（不+X2）（X-X,）,整理得（+%2）x-y-X|W =0,同理可知直线A A 的方程为（与+xi）x-y-xxi=0,|2 +3 引,因为直线A 4与圆M 相切，则 二一 不=1,“+（再+）整理可得（片-1）考+2 王马+3-x；=o ,同理可得（玉 2 一 ）后+2 x,x3+3-=0,所以、为为方程（X；-1）X2+2X F+3-片=0 的两根，则x 尸土1,

22、所以，石 +w =-1 -,-,X,-1 -，Xj-1圆心M 到 直 线 的 距 离 为|2 +七|J l +伍+4丫M离 而所以宜线44与圆M 相切.综上，若直线4 4 2、与圆M 相切，则直线44与圆M 相切.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下儿种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种己知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点。的坐标x、y 表示相关点尸的坐标与、%,然后代入点p的坐标（飞,）所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系

23、难以找到时，往往先寻找X、y与某一参数f 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.1 7.（2 0 2 2 四川成都模拟预测（理）点 P 为曲线C 上任意一点，直线/：x=-4,过点P 作尸Q 与直线/垂直，垂足为Q，点尸（TO）,且|照=2|叩.（1）求曲线C 的方程;过曲线C 上的点加（毛,%）（不刀）作圆（x+l），y 2=i的两条切线，切线与），轴交于A,B,求 MAB面积的取值范围.【答案】（l）+：=l（2）S e 筌，&【解析】【分析】（1）设点P（x,y）,通过|P=2|P尸|得到等式关系，化简求得

24、曲线方程；（2）设 切 线 方 程 通 过 点 到 切 线 的 距 离，化简成上的一元二次方程，再韦达定理得出匕,质与毛,%的等式关系，再求出|A B|弦长，消去匕，右，再求面积即可.设网乂y），由归。=2归月，得卜+4|=2 4 x+1）2 4-y2，两边平方得 +q-=l,2 2所以曲线C 的方程为三+汇=1；4 3 设点材（即 几）的切线方程为y-%=M x-x 0）（斜率必存在），圆心为下（-1,0）,，=1所以尸（T O）至 U y-y0=k（x-x0）的距离为：“=匕生=iJ+k平方化为（%+2/*2（/+1）林+4-1 =0,设 朋，P 8的斜率分别为匕，k2则匕+-强膂，快=/

25、；+2x,%+2A;,因为粗：y-%=尢 -%），令 x=0 有%=%-幻（），同理%=%-所以|AB|=|以 一%|=X。佝 一 网|=-4*=1 4（玉+1）2-4（*+2%）（4书%+2又因为4y；=12-3x；代入上式化简为|AB卜 件 IY 入。+，所以 心.=4%|A8|=?%/4 1,2令“司=4詈=XWL2,求导知 x）在X G L2 为增函数，所以Se 今,近1 8.(2 0 2 2 陕西交大附中模拟预测(理)已知在平面直角坐标系X。)，中，点 A(0,3),直线/:y =2 x-4.设圆C 的半径为1,圆心在直线/上.(1)若圆心C 也在直线y =x-l 上，过点A 作圆C

26、 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M,MA=2MO,求圆心C 的横坐标。的取值范围.-1 2【答案】(1)丁 =3 或3 x+4 y-1 2 =0(2)0,y【解析】【分析】(1)求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；(2)设点M(x,y),由己知可得/+6 +1)2 =4,分析可知圆C 与圆x、(y +l)2=4 有公共点，可得出关于。的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.(1)解：联立仁 二 二，解得1 二 2,即圆心。(3,2)，所以，圆C 的方程为(x-3 y+(y-2)2=1.若切线的斜率不存在，则切线的

27、方程为x =0,此时直线x =0 与圆C 相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为丫 =丘+3,即依-y +3 =0,由题意可得 将 工=1,整理可得4 r+3%=0,解得&=0 或一.V F+14故所求切线方程为丁 =3 或 y =：x +3,即y =3 或3 x +4 y 1 2 =0.4(2)解：设圆心。的坐标为(。,2 7-4),则圆。的方程为(尤-)，+,-(2-4)1=1,设点 M (x,y),由|M4|=21Moi 可得商+(丫-3?=2y/x2+y2,整理可得“2+(y+l/=4,由题意可知，圆C 与圆V+(y+l=4 有公共点，所以，14 亚+(2”3 4 3 5 a2-12a+8 05/-12a 4 0解得0 4 4 盗12所以，圆心C 的横坐标。的取值范围是0,-