2023年四年级奥数第四讲等差数列含超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf
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1、 第四讲 等差数列 一、知识点:1、数列:按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。2、等差数列与公差:一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。3、常用公式 等差数列的总和=(首项+末项)项数2 项数=(末项-首项)公差+1 末项=首项+公差(项数-1)首项=末项-公差(项数-1)公差=(末项-首项)(项数-1)等差数列(奇数个数)的总和=中间项项数 二、典例剖析:例(1)在数列 3、6、9,201 中,共有多少数?如果继续写下去,第 201 个数是多
2、少?分析:(1)因为在这个等差数列中,首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式:项数=(末项-首项)公差+1,便可求出。(2)根据公式:末项=首项+公差(项数-1)解:项数=(201-3)3+1=67 末项=3+3(201-1)=603 答:共有 67 个数,第 201 个数是 603 练一练:在等差数列中 4、10、16、22、中,第 48 项是多少?508 是这个数列的第几项?答案:第 48 项是 286,508 是第 85 项 例(2)全部三位数的和是多少?分析:所有的三位数就是从 100999 共 900 个数,观察 100、101、102、998、999 这 一数列,发现这是一
3、个公差为 1 的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。解:(100+999)9002 =10999002=494550 答:全部三位数的和是 494550。练一练:求从 1 到 2000 的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差。答案:1000 例(3)求自然数中被 10 除余 1 的所有两位数的和。分析一:在两位数中,被 10 除余 1 最小的是 11,最大的是 91。从题意可知,本题是求等差数列 11、21、31、91 的和。它的项数是 9,我们可以根据求和公式来计算。解一:11+21+31+91 =(11+91)92 =459 分析二:根据求和公式得出等差数列 11、21、3
4、1、91 的和是 459,我们可以求得这9 个数的平均数是 4599=51,而 51 恰好是这个等差数列的第五项,即中间的一项(称作中项),由此我们又可得到 S=中项n,但只能是项数是奇数时,等差数列有中项,才能用中项公式计算。解二:11+21+31+91 =519 =459 答:和是 459。练一练:求不超过 500 的所有被 11 整除的自然数的和。答案:11385 例(4)求下列方阵中所有各数的和:1、2、3、4、49、50;2、3、4、5、50、51;3、4、5、6、51、52;49、50、51、52、97、98;50、51、52、53、98、99。分析一:这个方阵的每一横行(或竖行)
5、都各是一个等差数列,可先分别求出每一横行(或竖行)数列之和,再求出这个方阵的和。解一:每一横行数列之和:第一行:(1+50)502=1275 第二行:(2+51)502=1325 这样的数列的叫做等差数列其中相邻两项的差叫做公差常用公式等差数列的总和首项末项项数项数末项首项公差末项有多少数如果继续写下去第个数是多少分析因为在这个等差数列中首项末项公差所以根据公式项数末项首项公差便可第几项答案第项是是第项例全部三位数的和是多少分析所有的三位数就是从共个数观察这一数列发现这是一个公差为 第三行:(3+51)502=1375 第四十九行:(49+98)502=3675 第五十行:(50+99)502
6、=3725 方阵所有数之和:1275+1325+1375+3675+3725 =(1275+3725)502 =125000 分析二:观察每一横行可以看出,从第二行起,每一行和都比前一行多 50,所以可以先将第一行的和乘以 50,再加上各行比第一行多出的数,这样也能求得这个方阵所有数的和。解二:(1+50)50250=63750 50(1+2+3+49)=50【(1+49)492】=61250 63750+61250=125000 答:这个方阵的和是 125000 练一练:求下列方阵中 100 个数的和。0、1、2、3、8、9;1、2、3、4、9、10;2、3、4、5、10、11;9、10、1
7、1、12、17、18。答案:900 例(5)班级男生进行扳手腕比赛,每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了 105 次,那么共有多少男生参加了这项比赛?分析:设共有几个选手参加比赛,分别是 A1、A2、A3 A1、An。从 A1开始按顺序分析比赛场次:A1必须和 A2、A3、A4、,An 逐一比赛 1 场,共计(n-1)场;A2 已和 A1赛过,他只需要和 A 3、A4、A5、An 各赛 1 场,共计(n-2)场 A 3 已和 A1 A2 赛过、他只需要和 A4、A5、A6、An、各赛 1 场,共计(n-3)场。以此类推,最后 An-1只能和 An 赛 1 场 解:Sn=(n-1)+
8、(n-2)+2+1 这样的数列的叫做等差数列其中相邻两项的差叫做公差常用公式等差数列的总和首项末项项数项数末项首项公差末项有多少数如果继续写下去第个数是多少分析因为在这个等差数列中首项末项公差所以根据公式项数末项首项公差便可第几项答案第项是是第项例全部三位数的和是多少分析所有的三位数就是从共个数观察这一数列发现这是一个公差为 =21(1+n-1)(n-1)=21n(n-1)(场)根据题意,Sn=105(场),则 n(n-1)=210,因为 n 是正整数,通过试算法,可知1514=210.则 n=15,即共有 15 个男生参加了比赛。答:有 15 个男生参加了比赛。练一练:从 1 到 50 这
9、50 个连续自然数中,取两数相加,使其和大于 50,有多少种不同的取法?答案:625 种 例(6)若干人围成 16 圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少 6 人,如果共有 912人,问最外圈有多少人?最内圈有多少人?分析:从已知条件 912 人围成 16 圈,一圈套一圈,从外到内各圈依次减少 6 人,也就是告诉我们这个等差数列的和是 912,项数是 16,公差是 6。题目要求的是等差数列末项 an-a1=d(n-1)=6(16-1)=90(人)解:an+a1=S2n=912216=114(人)外圈人数=(90+114)2=102(人)内圈人数=(114-90)2=12(人)答:最外圈有 102
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