2023年圆锥曲线培优讲义.pdf

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1、 圆锥曲线培优讲义(总 10 页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 一 原点三角形面积公式 1.已知椭圆的离心率为，且过点若点 M（x0，y0）在椭圆 C上，则点称为点 M的一个“椭点”（1）求椭圆 C的标准方程；（2）若直线 l：y=kx+m与椭圆 C相交于 A，B两点，且 A，B两点的“椭点”分别为 P，Q，以 PQ为直径的圆经过坐标原点，试求AOB的面积 2.己知椭圆，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点，和，记 的面积为 （1）设，用，的坐标表示点 到直线 的距离，并证明；（2）设，求 的值（3）设 与

2、 的斜率之积为，求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变 3.已知椭圆0,01:2222bbyxC的左、右两焦点分别为 0,1,0,121FF,椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的21FAF中，满足.127,121221FAFFAF（1）求椭圆C的方程；（2）设点DCB,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线OCOBCDBC,的斜率分别为4321,kkkk，且4321kkkk，求22OCOB 的值.4.在平面直角坐标系xoy内，动点(,)M x y与两定点(2,0),(2,0)，连线的斜率之积为14 (1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设点1122(,),(,)A

3、 x yB xy是轨迹C上相异的两点 (I)过点 A，B 分别作抛物线24 3yx的切线1l、2l，1l与2l两条切线相交于点 (3,)Nt，证明：0NA NB；()若直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为14，证明：AOBS为定值，并求出这个定值 5.已知 、分别是 轴和 轴上的两个动点，满足，点 在线段 上，且（是不为 的常数），设点 的轨迹方程为 （1）求点 的轨迹方程；（2）若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，试求实数 的取值范围；（3）若，点，是曲线 上关于原点对称的两个动点，点 的坐标为，求 的面积 的最大值 6.已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线 的焦点在 轴上，顶点在坐

4、标原点在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线 上一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于，两点，求 面积的最大值 7.已知抛物线 的焦点为，过点 的直线交抛物线于，两点（1）若，求直线 的斜率；（2）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为，求四边形 面积的最小值 8.设椭圆：的左、右焦点分别是 、，下顶点为，线段 的中点为（为坐标原点），如图若抛物线：与 轴的交点为 ，且经过，点（1）求椭圆 的方程；（2）设，为抛物线 上的一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于 、两点，求 面积的最大值 二 定点定值问题 9.动点P在圆E：22(1)1

5、6xy上运动，定点(1,0)F，线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q（）求Q的轨迹T的方程；（）过点F的直线1l，2l分别交轨迹E于A，B两点和C，D两点，且12ll证明：过AB和CD中点的直线过定点 10.在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线D：22123yx的中心，抛物线C的焦点与双曲线D的焦点相同（）求抛物线C的方程；（）若点(,1)P t(0)t 为抛物线C上的定点，A，B为抛物线C上两个动点且PAPB，问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由 11.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为，直线 与 轴交于点，与椭圆 交于 两点当直线 垂直于 轴且点

6、 为椭圆 的右焦点时，弦 的长为 xyNMAO（1）求椭圆 的方程；（2）若点 的坐标为，点 在第一象限且横坐标为，连接点 与原点 的直线交椭圆 于另一点，求 的面积；（3）是否存在点，使得 为定值?若存在，请指出点 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由 12.已知椭圆的左焦点为F，不垂直于x 轴且不过F点的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点（1）如果直线 FA，FB 的斜率之和为 0，则动直线 l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由（2）如果 FAFB，原点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围 13.如图，已知直线:1(0)l ykxk

7、关于直线1yx 对称的直线为1l，直线1,l l与椭圆22:14xEy分别交于点A、M和A、N，记直线1l的斜率为1k.（）求1k k的值；（）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.14.如图，椭圆（）的离心率是，过点 的动直线 与椭圆相交于，两点当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为 （1）求椭圆 的方程；（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点，使得 恒成立 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 15.已知动圆过定点，且与直线 相切，其中 （1）求动圆圆心 的轨迹的方程；（2）设 、是轨迹 上异于原点 的

8、两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和，当，变化且 为定值 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标 16.已知抛物线 的准线与 轴交于点，过点 做圆 的两条切线，切点为 ，（1）求抛物线 的方程；（2）设，是抛物线 上分别位于 轴两侧的两个动点，且 （其中 为坐标原点）求证：直线 必过定点，并求出该定点 的坐标；过点 作 的垂线与抛物线交于，两点，求四边形 面积的最小值 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设点 M(x0，y0)是椭圆 C：2212xy上一点，从原点 O 向圆 M:22002()()3xxyy作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q，直线 OP、OQ 的斜率分别记为

9、 k1，k2(1)求证：k1k2 为定值;(2)求四边形 OPMQ 面积的最大值.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知00 R xy，是椭圆22:12412xyC上的一点，从原点O向圆 2200:8Rxxyy作两条切线，分别交椭圆于P，Q.（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为12 kk，求12 kk，的值；（3）试问22OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.三 中点弦问题 19.椭圆2222:10 xyCabab 的长轴长为2 2，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，2A为椭圆C的右顶点，点M为

10、线段2PA的中点，且直线2PA与直线OM的斜率之积为12.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点1F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点,A B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是1,04，求线段AB的长的取值范围.20.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆2222:1(0)xyCabab 右焦点的直线20 xy 交椭圆C于,M N两点，P为,M N的中点，且直线OP的斜率为13（）求椭圆C的方程；（）设另一直线l与椭圆C交于,A B两点，原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值 21.如图，椭圆2222:1(0)xyEabab 左右顶点为 A、B，左右焦

11、点为1212,4,2 3F FABF F，直线(0)ykxm k交椭圆 E于点 C、D两点，与线段12F F椭圆短轴分别交于 M、N两点（M、N不重合），且CMDN.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线,AD BC的斜率分别为12,k k，求12kk的取值范围.22.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：)0(12222babyax的离心率21e，左顶点为)0,4(A，过点A作斜率为)0(kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.（）求椭圆C的方程;（）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的)0(kk都有EQOP，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由;（）若过O点作直线l的平行

12、线交椭圆C于点M，求|OMAEAD 的最小值.23.已知椭圆 过点，且离心率 （1）求椭圆 的方程；（2）若椭圆 上存在点 关于直线 对称，求 的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上 24.如图，在直角坐标系 中，点 到抛物线 的准线的距离为 点 是 上的定点，是 上的两动点，且线段 被直线 平分（1）求，的值；（2）求 面积的最大值 25.已知抛物线，过其焦点 作两条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点，和点，线段，的中点分别记为，（1）求 面积的最小值；PDMAOxyE（2）求线段 的中点 满足的方程 26.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab（

13、0ab）的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标 四 定比分点 27.已知点)0,2(E，点P是椭圆F：36)2(22yx上任意一点，线段EP的垂直平分线FP交于点M，点M的轨迹记为曲线C.（）求曲线C的方程；（）过F的直线交曲线C于不同的A，B两点,交y轴于点N，已知AFmN

14、A，BFnNB，求nm的值.28.在直角坐标系 xOy 上取两个定点12(6,0),(6,0),AA 再取两个动点1(0,)Nm，2(0,)Nn，且2mn （）求直线11AN与22A N交点 M 的轨迹 C 的方程；（）过(3,0)R的直线与轨迹C 交于 P,Q，过 P 作PNx轴且与轨迹 C 交于另一点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若(1)RPRQ，求证：NFFQ.29.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C：22221xyab0ab 的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结1PF并延长交椭圆于另一点Q，设11PFFQ（1）若点P的坐标为3(1,)2，且2PQF的

15、周长为8，求椭圆C的方程；（2）若2PF垂直于x轴，且椭圆C的离心率12,22e，求实数的取值范围 五 结论 30.已知椭圆 20.已知椭圆2222:10 xyCabab 经过点2 2，且离心率等于22，点 AB，分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）MN，是椭圆C上非顶点的两点，满足 OMAPONBP，求证：三角形MON的面积是定值.31.过点，离心率为 过椭圆右顶点 的两条斜率乘积为 的直线分别交椭圆 于，两点（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 是否过定点 若过定点，求出点 的坐标，若不过点，请说明理由 32.已知椭圆的两个焦点为 15,0F，25,0F，M

16、是椭圆上一点，若120MFMF，128MFMF 33.（1）求椭圆的方程；34.（2）点P是椭圆上任意一点，12AA、分别是椭圆的左、右顶点，直线12PAPA，与直线3 52x 分别交于,E F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标.35.已知抛物线220 xpy p的焦点为F，直线4x 与x轴的交点为 P，与抛物线的交点为 Q,且5.4QFPQ （1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过 F 的直线l与抛物线相交于 A,D 两点，与圆 2211xy相交于 B,C 两点（A，B 两点相邻），过 A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点 M,求ABM与CDM的面积之积的最

17、小值.36.已知椭圆，其右准线 与 轴交于点 ，椭圆的上顶点为 ，过它的右焦点 且垂直于长轴的直线交椭圆于点，直线 恰经过线段 的中点 （1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是 、，且，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设 是椭圆右准线 上异于 的任意一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为 、，求证：直线 与 轴交于定点 37.已知点(1,0)A，(1,0)B，直线AM与直线BM相交于点M，直线AM与直线BM的斜率分别记为AMk与BMk，且2AMBMkk （）求点M的轨迹C的方程；（）过定点(0,1)F作直线PQ与曲线C交于,P Q两点，OPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出O

18、PQ面积的最大值；若不存在，请说明理由 38.已知一个动圆与两个定圆41)2(22yx和449)2(22yx均相切,其圆心的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 F（0,2)做两条可相垂直的直线21,ll，设1l与曲线 C 交于 A,B 两点,2l与曲线 C 交于 C,D 两点，线段 AC，BD 分别与直线2x交于 M，M,N 两点。求证|MF|:|NF|为定值.六 运算转化 39.设椭圆2222:10 xyCabab 的左、右焦点分别为12,F F，上顶点为 A,过A与2AF垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且1F恰好为线段2QF的中点.（1）若过2,A Q F三点的圆恰好与直线3470 xy 相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，B是椭圆 C的左顶点，过点3,02R作与x轴不重合的直线l交椭圆C于 E,F两点,直线BE,BF 分别交直线83x 于 M,N两点，若直线MR,NR 的斜率分别为12,k k，试问12k k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.40.已知椭圆2222:10 xyEabab 过点 0,1且离心率为32.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线1:2l yxm与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B、N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.