2023年固体物理学课件第四章 能带理论全面汇总归纳.pdf

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1、1第 四 章能带理论总 结一、布洛赫定理二、近自由电子近似三、布里渊区四、紧束缚近似五、能态密度、费米面一、布洛赫定理在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。()()rurkrkikKKKKKK=e()()nkkRruruKKKKK+=,rRrnRk in)(e)(KKKKK=+布洛赫波函数具有如下特点：)()(rrnGkkKKGGG+=)3 2 1(22，=ibkbiiiKKK在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数)。模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期

2、性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。二、近自由电子近似ikxnnVxVe)(=势场波函数和能量:+=nnknakkmVmkE222222)2(22=)(exukikx=+nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1=)(xk1.一维情况(1)在 k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为；nV2(2)在 k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)在 k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。结论:电子能带的三种图示法(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带；(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒

3、格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有能带)；(c)周期区图：在每一个布里渊区周期性地画出所有能带(强调任一特定的波矢k的能量可以用和它相差Gn的波矢来描述)。每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大。能带的图示:2.三维情况)()(rVRrVmGGK=+rk irk ikNVrKKKKKK=e1e1)(0模型：势场、波函数、能量：=nrGinrkiknGaNrKGKKKGK)e(e1)(332211amamamRmGGGG+=)(2)(22nGVmkkEG=K=电子受到离子周期性势场的作用，势场的起伏较小2发生能量不连续的波矢

4、满足的条件可改写为:kK0)2(=+nnGkGGKG对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。结论：0nGGkKkKnGG（1）布里渊区的定义在k空间（倒格子空间）中，以任意一个倒格点为原点，做原点和其它所有倒格点连线（倒格矢）的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。三、布里渊区（brillouinzone）第一布里渊区(又称为简约布里渊区)是k空间中围绕原点的最小闭合区域（不穿过布拉格反射面）；第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂面(或中垂线，或布拉格反射面)才

5、能到达的区域；第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画布里渊区。（2）布里渊区作图法晶体结构倒格点排列中垂面(中垂线)布里渊区倒格基矢321bbb、332211bnbnbnGn+=正格基矢,321aaa、原胞332211amamamRm+=晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。)(nRrVKK()+=mRmnRrVRrVrVKKKKK)()(势场：四、紧束缚近似模型：=mmiRk immimRrNRrarkm)(e1)(),(KKKKKK

6、KK波函数：=最近邻ssRRk isiRJJkEKKKKe)()(0能量表达式：能带宽度：minmaxEEE=3(2)VZdSdk=3)2(V状态在k空间是均匀分布的，状态密度为：EE+E之间的能态数目：五、能态密度、费米面设能量在E E+E之间能态数目为 Z，能态密度函数可以写为：0()limEZN EE=1.能态密度函数3能态密度kEdkE=3(2)VZdSdk=3(2)kVdSZEE=3()2(2)kVdSN EE=EdSVENk3)2()(考虑到电子的自旋，能态密度：kdkEE=(4-74)此式类似振动模式密度3-149式2.费米面费米面的定义是K空间占有电子与不占有电子的分界面。固体

7、中有N个自由电子按照泡利原理，它们的基态是N个电子由低到高填充能量尽可能低的量子态。3334)2(2FkVN=电子填充k空间半径为kF的球，球内的状态数为：3/13/1)()83(2VNkF=3/1)83(2n=球的半径NnV=电子密度费米能量22/2FFEkm=费米球半径2/FFkmE=费米动量费米速度FFkpK=K=/FFvpm=KK费米温度/FFBTEk=1.什么是周期性势场？试述布洛赫定理。2.能带有几种表示方法？画出图示。试述能隙的由来。3.试述能带计算的一般方法。4.什么是布里渊区？如何作图？5.费米面的物理意义是什么？什么是费米能？试述费米面的构造方法。6.晶体能带计算的方法（简单立方）以及图示。7.金属的自由电子气能态密度计算以及图示。复习题