2023年复变函数与积分变换习题超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、一、将以下复数用代数式、三角式、指数式表示出来。(1)i 解：2cossin22iiei(2)-1 解：1cossiniei(3)13i 解：/31322 cos/3sin/3iiei(4)1 cossini 解：2221 cossin2sin2sincos2sin(sincos)222222 2sincos()sin()2sin222222iiiiie (5)3z 解：3333cos3sin3izr eri(6)1 ie 解：1cos1sin1iieeeei(7)11ii 解：3/411cos3/4sin3/411iiiieiii 二、计算以下数值(1)aib 解：1ar2ar2222421

2、ar22421ar2242 bbictgkictgkaabictgabictgaaibab eab eab eab e(2)3i 解：62263634632323322322ikiiiikieiieeeei (3)ii 解：2222iikkiiee(4)ii 解：1/2222iikkiiee(5)cos5 解：由于：552cos5iiee，而：555550555550cossincossincossincossinnninnnninneiCieiCi 所以：555505555043253543251cos5cossincossin21 cossin112 5cossincossincos 5c

3、ossin10cossincosnnnnnnnnnnnCiiCiiCi(6)sin5 解：由于：552sin5iiee，所以：55550555505234245552341sin5cossincossin21 cossin1121 sincossinsincos sin10cossin5sincosnnnnnnnnnnnCiiiCiiiCiC ii(7)coscos2cos n 解：有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函

4、数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 221coscos 2cos()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos)1 2iiiniiiniiniiiniiiniiniiineeeeeeeeeeeeeeeeeeee(1)(1)22(1cos)1 2cos22cos(1)2coscos1 cos(1)cos 22(1cos)2(1cos)1sin()sin22 2sin2ii ni ninineeeennnnn (8)sinsin 2sin n 解：221sinsin 2sin()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21

5、122(1cos)1 2iiiniiiniiniiiniiiniiniiineeeeeeieeeeeeeeeeieeiei(1)(1)112(1cos)12 sin2 sin(1)2 sinsinsin(1)sin 22(1cos)2(1cos)1cos()cos22 2sin2i ninii nineeeeeiininnnin 1.2 复变函数 1、试证明函数 f(z)=Arg(z)(-Arg(z)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1)在负实轴上，任取一点za，则分别由水平方向和垂直方向趋近 z 点有：0000lim()lim()lim()lim()yyyyf zArgai yf zA

6、rgai y 显然函数在负实轴上不连续。(2)在零点，沿izre方向趋近于零点则：00lim()lim()izzf zArg re 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在 0 点无极限。2、复平面上，圆周可以写成0AzzzzC，这里 A，C 为实数，为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为：220 xyaxbyc 则在复平面上：11(),()22xzzyzzi，所以圆方程变形为：有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在

7、原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 02222ababzzizizc 假设令：,22ab CicAA 则：0AzzzzC 2.1 解析函数 1、试证明以下函数处处不可微：(1)()f zz (2)()f zx 证明：(1)在0z 处，有：0000()1limlimlimlimzzzzzzxyzf zx xy yxyzxi yxi yrxi y 假设沿ize 方向趋近于 z 点，则：00()1cossin1limlimcossiniizzf zxyxyezrer 显然，函数不可微。(2)在0z 处，有：00()limlimzzzf zzxi

8、y 假设沿ize 方向趋近于 0 点，则：00()limlimizzzf zezxi y 显然，函数不可微。2、设：33332222(,),(,),0(,)(,)0,0 xyxyu x yv x yzxyxyu x yv x yz 试证明 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足 C-R 条件，但不可微。证明：首先：(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)1,1(,)(,)(,)(,1,)1xu x yu x yyxyv x yv x y 有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向

9、趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 显然：(0,0)(0,0)(0,0)(0,0),(,)(,)(,)(,)xu x yv x yyu xyxyv x y，在原点 f(z)满足 C-R条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：000033332222()()(0)()()limlimlimlimzzzzxyxf zfzffzfzzxi yxiyixyxyyxi y 假设沿ize 方向趋近于 0 点，则：330334cossincos()1()lim(1)(3)coss

10、in4sinizf zfziiezi 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足 C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数可微的必要条件。1.2 复变函数 1、试证明函数 f(z)=Arg(z)(-Arg(z)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1)在负实轴上，任取一点za，则分别由水平方向和垂直方向趋近 z 点有：0000lim()lim()lim()lim()yyyyf zArgai yf zArgai y 显然函数在负实轴上不连续。(2)在零点，沿izre方向趋近于零点则：00lim()lim()izzf zArg re 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在 0 点无

11、极限。2、复平面上，圆周可以写成0AzzzzC，这里 A，C 为实数，为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为：220 xyaxbyc 则在复平面上：11(),()22xzzyzzi，所以圆方程变形为：02222ababzzizizc 假设令：,22ab CicAA 则：0AzzzzC 2.1 解析函数 1、试证明以下函数处处不可微：(1)()f zz (2)()f zx 证明：(1)在0z 处，有：有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点

12、则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 0000()1limlimlimlimzzzzzzxyzf zx xy yxyzxi yxi yrxi y 假设沿ize 方向趋近于 z 点，则：00()1cossin1limlimcossiniizzf zxyxyezrer 显然，函数不可微。(2)在0z 处，有：00()limlimzzzf zzxi y 假设沿ize 方向趋近于 0 点，则：00()limlimizzzf zezxi y 显然，函数不可微。2、设：33332222(,),(,),0(,)(,)0,0 xyxyu

13、 x yv x yzxyxyu x yv x yz 试证明 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足 C-R 条件，但不可微。证明：首先：(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)1,1(,)(,)(,)(,1,)1xu x yu x yyxyv x yv x y 显然：(0,0)(0,0)(0,0)(0,0),(,)(,)(,)(,)xu x yv x yyu xyxyv x y，在原点 f(z)满足 C-R条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：000033332222()()(0)()()limlimlimlimzzzzxyxf zfzffzfzzxi yxiyixyxyyx

14、i y 假设沿ize 方向趋近于 0 点，则：330334cossincos()1()lim(1)(3)cossin4sinizf zfziiezi 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足 C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数可微的必要条件。有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证2.2 解析函数和调和函数 1

15、、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数：2233(1)(,),(2)0(2)(,)sin(3)(,),(0)0(4)(,)ln,(1)0 xyv x yfxyu x yeyu x yxyxy fu x yf 解：(1)22(,)yv x yxy 则：22222(,)(,)u x yv x yxyxyxy.I 222(,)(,)2u x yv x yxyyxxy II 由 I 得：22(,)()xu x yyxy 带入(II)得：()0y 所以：22(,)xu x yCxy (2)(,)sinxu x yey 则：(,)(,)cosxv x yu x yeyxy .I (,)(,)sinxv

16、x yu x yeyyx II 由 I 得：(,)cos()xv x yeyy 带入(II)得：()0y 所以：(,)cosxv x yeyC (3)33(,)u x yxyxy 2222(,)6,(,)6u x yxu x yyxy 显然：2222(,)6u x yxyxy (,)u x y并非调和函数，所以，此题无解。有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是

17、函数可微的必要条件复变函数试证 (4)(,)lnu x y 则：22(,)(,)v x yu x yyxyxy .I 22(,)(,)v x yu x yxyxxy II 由 I 得：(,)atan()xv x yyy 带入(II)得：()0y 所以：(,)atanxv x yCy 2、试证明3z三个单值分支在割破的 z 平面上任意区域上都是解析的，并求其导 数。证明：3()f zz，令：(),iizreze 则：izzr e ，这里：22sin2cos,rrrr 所以：21/6223331/6221/61/6()2cos22 2coscossin33333322 2 coscoscossin

18、s33333kif zzrrekkrrikkrr 1/61/65/622insincoscossin33333312222 2 coscossinsincos63333333333kkiikkkkrriir 1/32/31/32/312222 2 coscossinsincos6333333333122 2 coscossin63333kkkkriirkkrir 22sincos33333kki 则：1/32/31/32/322122()()sincos2 coscossin3333363333221 cossin2 cos33336kkkkf zzf zriirkkiirr 333 coss

19、in33izzierr 所以：有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证3()00032/3()()()3limlimlim1 33iizzzizef zf zzf zrzzezrez 2.1-2 Cauchy 积分 1、计算积分iiz dz，积分路径(1)直线段；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。解：22iiiiz dzxy

20、dz(1)假设沿直线从-i积分到 i，则：1011101100 iiz dziy dyiydyydyiydyydyi(2)假设沿右半圆从-i积分到 i，则：/2/2/2/2()2iiiiz dzd eei(3)假设沿左半圆从-i积分到 i，则：/2/23/23/2()2iiiiz dzd eei 2、当 C 为单位圆周时，不用计算，试证明：2211(1)0,(2)05622CCdzdzzzzz 证明：(1)21156(2)(3)11 2311 23CCCCCdzdzzzzzdzzzdzdzzz 因为两个非解析点都不在积分圆周内，根据 Cauchy 积分定理：21056Cdzzz (1)2211

21、22(1)11 11111 211CCCCCdzdzzzzdzzizidzdzizizi 有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 因为两个非解析点1,1zii 都不在积分圆周内，根据 Cauchy 积分定理：21022Cdzzz 2.3-4 Cauchy 积分定理 1、已知函数 1(,)1xttex tt，将 x 作为参数，把 t

22、 认为是复变数，试应用 Cauchy 公式表为回路积分，对回路积分进行变量代换 tzxz，并借以证明：0nnxnxnntdex etdx 解：(1)首先，令：1(,)1zxze ex zz，则：111(,)2xex zdiz 根据解析函数的无限可微性有：11!(,)21xnnnex zdiz 所以：110(,)!21xnnntx tnedti(2)做变量替换：zxtz，则对于积分公式来说：zxz，所以：11011(,)!21!22 z xz xxnzznntnx znxnnnxnxnx tnezxdtizzxzxzznz enedzediizxxex ex 4.2 利用留数定理计算实积分 1、

23、确定以下函数的奇点，并计算留数，(5)220 (0)sinadxaax；(6)220cos (1)1 2 cosxdxx 解：(5)220022201cos 2sin22 21 cosadxadxxaxaadxax 令：ixze，则：有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 22021122111sin21222 ()2 211zz

24、zadxadzaxazzizadzaf z dziizaz 显然，()f z存在两个一阶极点：22(21)21zaa a，只有：22(21)21zaa a 处于单位圆内，所以：222222(21)21(21)2121Res()lim(21)211 41zaaazaaaf zzaa aa a 则：22220212sin411adxaiaxia aa (6)220cos (1)1 2 cosxdxx 令：ixze，则：122210122121111cos1 2 cos2 111111 ()2221zzzzzzdzxdxxzzizzdzzdzf z dziiiz zzz zz 显然，()f z存在三

25、个一阶极点：10,z，只有：0,z 处于单位圆内，所以：21001Res()lim1zzzf zzz 222111Res()lim1zzzf zz z 所以：222220cos112211 2 cos211xdxixi 2、计算以下实函数积分 (5)2611xdxx 解：(5)2611xdxx 有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试

26、证 根据定理有：264242Im01112Res111kkzxdxdxixxxxx 而函数421()1f zxx存在四个一阶极点：556666,iiiizeeee，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有：566,iizee，所以：66626311Res()lim2212 3221iiiizez eef zzziee 556665526363111Res()lim2212 3221221iiiiiiizez eef zzzieeee 所以：26641212 32 3iixeedxixii 3 计算以下实函数积分(3)2sin1xxdxx 解：根据定理：2220Im0sinsin22Res111kki

27、mzzxxxxzedxdxxxz 显然，2()1imzzef zz存在两个一阶极点：zi，只有：zi 上半平面内，所以：1Res()lim2izziz izef zzie 所以：2sin1212xxdxxee 3.2 幂级数 3、求以下幂级数的收敛圆(1)11()kkzik，(2)ln1(2)kkkkz 解：(1)11/limlim11/(1)kkkkckRck 所以，其收敛圆为以 i 为圆心的单位圆。(2)有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向

28、趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 由于：22lnln1ln1limlimlimlim1ln1ln1ln1kkkkkkkkkRkkkkk lnlnln(1)ln(1)1limlimlim1(1)(1)kkkkkkkkkckkRckk 所以，其收敛圆为以 2 为圆心的单位圆。3.3 幂级数展开 在指定的点的邻域上把以下函数展开为 Taylor 级数(8)2sin z和2cos z在00z 解：22202210212102121111sin(1cos 2)(112)22(2)!1 122(2)!1 122(2)!1

29、2(2)!nnnnnnnnnnnnnnnnzzznznznzn 22202210221111cos(1cos 2)(112)22(2)!1 122(2)!112(2)!nnnnnnnnnnnnzzznznzn 4.1 留数定理 1、确定以下函数的奇点，并计算留数，(1)(1)zez；(2)2(1)(2)zzz，(3)22()zeaz，(4)22()izeaz 解：(1)(1)zez 显然1z 为其一阶极点，则：111Res()lim(1)(1)zzzf zzeze (2)2(1)(2)zzz 显然1z 为其一阶极点，2z 为其二阶极点，则：211Res()lim(1)(1)(2)1zzf zz

30、zzz 2222221Res()lim(2)(1)(2)lim11zzzdf zzzzzdzz (3)22()zeaz 显然zia 为其一阶极点，则：有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证22Res()lim()()2iazziaz iaef zzia eazia 22Res()lim()()2iazziaziaef zzia e

31、azia (4)22()izeaz 显然zia 为其一阶极点，则：22Res()lim()()2aizziaz iaef zzia eazia 22Res()lim()()2aizziaziaef zzia eazia 2、计算回路积分，(1)2211ldzzz，l 为22220 xyxy (3)212zze dz 解：(1)首先 l 的围线方程为：22112xy 而被积函数存在三个孤立奇点,1zi，在围线内有两个孤立奇点：,1zi 222()11Res()lim41121ziz izif zzzi i 22211(1)1Res()lim211zzdzf zdzzz 所以：22112()422

32、11ldziizz (2)可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点0z，且为本性奇点，对被积函数做 Laurant 展开：21201 1!znnen z 可以看出：10c，显然：2120zze dz 4.2 利用留数定理计算实积分 1、确定以下函数的奇点，并计算留数，(5)220 (0)sinadxaax；(6)220cos (1)1 2 cosxdxx 解：(5)有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所

33、以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 220022201cos 2sin22 21 cosadxadxxaxaadxax 令：ixze，则：22021122111sin21222 ()2 211zzzadxadzaxazzizadzaf z dziizaz 显然，()f z存在两个一阶极点：22(21)21zaa a，只有：22(21)21zaa a 处于单位圆内，所以：222222(21)21(21)2121Res()lim(21)211 41zaaazaaaf zzaa aa a 则：22220212sin411adxaiaxia aa (6)220cos

34、 (1)1 2 cosxdxx 令：ixze，则：122210122121111cos1 2 cos2 111111 ()2221zzzzzzdzxdxxzzizzdzzdzf z dziiiz zzz zz 显然，()f z存在三个一阶极点：10,z，只有：0,z 处于单位圆内，所以：21001Res()lim1zzzf zzz 222111Res()lim1zzzf zz z 所以：222220cos112211 2 cos211xdxixi 2、计算以下实函数积分 有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不

35、可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证 (5)2611xdxx 解：(5)2611xdxx 根据定理有：264242Im01112Res111kkzxdxdxixxxxx 而函数421()1f zxx存在四个一阶极点：556666,iiiizeeee，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有：566,iizee，所以：66626311Res()lim2212 3221iiiizez eef zzziee 556665526363111Res()lim2212

36、 3221221iiiiiiizez eef zzzieeee 所以：26641212 32 3iixeedxixii 3 计算以下实函数积分(3)2sin1xxdxx 解：根据定理：2220Im0sinsin22Res111kkimzzxxxxzedxdxxxz 显然，2()1imzzef zz存在两个一阶极点：zi，只有：zi 上半平面内，所以：1Res()lim2izziz izef zzie 所以：2sin1212xxdxxee 有显然函数在负实轴上不连续在零点沿方向趋近于零点则显然其极限结果与路径相关则该函数在点无极限复平面上圆数试证明以下函数处处不可微证明在处有假设沿方向趋近于点则显然函数不可微在处有假设沿方向趋近于点则显然函点则显然函数在原点的导数不存在所以函数虽然在原点满足条件但不可微条件只是函数可微的必要条件复变函数试证