2023年复数知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

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1、复数 一、复数的概念 1.虚数单位 i （1）它的平方等于1，即 2i1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律（3）i 的乘方：4414243*i1,ii,i1,ii,Nnnnnn ，它们不超出ib的形式 2.复数的定义 形如i(,)Rab a b的数叫做复数，,a b分别叫做复数的实部与虚部 3.复数相等 iiabcd，即,ac bd，那么这两个复数相等 4.共轭复数 izab 时，izab 性质：zz；2121zzzz；1121zzzz；);0()(22121zzzzz 二、复平面及复数的坐标表示 1.复平面 在直角坐标系里，点z

2、的横坐标是a，纵坐标是b，复数izab 可用点(,)Z a b来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴 2.复数的坐标表示 点(,)Z a b 3.复数的向量表示 向量OZuuu r 4.复数的模 在复平面内，复数izab 对应点(,)Z a b，点Z到原点的距离OZuuu r叫做复数z的模，记作z由定义知，22zab 三、复数的运算 1.加法 (i)(i)()()iabcdacbd 几何意义：设1izab 对应向量1(,)OZa buuu u r，2izcd 对应向量2(,)OZc duuuu r，则12zz对应的向量为12(,)OZOZ

3、ac bd uuu u ruuuu r 因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释 2.减法 (i)(i)()()iabcdacbd 几何意义：设1izab 对应向量1(,)OZa buuu u r，2izcd 对应向量2(,)OZc duuuu r，则12zz对应的向量为1221(,)OZOZZ Zac bd uuu u ruuuu ruuuur 2212()()i()()zzacbdacbd 表示1Z、2Z两点之间的距离，也等于向量12Z Zuuuur的模 3.乘法 abicdiacbd i .4.乘方 mnm nzzz ()mnmnzz 1212()nnnzzzz 5.除法 22ab

4、icdiacbdbcad iabiabicdicdicdicdicd.6.复数运算的常用结论（1）222(i)2iababab，22(i)(i)ababab（2）2(1i)2i，2(1i)2i （3）1 ii1 i，1 ii1 i （4）1212zzzz ，1212zzzz ，1122zzzz ，zz（5）2z zz，zz（6）121212zzzzzz（7）1212zzzz，1212zzzz，nnzz 四、复数的平方根与立方根 1.平方根 若2(i)iabcd，则iab是icd的一个平方根，(i)ab 也是icd的平方根 （1 的平方根是i）2.立方根 如果复数1z、2z满足312zz，则称1

5、z是2z的立方根（1）1 的立方根：21,13i22 ，213i22 ，31 210 （2）1的立方根：13131,i,i2222zz 五、复数方程 1.常见图形的复数方程（1）圆：0zzr（0r，0z为常数），表示以0z对应的点0Z为圆心，r为半径的圆（2）线段12Z Z的中垂线：12zzzz（其中12,z z分别对应点12,Z Z）（3）椭圆：122zzzza （其中0a 且122zza），表示以12,z z对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆（4）双曲线：122zzzza （其中0a 且122zza），表示以12,z z对应的点 F1、F2为焦点，实轴长为2a的双曲线 2.实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：21,21,221,240 20 2i40 2bbacxabxabbacxa 一对实根一对相等的实根一对共轭虚根（2）韦达定理：1212bxxacx xa