2023年同济第六版《高等数学》精品讲义WORD版第09章重积分.pdf

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1、高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第九章 重积分 教学目的：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。

2、9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z f(x y)这里 f(x y)0 且在 D 上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点(i i)以 f(i i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为 f(i i)i(i 1 2 n)这个平

3、顶柱体体积之和 iiinifV),(1 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 iiinifV),(lim10 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y)0 且在 D 上连续 现在要计算该薄片的质量 M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (i i)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 iiiniM),(1

4、将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 iiiniM),(lim10 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设 f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 2 n 其中 i表示第 i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点(i i)作和 iiinif),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域 D 上的二重积分 记作dyxfD),(即 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 iiiniDfdyxf),(lim),(10 f(x y)被积函数 f(x y

5、)d被积表达式 d面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为 xi和 yi 则ixi yi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d 记作 dxdy 而把二重积分记作 dxdyyxfD),(其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性 当 f(x y)在闭区域 D 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 f(x y)在闭区域 D 上连续 所以f(

6、x y)在 D 上的二重积分都是存在的 二重积分的几何意义 如果 f(x y)0 被积函数 f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果 f(x y)是负的 柱体就在 xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 二 二重积分的性质 性质 1 设 c1、c2为常数 则 dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121 性质2如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如 D 分为两个闭区域 D1与 D2 则 dyxfdyxf

7、dyxfDDD21),(),(),(性质 3 DDdd1(为 D 的面积)性质 4 如果在 D 上 f(x y)g(x y)则有不等式 dyxgdyxfDD),(),(特殊地有 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dyxfdyxfDD|),(|),(|性质 5 设 M、m 分别是 f(x y)在闭区域 D 上的最大值和最小值 为 D 的面积 则有 MdyxfmD),(性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D 上连续 为D 的面积 则在D上至少存在一点()使得 ),(),(fdyxfD 9 2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X型

8、区域 D 1(x)y2(x)a x b Y 型区域 D 1(x)y2(x)c y d 混合型区域 设 f(x y)0 D(x y)|1(x)y2(x)a x b 此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面 z f(x y)为顶 以区域 D 为底的曲顶柱体的体积 对于 x0 a b 曲顶柱体在 x x0的截面面积为以区间1(x0)2(x0)为底、以曲线z f(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为 )()(000201),()(xxdyyxfxA 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为 badxxAV)(dxdyyxfbaxx),()()(21 即 Vdxdyyxf

9、dyxfbaxxD),(),()()(21 可记为 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地 如果区域 D 为 Y 型区域 D 1(x)y2(x)c y d 则有 dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例 1 计算dxyD 其中 D 是由直线 y 1、x 2 及 y x 所围成的闭区域 解 画出区域 D 方法一 可把 D 看成是 X型区域 1 x 2 1 y x 于是 211xDdxxydydxy2132112)(212dxxxdxyxx8924212124xx 注 积分还可以写成 2

10、11211xxDydyxdxxydydxdxy 解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域 1 y 2 y x 2 于是 212yDdyxydxdxy2132122)22(2dyyydyxyy8982142yy 例 2 计算dyxyD221 其中 D 是由直线 y 1、x1 及 y x 所围成的闭区域 解 画出区域 D 可把 D 看成是 X型区域 1 x 1 x y 1 于是 122112211xDdyyxydxdyxy1131112322)1|(|31)1(31dxxdxyxx 21)1(32103dxx 也可 D 看成是 Y型区域：1 y 1 1 xy 于是 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财

11、经大学统计与数学学院公共数学教研室 111222211yDdxyxydydyxy 例 3 计算dxyD 其中 D 是由直线 y x 2 及抛物线 y2 x 所围成的闭区域 解 积分区域可以表示为 D D1+D2 其中xyxxD ,10 :1 xyxD2 ,41 :2 于是 41210 xxxxDxydydxxydydxdxy 积分区域也可以表示为 D 1 y 2 y2 x y 2 于是 2122yyDxydxdydxy212222dyyxyy2152)2(21dyyyy 8556234421216234yyyy 讨论积分次序的选择 例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积 解

12、 设这两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 2及 x2 z2 2 利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积 V1 然后再乘以 8 就行了 第一卦限部分是以 D(x y)|0 y22xR,0 x为底 以22xRz顶的曲顶柱体 于是 dxRVD228 RxRdyxRdx0022228RxRdxyxR0022228 3022316)(8RdxxRR 二 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教

13、研室 dyxfD),(按二重积分的定义iniiiDfdyxf10),(lim),(下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 分为 n个小闭区域 小闭区域的面积为 iiiiii2221)(21iiii)2(21 iiiii2)(iii 其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值 在i内取点),(ii 设其直角坐标为(i i)则有 iiicos iiisin 于是 iiniiiiiiiniiiff1010)sin,cos(lim),(lim 即 ddfdyxfDD)sin,cos(),(若积分区域D可表示为 1()2()则 df

14、dddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(讨论 如何确定积分限?dfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(dfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(例 5 计算Dyxdxdye22 其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圆周所围成的闭区高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 域 解 在极坐标系中 闭区域 D 可表示为 0 a 0 2 于是 DDyxddedxdye222deddeaa02020021 22 )1()1(212220aaede 注 此处积分Dyxdxdye22也常写成22222ayxyxdxdye 利

15、用)1(222222aayxyxedxdye计算广义积分dxex20 设 D1(x y)|x2 y2 R2 x 0 y 0 D2(x y)|x2 y2 2R2 x 0 y 0 S(x y)|0 x R 0 y R 显然 D1 S D2 由于022yxe 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 22222122DyxSyxDyxdxdyedxdyedxdye 因为 2000)(22222RxRyRxSyxdxedyedxedxdye 又应用上面已得的结果有 )1(42122RDyxedxdye )1(422222RDyxedxdye 于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220RRx

16、Redxee 令 R 上式两端趋于同一极限4 从而220 dxex 例 6 求球体 x2 y2 z2 4a2被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 DdxdyyxaV22244 其中 D 为半圆周22xaxy及 x 轴所围成的闭区域 在极坐标系中 D 可表示为 0 2a cos 2 0 于是 20cos2022224444aDdadddaV )322(332)sin1(33222032ada 9 3 三重积分 一、三重积分的概念 定义 设 f(x y

17、 z)是空间有界闭区域 上的有界函数 将 任意分成 n 个小闭区域 v1 v2 vn 其中 vi表示第 i 个小闭区域 也表示它的体积 在每个 vi上任取一点(i i i)作乘积 f(i i i)vi(i 1 2 n)并作和iiiinivf),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(x y z)在闭区域 上的三重积分 记作dvzyxf),(即 iiiinivfdvzyxf),(lim),(10 三重积分中的有关术语 积分号 f(x y z)被积函数 f(x y z)dv被积表达式 dv 体积元素 x y z积分变量 积分区域 在直角坐标系中 如果

18、用平行于坐标面的平面来划分 则 vixi yi zi 因此也把体积元素记为 dv dxdydz 三重积分记作 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dxdydzzyxfdvzyxf),(),(当函数 f(x y z)在闭区域 上连续时 极限iiiinivf),(lim10是存在的 因此 f(x y z)在 上的三重积分是存在的 以后也总假定 f(x y z)在闭区域 上是连续的 三重积分的性质 与二重积分类似 比如 dvzyxgcdvzyxfcdvzyxgczyxfc),(),(),(),(2121 dvzyxfdvzyxfdvzyxf2121),(),(),(

19、Vdv 其中 V为区域 的体积 二、三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域 可表为 z1(x y)z z2(x y)y1(x)y y2(x)a x b 则 ddzzyxfdvzyxfDyxzyxz),(),(),(),(21 baxyxyyxzyxzdydzzyxfdx)()(),(),(2121),(bayxzyxzxyxydzzyxfdydx),(),()()(2121),(即 bayxzyxzxyxydzzyxfdydxdvzyxf),(),()()(2121),(),(其中 D:y1(x)y y2(x)a x b 它是

20、闭区域 在 xOy 面上的投影区域 提示 设空间闭区域 可表为 z1(x y)z z2(x y)y1(x)y y2(x)a x b 计算dvzyxf),(基本思想 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 对于平面区域 D y1(x)y y2(x)a x b 内任意一点(x y)将 f(x y z)只看作 z 的函数 在区间z1(x y)z2(x y)上对 z 积分 得到一个二元函数 F(x y),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF 然后计算F(x y)在闭区域D 上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域 上的三重积分 Dyxzyxz

21、DddzzyxfdyxF),(),(),(),(21 baxyxyyxzyxzdydzzyxfdx)()(),(),(2121),(则 ddzzyxfdvzyxfDyxzyxz),(),(),(),(21 baxyxyyxzyxzdydzzyxfdx)()(),(),(2121),(bayxzyxzxyxydzzyxfdydx),(),()()(2121),(即 bayxzyxzxyxydzzyxfdydxdvzyxf),(),()()(2121),(),(其中 D:y1(x)y y2(x)a x b 它是闭区域 在 xOy 面上的投影区域 例 1 计算三重积分dxdydzx 其中 为三个坐标

22、面及平面 x 2y z 1 所围成的闭区域 解 作图 区域 可表示为:0 z 1 x 2y )1(210 xy 0 x 1 于是 10210210 xyxxdzdydxdxdydzx 10210)21(xdyyxxdx 1032481)2(41dxxxx 讨论 其它类型区域呢?有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域(x y z)|(x y)Dz c1 z c2 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 所得到的一个平面闭区域 则有 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf),()

23、,(21 例 2 计算三重积分dxdydzz2 其中 是由椭球面1222222czbyax所围成的空间闭区域 解 空间区域 可表为:2222221czbyax c z c 于是 ccDzdxdydzzdxdydzz22 3222154)1(abcdzzczabcc 练习 1 将三重积分dxdydzzyxfI),(化为三次积分 其中 (1)是由曲面 z 1 x2 y2 z 0 所围成的闭区域 (2)是双曲抛物面 xy z 及平面 x y 1 0 z 0 所围成的闭区域 (3)其中 是由曲面 z x2 2y2及 z 2 x2所围成的闭区域 2 将三重积分dxdydzzyxfI),(化为先进行二重积

24、分再进行定积分的形式 其中 由曲面 z 1 x2 y2 z 0 所围成的闭区域 2 利用柱面坐标计算三重积分 设 M(x y z)为空间内一点 并设点 M 在 xOy 面上的投影 P 的极坐标为 P()则这样的三个数、z 就叫做点 M 的柱面坐标 这里规定、z 的变化范围为 0 0 2 z 坐标面0 0 z z0的意义 点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系 xcos ysin z z zzyxsincos 柱面坐标系中的体积元素 dvdddz 简单来说 dxdydd dxdydz dxdy dzdd dz 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 柱面坐标系中的三重积

25、分 dzddzfdxdydzzyxf),sin,cos(),(例 3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中 是由曲面 z x2 y2与平面 z 4 所围成的闭区域 解 闭区域 可表示为 2 z 4 0 2 0 2 于是 dzddzzdxdydz 202042zdzdd 20204)16(21dd 364618 2212062 3 利用球面坐标计算三重积分 设 M(x y z)为空间内一点 则点 M 也可用这样三个有次序的数 r、来确定 其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离 为OM与 z 轴正向所夹的角 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里 P 为点 M

26、 在 xOy 面上的投影 这样的三个数 r、叫做点 M 的球面坐标 这里 r、的变化范围为 0 r 0R)处的单位质量的质点的引力 解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知 Fx=Fy=0,所求引力沿 z轴的分量为 dvazyxazGFz2/32220)(RRzRyxazyxdxdydzazG22222/32220)()(2202/322200)()(zRRRazdddzazG RRdzaazRzaazG)211)(2220 2)(122220RRaazRdazaRG )3222(2230aRRRG 2203134aMGaRG 其中0334RM 为球的质量 高等数学教案 9 重积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力