2023年北师版九年级下册第二章二次函数知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳及习题.pdf

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1、九年级下册第二章 二次函数 一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的图像和性质 1.二次函数基本形式：2yax的性质：（1）当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。（2）最大值或最小值：当 a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是 0；当 a0，且

2、 x0 时函数有最大值，最大值是 0。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时

3、，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 初中阶段所学函数：一次函数：)0(kkbkxy是常数，正比例函数:kyx（k是常数，0k）反比例函数：kyx（k是常数，0k）4.2ya xhk的性质：5.cbxaxy2的性质 二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的 对称轴：x=ab2 顶点坐标：（ab2，abac442）增减性：若a0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而增大。若 a0，则当 xab2时，y 随 x

4、的增大而减小。最值：若a0，则当 x=ab2时，abacy442最小；若 a0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点；当 a0a-b+c0；2a+b=0；其中正确的结论有（）A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7、点 A、B 在抛物线2xy 的图象上，点 A 横坐标是1，点 B 的纵坐标是 4，求经过 A、B 两点的直线解析式。8、抛物线122xxy的对称轴是_，顶点坐标是 _ 9、已知二次函数 y=32 bxx，当1x时，y 取得最小值，则这个二次函数的顶点在_ 2yaxbxc0a 0abc-1

5、 O x=1 y x 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 10、已知：抛物线 y=cxx 62的顶点在 x 轴上，试求 c 的值。拓展提高：已知函数 y=kx2)3(3的图像上有三个点 A（),251y，B),3(2y，C),5(3y，则321,yyy的大小关系是_ A、1

6、y2y3y B、3y2y1y C、3y1y2y D、2y1y3y 三、用待定系数法求二次函数的解析式 例 1 已知抛物线经过点 A（1，0），B（4，5），C（0，3），求抛物线的解析式 练习：已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式 例 2 已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）求抛物线的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式为 yax2bxc 2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式 ya(xh)2k 3已知抛物线与 x 轴有两个交点（或已知抛物线与 x 轴交点的横坐标），设两根式：ya(xx1)(xx

7、2)（其中 x1、x2是抛物线与 x轴交点的横坐标）是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小练习：已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，2），求这个二次函数的解析式 例 3 已知抛物线与 x 轴的两交点为（1，0）和（3，0），且过点（2，3）求抛物线的解析式 练习：已知二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴

8、交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），求二次函数的顶点坐标 巩固提高 1、下列点不在抛物线122xxy上的是_：A.（-2，-9）B.（0，1）C.（1，1）D.（2，-5）2、若点（m，2）在232xxy的图象上，则 m=_：A.0 B.3 C.0 或 3 D.-3 3、二次函数cbxxy22，当 x 取-2 和 1 时，函数值分别为-14 和 4，求它的解析式。4、点（-1，0），（3，0）（1，-5）在同一抛物线上，求这抛物线的解析式。5、抛物线bxaxy2与直线12 xy交于 A、B 两点，已知 A 点横坐标为-1，B 点纵坐标为 3，求抛物线的解析式。

9、是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小四、二次函数与一元二次方程 一、学习目标：1懂得求二次函数 yax2bxc 与 x 轴、y 轴的交点的方法；2知道二次函数中 a，b，c 以及b24ac 对图象的影响 二、基本知识练习 1 求二次函数 yx23x4 与 y 轴的交点坐标为_，与 x 轴的交点坐标_ 2二次函数 yx23x4 的

10、顶点坐标为_，对称轴为_ 3一元二次方程 x23x40 的根的判别式_ 4二次函数 yx2bx 过点（1，4），则 b_ 5一元二次方程 yax2bxc（a0），0 时，一元二次方程有_，0 时，一元二次方程有_，0 时，一元二次方程_ 三、知识点应用 1求二次函数 yax2bxc 与 x 轴交点（含 y0 时，则在函数值 y0 时，x 的值是抛物线与 x 轴交点的横坐标）例 1 求 yx22x3 与 x 轴交点坐标 2求二次函数 yax2bxc 与 y 轴交点（含 x0 时，则 y 的值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标）例 2 求抛物线 yx22x3 与 y 轴交点坐标 3a、b、c 以及b2

11、4ac 对图象的影响 （1）a 决定：开口方向、形状 （2）c 决定与 y 轴的交点为（0，c）是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小 （3）b 与b2a 共同决定 b 的正负性 （4）b24ac轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx000 例 3 如图，由图可得：a_0 b_0 c_0 _0 例 4 已知二次函数 yx2

12、kx9 当 k 为何值时，对称轴为 y 轴；当 k 为何值时，抛物线与 x 轴有两个交点；当 k 为何值时，抛物线与 x 轴只有一个交点 四、课后练习 1求抛物线 y2x27x15 与 x 轴交点坐标_，与 y 轴的交点坐标为_ 2抛物线 y4x22xm 的顶点在 x 轴上，则 m_ 3如图：由图可得：a_0 b_0 c_0 b24ac_0 五、目标检测 1求抛物线 yx22x1 与 y 轴的交点坐标为_ 2若抛物线 ymx2x1 与 x 轴有两个交点，求 m 的范围 3如图：由图可得：a _0 b_0 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性

13、质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小 c_0 b24ac_0 二次函数的性质：1.表达式：一般式：cbxaxy2（0a）；顶点式：khxay2（0a）2.顶点坐标：（ab2，abac442）（h，k）3.意义：当abx2时，0a，y有最小值为abac442；0a，y有最大值为abac442 当hx 时，0a，y有最小值为k；0a，y有最大值为k 4.a的意义：0a，图象开口向上；0a，图象开口向下；21aa说明两函数

14、图象大小形状相同.5.对称轴：abx2；hx 6.对称轴位置分析：0b，对称轴为y轴；0ab，对称轴在y轴的右侧；0ab，对称轴在y轴的左侧；（左同右异）7.增减性：0a，abx2时，y随x的增大而增大；abx2时，y随x的增大而减小 0a，abx2时，y随x的增大而减小；abx2时，y随x的增大而增大 8.与y轴的交点为（0，c）9.与x轴的交点：02cbxax 042acb，有一个交点；042acb，有两个交点；042acb，没有交点 10.平移：化成顶点式 khxay2，上加下减：mk；左加右减：mh 练习：1已知抛物线cbxaxy2的图象如图，判断下列式子与 0 的关系.（填“”“”“

15、”）0_a；0_b；0_c；0_cba；0_cba；0_42acb；0_2ba；0_2ba；2若二次函数baxy2（0 ba），当x取1x、2x时，函数的值相等，则当x取21xx 时，函数值为 .是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小3若（5，0）是抛物线caxaxy22与x轴的一个交点，则另一交点坐标为 .4已知抛物线322xx

16、y 求此抛物线与x轴的交点A、B两点的坐标，与y轴的交点C的坐标.求ABC的面积.在直角坐标系中画出该函数的图象 根据图象回答问题：当0y时，x的取值范围？当0 x时，y的取值范围？当_x时，y随x的增大而增大；当_x时，y随x的增大而减小；巩固提高 1已知二次函数12322xxmy的图象的开口方向向上，则m的取值范围为（）A23m B23m C32m D23m 2.二次函数cbxaxy2的图象如图，则下列结论错误的是（）A0a B0b C0ab D0c 3.将二次函数22xy向右平移 2 个单位，在向下平移 3 个单位得到的二次函数的解析式为（）A 3222xy B 2322xy C 322

17、2xy D 3222xy 4二次函数 khxay2，当2x时，y有最大值为 5，则下列结论错误的是（）A0a B顶点坐标为（2，5）C对称轴为直线2x D2h 5.抛物线cbxaxy2的对称轴为直线0 x，则下列结论一定正确的是（）A0a B0b C0c D0c 6.下列点在二次函数42 xy的图象上的是（）是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增

18、大而减小时有最小A（1，3）B（1，3）C（1，5）D（0，4）7.二次函数11211cxbxay与22222cxbxay的图象关于x轴对称，则1a与2a的关系为（）A相等 B互为相反数 C互为倒数 D相等或互为相反数 8.已知点A（2，m）与点B（3，n）在二次函数 312 xy的图象上，则m与n的关系为（）Anm Bnm Cnm D无法判断 9.已知二次函数cbxaxy2的图象如图.请你写出一元二次方程02cbxax的根；请你写出不等式02cbxax的解集；请你再写出 3 条从图象中得出的结论.10.已知二次函数12212xxy.求该抛物线的顶点坐标和对称轴；通过列表、描点画出该函数图象；

19、求该图象与坐标轴的交点坐标.11某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的农产品，所市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减小 10 千克，设每千克农产品的销售价格为x（元），月销售总利润为y（元）.求y与x的函数关系式；当销售价定为多少元时，月获利最大，最大利润是多少？是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随

20、的增大而增大时随的增大而减小时有最小五、二次函数的应用 几何问题 例 1、一直角三角形的两直角边之和是 20cm，求它的最大面积。练习 1、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h30t5t2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？练习 2、如图，四边形的两条对角线 AC、BD互相垂直，ACBD10，当 AC、BD的长是多少时，四边形 ABCD的面积最大？练习 3 一块三角形废料如图所示，A30，C90，AB12用这块废料剪出一个长方形 CDEF，其中，点 D、E、F分别在 AC、AB、BC上要使剪出的长方形 C

21、DEF面积最大，点 E应造在何处？DCBAFEDCBA是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小利润问题 例 2、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 120 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获取最大利润，应降价多少元？练习 1、某商店经销成本为每千克

22、40 元的水产品，据市场分析：若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克。（1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式；（3）商店想在销售成本不超过 10000 元的前提下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少元？练习 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价：如果每件衬衫每降价 1 元，平均每天可多售出 2 件。（1）若商场平均每天要盈

23、利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利最多？是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小练习 3、蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1 月份至 6 月份这种蔬菜的上市时间 x（月份）与市场售价 P（元/千克）的关系如下表：上市时间 x/（月份）1 2 3 4 5 6 市场售价 P（元/千

24、克）10.5 9 7.5 6 4.5 3 这种蔬菜每千克的种植成本 y（元/千克）与上市时间 x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）（1）写出上表中表示的市场售价 P（元/千克）关于上市时间 x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过 A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益市场售价种植成本）练习 4 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房

25、间每天支出20 元的各种费用设每个房间每天的定介增加 x 元，求：（1）房间每天入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费 z（元）关于 x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w 有最大值？最大值是多少？是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增

26、大而减小时有最小建立直角坐标系解决实际问题 例 1有一抛物线拱桥，已知水位线在 AB位置时，水面的宽为 4 6 米，水位上升 4 米，就达到警戒线 CD，这时水面宽为 4 3 米若洪水到来时，水位以每小时 0.5 米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端 M 处？练习 1、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB的宽为 20m，如果水位上升 3m 时，水面 CD 的宽是 10m （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式 （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽 略不计）货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当

27、行驶 1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成 水位以每小 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD处，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆 通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由若不能，要使货车安全 通过此桥，速度应超过每小时多少千米？是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小练

28、习 2、如图，某建筑物的大门是抛物线形水泥结构，大门的地面宽度为 8m，两侧距地面 4m 高处各有一个挂横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6m，求该拱形门的高度。（水泥厚度不计）练习 3、如图，二次函数 y=-mx2+4m 的图象的顶点坐标为（0，2），矩形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上，A、D 在抛物线上，矩形 ABCD 在抛物线与 x 轴围成的图形内。（1）求二次函数的解析式；（2）设点 A 的坐标 为（x,y），试求矩形 ABCD 的周长 P 关于自变量 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围；（3）是否存 在这样的矩形 ABCD，使它的周长为 9？证明你的结论。是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数是常数项二二次函数的图像和性质二次函数基抛物线的开口越大最大值或最小值当且时函数有最小值最小值是当且时函数有最大值最大值是的符号开口方向顶点坐时有最大值的性质上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时随的增大而增大时随的增大而减小时有最小