函数项级数敛散性的判别方法及其应用学士学位论文.doc

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1、函数项级数敛散性的判别方法及其应用Discrimination Methods of Convergence and Divergence of Series ofFunctions and Its Application专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: 二一五年五月 摘 要本文介绍了函数项级数敛散性判别法，如柯西判别法、阿贝尔判别法、达朗贝尔判别法和它们的极限形式，以及多种特殊函数项级数敛散性的判别方法. 然后介绍了这些判别法在实际解题中的应用. 本文探究和总结了一些判别函数项级数敛散性的方法, 为今后处理函数项级数敛散性的判别提供理论基础.关键词: 函数项级数; 一致收敛; 判

2、别法; I AbstractThis paper introduces discrimination methods of convergence and divergence of series of functions, such as Cauchy criterion, Abel discrimination method,Darren Bell discrimina- tion method and their respective forms, and series of discrimination methods of convergence and divergence of

3、a variety of special functions. Then the paper introduces these disctimina- tion methods in the application of the practical problems. This paper discusses and summari- zes discrimination methods of convergence and divergence of series of functions ,which pro- vide theory for practical problems.Keyw

4、ords:series of functions, uniform convergence, discrimination method III 目 录0 引 言11 预备知识12 函数项级数敛散性的判别方法23 判别法的一些应用. 6致谢11参考文献12 0 引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要

5、寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理. 最后用一些实际例题来验证这些判别法.1 预备知识设为一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.该函数也可简单地写作 或 ,.定义 设函数列与函数定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切,都有 ,那么称函数列在上一致收敛于,记作 ,.设为定义在数集上的一个函数列,则称为定义在上的函数项级数,

6、简记为,并称为函数项级数的部分和函数列.定义 若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于,则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.2 函数项级数敛散性的判别方法定理（柯西一致收敛准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件：对于任意的正数,总存在个某正整数,使得当时,对一切和一切正整数都有 |或 |.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间上形如 （2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件为，,，使得.这里最关键的是要找出与及之间的关系，然后凑出，此类型题

7、目也有一个简便方法，即取能适用于许多题型这种做法比较实用，优先考虑推论2 函数列在数集上非一致收敛于0，那么函数项级数在数集上非一致收敛推论3 如果函数项级数在区间上逐点收敛，并在区间中存在点列，使，有函数项级数在区间上非一致收敛定理21（判别法）设定义在数集上的函数项级数, 为收敛的正项级数,如果对一切,有那么函数项级数在上一致收敛.定理31（阿贝尔判别法）设 (1)在区间上一致收敛; (2)对于每一个是单调的； (3)在上一致有界,即对任意和正整数n,存在正数M,使那么原级数在上一致收敛. 定理41（狄利克雷判别法） （1）的部分和函数列 在上一致有界； （2）对于每一个是单调的； （3）

8、在上,则级数(2.1)在上一致收敛.定理5（比式判别法） 设是定义在数集上的函数列,且,记 ，存在正整数和实数使得,对任意的, 成立,那么函数项级数在上一致收敛.此定理的极限形式为：设为数集上的正函数列,因为,且在上一致有界,则函数项级数在上一致收敛.定理65（根式判别法）设为定义在数集上的函数列,若存在正整数,使,对 , 成立，那么函数项级数在上一致收敛.该定理的极限形式为：设为数集上的函数列，,对成立,有函数项级数在上一致收敛定理75(对数判别法) 设为定义在数集上正的函数列,若存在 那么(1)若对,，则函数项级数在非一致收敛；(2)若对,，则函数项级数在上非一致收敛；定理8（端点判别法）

9、设在上单调，若绝对收敛，则在绝对且一致收敛。定理9（两边夹判别法）对任给自然数和,都有成立且均在点集上一致收敛于,则在点集D一致收敛于.定理10(定理，单调判别法)设级数的每一项在有界闭区间上连续且非负,如果它的和函数也在上连续,那么该级数在上一致收敛. 定理119（导数判别法）设函数列在闭区间上连续可微,且存在一点使得在点收敛；在上一致收敛,则在上一致收敛.引理1 若连续函数列在区间上一致收敛于，则，有定理127(利用一致收敛函数列的性质) 连续函数项级数在区间上逐点收于，且，有，则函数项级数在区间上非一致收敛于推论 设连续函数列在区间上逐点收敛，且在中存在数列和满足条件；，而则在上非一致收

10、敛定理136(利用端点发散性) 函数项级数定义在（或）上对，函数都在处右连续，但级数发散，则函数项级数在（或）上非一致收敛.（注:在（或）内也有相应结论.）定理146 (利用和函数的连续性) 若连续函数项级数在区间上逐点收敛于和函数，且，在处间断，则在区间上非一致收敛于和函数定理15 设对任意自然数，函数在区间上都是单调增加（或单调减少）的，如果存在数列，使得级数发散，则函数项级数在上非一致收敛总之，函数项级数敛散性的判别方法有很多，对于不同类型的级数，可运用不同种方法来判别它敛的敛散性。由此可见，熟练掌握函数项级数敛散性的判别方法，对于研究函数项级数的性质起着重要作用3 判别方法的一些应用例

11、1 讨论在和上的敛散性解 易知在内收敛于对任给，当且时，恒有 只需当时,有 由此，只需，可得. 所以, 即可取依照定义，在上一致收敛于取，对任给自然数，总存在及，使得,成立，依据定义，在内非一致收敛例2 证明函数项级数,在所给区间上一致收敛.解 因 因此,取,当时,对所有,和所有自然数,有那么根据柯西准则可得此级数在上一致收敛.例3 讨论在上的一致收敛性解 取,，使 由柯西一致收敛准则推论1，可知在上非一致收敛例4 设，讨论函数项级数的敛散性解 取，则此极限不存在，因此在定义域内不一致收敛于0.由柯西一致收敛准则推论2, 有在内非一致收敛例5 讨论在上的一致收敛性解 因为使，有由柯西一致收敛准

12、则推论3，可知在上非一致收敛例6 在有穷区间上是一致收敛的.解 对任何有穷区间,使得对一切,有,对一致收敛又 即是一致有界的由阿贝尔判别法可知此级数一致收敛.例7 在上一致收敛（）.解 ，由根式判别法可判定此级数一致收敛例8 在上非一致收敛.解 根据对数判别法有可知此级数在定义域上非一致收敛.例9 讨论在上一致收敛性解 易知在上逐点收敛，并且在上每一项都连续，取，则再设，由定积分定义知 由定理12知，在上非一致收敛例10 讨论，在上的一致收敛性解 这个连续函数列在上逐点收，先取，则，有；又取，则且. 根据定理12的推论可知，连续函数列在上非一致收敛例11 讨论函数项级数在上一致收敛性解 易知函

13、数项级数在逐点收敛，并且每一项在处是连续的，而在处是发散的，由定理13知，在上非一致收敛例12 讨论函数项级数在上敛散性.解 此函数项级数的部分和为，即得，知和函数在处不连续由定理14知，该函数项级数在上非一致收敛例13 证在内非一致收敛解 对，显然在区间内都是单调减小的，其次，取，级数发散,由定理15得证致 谢首先，在此感谢老师的悉心指导和无私帮助,在论文的选题、构思、写作以及修改的过程中，每次陶老师都不厌其烦地指导、审阅，给我的论文指出许多宝贵的意见.再次, 感谢学院的各位老师和领导，感谢您们的栽培，感谢你们为我的研究提供一个良好的环境，感谢您们在生活和工作中给我的知道和帮助. 最后，感谢

14、与我同组的同学在整个过程中给我的帮助.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M. 北京:高等教育出版社, 2006.2 刘玉琏, 傅沛仁, 林玎. 数学分析讲义M. 高等教育出版社, 2003.3 徐家斌. 正项级数收敛法到函数项级数一致收敛法的推广J. 内江师范学院学报2010, 4 王振乾, 彭建奎, 王立萍. 关于函数项级数一致收敛性判别的讨论J. 甘肃联合大学学报：自然科学版, 2010, 24(4):1111135 毛一波.函数项级数一致收敛性的判别J. 重庆文理学院学报(自然科学版). 2006.10(4):5556. 6 关东月. 关于一致收敛性的几个问题J.内蒙古农

15、业大学学报. 2003.9(3):8485.7 赵香兰. 几种判别函数项级数非一致收敛的方法J. 大同职业技术学院数理系, 2003.12（4）:6061.8 陈妙铃. 函数项级数一致收敛判别法J. 长春理工大学学报. 2010.6(6):2930.9 金玮. 函数项级数一致收敛的判别法J. 甘肃联合大学学报：自然科学学报2009, 23(5)110-114.25(10):3843 10Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite SeriesM.Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dove

16、r Publications 11Gerald Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second EditionM. John Wiley & Sons, Inc., 199912Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. Uniform Convergence of Sequences and Series et seq. 1.112-1.1155 in Methods of Mathematical Physics, 3rd edM. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 3743, 1988. 13Knopp, K. Uniform Convergence. 18 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part IM. New York: Dover, pp. 7173, 1996. 第 12 页 共 16 页